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        魔方中的數(shù)學

        2016-03-03 08:33:13孫峰
        初中生世界·七年級 2016年2期
        關(guān)鍵詞:方塊魔方復(fù)原

        孫峰

        通常所說的魔方,其國際標準稱呼是魯比克魔方,由匈牙利布達佩斯應(yīng)用藝術(shù)學院的建筑學教授魯比克·艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明. 關(guān)于魯比克發(fā)明魔方的初衷,流傳甚廣的一個說法是為了發(fā)明一種教具,以幫助學生理解、認識立體空間的構(gòu)造. 魯比克一開始并沒有意識到他發(fā)明了一個極其具有挑戰(zhàn)性的益智玩具,當他第一次將自己發(fā)明的魔方打亂,才發(fā)現(xiàn)了這個后來被無數(shù)人反復(fù)證明的事實:原始狀態(tài)的魔方一旦被打亂,想要將其復(fù)原是一件極其困難的事情.

        1980年初,一家玩具公司將魔方帶至在巴黎、倫敦和美國召開的國際玩具博覽會展出,此后不久,隨著魔方制造技術(shù)的改進,魔方迅速風靡全球,到1982年,短短的3年間魔方在全球就售出了200多萬只,而到今天,全世界售出了數(shù)億只魔方,魔方已經(jīng)成為全球最為流行的玩具之一.

        魔方核心是三個相互垂直的軸,保證魔方的順利轉(zhuǎn)動. 外觀上,由26個小正方體組成一個正方體. 其中包括與中心軸相連的中心方塊6個,相對位置固定不動,僅一面涂有顏色;棱塊12個,兩面有顏色;角塊8個,三面有色. 復(fù)原狀態(tài)下,魔方每面都涂有相同的顏色,六個面的顏色各不相同. 魔方每個面都可以自由轉(zhuǎn)動,從而打亂魔方,形成變化多端的組合.

        魔方組合的數(shù)量可以按照如下方式計算:8個角塊可以互換位置,存在8!種組合(8!=8×7×6×5×4×3×2×1),又可以翻轉(zhuǎn),每個角塊可以具有3種空間位置,但因為不能單獨翻轉(zhuǎn)一個角塊,需要除以3,總共存在8!×37種組合;12個棱塊可以互換位置,得到12!,又可以翻轉(zhuǎn),得到212,但因為不能單獨翻轉(zhuǎn)一個棱塊,也不能單獨交換任意兩個棱塊的位置,需要分別除以2,得到12!×212/(2×2)種組合. 綜上,得到魔方的所有可能組合數(shù)為:8!×37×12!×212/(2×2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33×1019. 這是一個天文數(shù)字,如果某位玩家想要嘗試所有的組合,哪怕不吃不喝不睡,每秒鐘轉(zhuǎn)出十種不同的組合,也要花上千億年的時間才能如愿,這約是當前宇宙年齡的10倍.

        實際上,如果將魔方拆開隨意組合,其組合情況將多達5.19×1020種. 也就是說,如果拆散魔方,再隨意安裝,有11/12的幾率無法恢復(fù)原狀. 所以如果魔方被拆散,安裝時應(yīng)按復(fù)原狀態(tài)安裝,否則極可能會無法復(fù)原.

        魔方復(fù)原的另一個困難來自于我們只能按特定的方式復(fù)原,即反復(fù)旋轉(zhuǎn)某一面,一面上的9個方塊必須整體參與運動,這樣我們在復(fù)原過程中總是會打亂已經(jīng)復(fù)原的部分,這種限制大大加大了復(fù)原魔方的難度.

        很顯然,任意組合的魔方都可以在有限步驟內(nèi)復(fù)原,那么,問題來了,是否存在復(fù)原任意組合魔方所需的最少轉(zhuǎn)動次數(shù)N?也即,如果至多進行N次轉(zhuǎn)動便可以將任意魔方復(fù)原,這個N具體為多少?這個數(shù)字N被稱為上帝數(shù)字,從魔方剛剛流行的1982年便被提了出來.

        當然,對任意的魔方,尋找最少的轉(zhuǎn)動步驟是極其困難的,需要針對每種情況尋找特定的步驟. 一般的,還是利用本文前面所述的復(fù)原辦法,只需學習記憶少量的套路或公式,如CFOP法,需要學習記憶119個公式,平均只需55次轉(zhuǎn)動便可復(fù)原魔方.

        數(shù)學是一門充滿魅力的學科,在它復(fù)雜表面的背后,隱藏著大量極其簡單、漂亮的規(guī)律. 有趣的游戲、手頭的玩具,往往在簡單中蘊藏著深刻的數(shù)學規(guī)律. 而復(fù)雜的數(shù)學經(jīng)常以極其簡單、漂亮的形式展現(xiàn).

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