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        魔方中的數(shù)學(xué)

        2016-03-03 08:33:13孫峰
        初中生世界·七年級(jí) 2016年2期
        關(guān)鍵詞:方塊魔方復(fù)原

        孫峰

        通常所說(shuō)的魔方,其國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)稱呼是魯比克魔方,由匈牙利布達(dá)佩斯應(yīng)用藝術(shù)學(xué)院的建筑學(xué)教授魯比克·艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明. 關(guān)于魯比克發(fā)明魔方的初衷,流傳甚廣的一個(gè)說(shuō)法是為了發(fā)明一種教具,以幫助學(xué)生理解、認(rèn)識(shí)立體空間的構(gòu)造. 魯比克一開始并沒(méi)有意識(shí)到他發(fā)明了一個(gè)極其具有挑戰(zhàn)性的益智玩具,當(dāng)他第一次將自己發(fā)明的魔方打亂,才發(fā)現(xiàn)了這個(gè)后來(lái)被無(wú)數(shù)人反復(fù)證明的事實(shí):原始狀態(tài)的魔方一旦被打亂,想要將其復(fù)原是一件極其困難的事情.

        1980年初,一家玩具公司將魔方帶至在巴黎、倫敦和美國(guó)召開的國(guó)際玩具博覽會(huì)展出,此后不久,隨著魔方制造技術(shù)的改進(jìn),魔方迅速風(fēng)靡全球,到1982年,短短的3年間魔方在全球就售出了200多萬(wàn)只,而到今天,全世界售出了數(shù)億只魔方,魔方已經(jīng)成為全球最為流行的玩具之一.

        魔方核心是三個(gè)相互垂直的軸,保證魔方的順利轉(zhuǎn)動(dòng). 外觀上,由26個(gè)小正方體組成一個(gè)正方體. 其中包括與中心軸相連的中心方塊6個(gè),相對(duì)位置固定不動(dòng),僅一面涂有顏色;棱塊12個(gè),兩面有顏色;角塊8個(gè),三面有色. 復(fù)原狀態(tài)下,魔方每面都涂有相同的顏色,六個(gè)面的顏色各不相同. 魔方每個(gè)面都可以自由轉(zhuǎn)動(dòng),從而打亂魔方,形成變化多端的組合.

        魔方組合的數(shù)量可以按照如下方式計(jì)算:8個(gè)角塊可以互換位置,存在8!種組合(8!=8×7×6×5×4×3×2×1),又可以翻轉(zhuǎn),每個(gè)角塊可以具有3種空間位置,但因?yàn)椴荒軉为?dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)角塊,需要除以3,總共存在8!×37種組合;12個(gè)棱塊可以互換位置,得到12!,又可以翻轉(zhuǎn),得到212,但因?yàn)椴荒軉为?dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)棱塊,也不能單獨(dú)交換任意兩個(gè)棱塊的位置,需要分別除以2,得到12!×212/(2×2)種組合. 綜上,得到魔方的所有可能組合數(shù)為:8!×37×12!×212/(2×2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33×1019. 這是一個(gè)天文數(shù)字,如果某位玩家想要嘗試所有的組合,哪怕不吃不喝不睡,每秒鐘轉(zhuǎn)出十種不同的組合,也要花上千億年的時(shí)間才能如愿,這約是當(dāng)前宇宙年齡的10倍.

        實(shí)際上,如果將魔方拆開隨意組合,其組合情況將多達(dá)5.19×1020種. 也就是說(shuō),如果拆散魔方,再隨意安裝,有11/12的幾率無(wú)法恢復(fù)原狀. 所以如果魔方被拆散,安裝時(shí)應(yīng)按復(fù)原狀態(tài)安裝,否則極可能會(huì)無(wú)法復(fù)原.

        魔方復(fù)原的另一個(gè)困難來(lái)自于我們只能按特定的方式復(fù)原,即反復(fù)旋轉(zhuǎn)某一面,一面上的9個(gè)方塊必須整體參與運(yùn)動(dòng),這樣我們?cè)趶?fù)原過(guò)程中總是會(huì)打亂已經(jīng)復(fù)原的部分,這種限制大大加大了復(fù)原魔方的難度.

        很顯然,任意組合的魔方都可以在有限步驟內(nèi)復(fù)原,那么,問(wèn)題來(lái)了,是否存在復(fù)原任意組合魔方所需的最少轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)N?也即,如果至多進(jìn)行N次轉(zhuǎn)動(dòng)便可以將任意魔方復(fù)原,這個(gè)N具體為多少?這個(gè)數(shù)字N被稱為上帝數(shù)字,從魔方剛剛流行的1982年便被提了出來(lái).

        當(dāng)然,對(duì)任意的魔方,尋找最少的轉(zhuǎn)動(dòng)步驟是極其困難的,需要針對(duì)每種情況尋找特定的步驟. 一般的,還是利用本文前面所述的復(fù)原辦法,只需學(xué)習(xí)記憶少量的套路或公式,如CFOP法,需要學(xué)習(xí)記憶119個(gè)公式,平均只需55次轉(zhuǎn)動(dòng)便可復(fù)原魔方.

        數(shù)學(xué)是一門充滿魅力的學(xué)科,在它復(fù)雜表面的背后,隱藏著大量極其簡(jiǎn)單、漂亮的規(guī)律. 有趣的游戲、手頭的玩具,往往在簡(jiǎn)單中蘊(yùn)藏著深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律. 而復(fù)雜的數(shù)學(xué)經(jīng)常以極其簡(jiǎn)單、漂亮的形式展現(xiàn).

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