杜曉燕， 張秀鋼， 陸杰青

(信息工程大學(xué)， 河南 鄭州 450002)

關(guān)于散度和旋度教學(xué)的幾點思考

杜曉燕， 張秀鋼， 陸杰青

(信息工程大學(xué)， 河南 鄭州 450002)

散度和旋度是研究電磁現(xiàn)象的重要工具，由于其定義抽象、計算復(fù)雜，一直是電磁理論教學(xué)過程中的重點和難點。本文就實際教學(xué)過程中，學(xué)生容易發(fā)生混淆或難以理解的旋度的計算、散度和旋度的聯(lián)系、亥姆霍茲定理等知識點進行了討論，幫助學(xué)生很好地掌握這一內(nèi)容。

電磁場； 散度； 旋度

0 引言

散度和旋度是電磁理論教學(xué)中的重要內(nèi)容，不僅其定義、計算要求學(xué)生熟練掌握，與其相關(guān)的定理也要求學(xué)生深刻理解。

這兩個知識點的教學(xué)思路通常是：先結(jié)合通量的介紹，引出散度的定義，再推導(dǎo)散度的計算公式，然后介紹散度定理；與此相同，結(jié)合環(huán)量和環(huán)量面密度介紹旋度，再推導(dǎo)旋度的計算，然后介紹旋度定理[1～5]。教學(xué)過程中，也會結(jié)合水流、漩渦、禮花等一些日?，F(xiàn)象來幫助學(xué)生掌握這些概念[6]。

教學(xué)過程中通常將散度和旋度割裂開，分別予以介紹，并不重視討論其異同之處。這常常導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生不必要的誤解：如認為兩種源——通量源和渦旋源是相互無關(guān)的等。

針對上述問題，筆者在實際教學(xué)過程中著重就旋度的計算、散度和旋度的聯(lián)系與區(qū)別等進行了討論，幫助學(xué)生很好地掌握這些知識點，而且對其相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)也起到了很好的促進作用。

1 散度和旋度的聯(lián)系與區(qū)別

由定義可知，散度為單位體積內(nèi)矢量場的通量，即通量分布的體密度。

(1)

而旋度則是指單位面積上矢量場的環(huán)量，而且這個環(huán)量必須是最大值。

(2)

1.2 計算過程

由定義可知，散度的計算過程如圖1所示。

圖1 散度計算過程

而旋度的計算過程如圖2所示。

(二)離合詞“A了個B”與網(wǎng)絡(luò)語“A了(嘞)個B”在不同的語體中使用。前者一般在書面語體中或是在正規(guī)場合的口語中出現(xiàn)。而后者則主要出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)即時工具聊天，網(wǎng)絡(luò)游戲或者網(wǎng)絡(luò)論壇中，不過現(xiàn)在也開始“入侵”到非正規(guī)場合的口語中，用以表示幽默和時髦。如：

圖2 旋度計算過程

1.3 旋度計算中的優(yōu)化問題

相較于散度，旋度增加了求極值的過程，這是導(dǎo)致旋度計算復(fù)雜、難以理解的主要原因。

此處，結(jié)合旋度計算，我們引入優(yōu)化問題：如何求極值，為此設(shè)置相應(yīng)研討題目。

研討題目1：如何利用矢量場論的知識進行標(biāo)量場極值問題的求解。

研討內(nèi)容：讓學(xué)生通過討論兩個矢量的點積了解到：兩個方向垂直的矢量場的點積是0，由此掌握了求解點積最小值的兩個矢量場的方法；而通過討論兩個方向相同的矢量場的點積是1，由此掌握了求解點積最大值的兩個矢量場的方法。

通過以上學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅很好得理解了“旋度的大小是此處最大環(huán)量面密度”這一結(jié)論，而且對矢量點積運算有了更深入的認識。

1.4 通量源和渦旋源的異同

散度和旋度最為重要的意義在于它們描述了兩類激發(fā)出場的源--通量源和渦旋源[1～8]。

引入哈密頓算符后，在直角坐標(biāo)系中，散度和旋度的計算公式分別簡化為

(3)

(4)

不難得出，通量源只影響場的各個方向分量沿自己方向的變化，而渦旋源只影響場的各個方向分量在與自己方向相垂直的另外兩個方向上的變化，即具有旋轉(zhuǎn)特性。上述性質(zhì)，很多文獻中都有討論，本文不再贅述[1～8]。

1.5 亥姆霍茲定理中的散度和旋度

亥姆霍茲定理是場論中的重要定理，為場的研究提供了理論依據(jù)。

其內(nèi)容為：對于有限空間中的任意矢量場，如果可以確定其散度、旋度和邊界條件，就可以唯一確定這個矢量場。

除限定所研究場的空間區(qū)域的邊界條件外，散度和旋度是亥姆霍茲定理中的主要內(nèi)容。由定理可知，對于任意矢量場，只知道其散度或旋度中的一個，是無法唯一確定這個矢量場的，即散度和旋度中各包含了矢量場的不同性質(zhì)，如文獻[4]中所述；在研究場的問題時，兩者相互補充、缺一不可。

由于本科生“電磁場理論基礎(chǔ)”教學(xué)過程中不要求亥姆霍茲定理的證明，且該證明也有一定難度。教學(xué)過程中我們參考文獻[8]，通過引入矢量除法，幫助學(xué)生深刻理解定理內(nèi)容，

眾所周知，已知兩個標(biāo)量的乘積及其中任意一個標(biāo)量，由除法可以唯一確定另一個標(biāo)量。而場論中討論的矢量乘法主要有點積、叉積和三重積，但鮮有討論矢量除法的公開報道。那么，已知兩個矢量的點積或叉積及其中任一個矢量，能否唯一確定另一個矢量呢？授課過程中，我們參考文獻[8]設(shè)置了相應(yīng)研討題目。幫助學(xué)生更深入地理解散度和旋度的聯(lián)系與區(qū)別。

圖3 兩個不同矢量在x軸上投影相同

圖4 兩個不同矢量在y軸上投影相同

研討內(nèi)容：由矢量代數(shù)的知識，可以很容易推導(dǎo)得到[8]：

(5)

點積和叉積是將一個矢量作用到另一矢量上，而散度和旋度是將矢量微分運算符——哈密頓算符作用到一個矢量上。

所以，關(guān)于點積和叉積的研究與散度和旋度的研究在矢量方向的運算上是完全相同的。區(qū)別僅在于散度和旋度還伴隨有微分運算。

由此，就可以將亥姆霍茲定理的內(nèi)容與矢量除法的結(jié)論相對照，幫助學(xué)生很好得理解定理的內(nèi)容，進一步明確在研究矢量場特性時，散度和旋度描述了矢量場的不同特性，兩者相互補充、缺一不可。

2 結(jié)語

散度和旋度是電磁理論教學(xué)中的重要內(nèi)容，也是研究電磁場問題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生熟練掌握，深刻理解。本文就散度與旋度講授過程中易發(fā)生混淆的幾個問題進行了討論，幫助學(xué)生進一步明確了散度和旋度的聯(lián)系與區(qū)別等，為深入學(xué)習(xí)電磁場相關(guān)內(nèi)容打下了良好的基礎(chǔ)。

[1] 畢德顯.電磁場理論基礎(chǔ)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社.1985.

[2] Bhag Singh Guru，Huseyin R.Hiziroglu 著，周克定等譯. 電磁場與電磁波[M].北京：機械工業(yè)出版社.2000.

[3] 龔中鱗.近代電磁理論[M].北京：北京大學(xué)出版社.2010.

[4] 陳重等．電磁場理論基礎(chǔ)[M]．北京：北京理工大學(xué)出版社.2008．

[5] 蘇東林．電磁場與電磁波[M]，北京：高等教育出版社，2009．

[6] 黃輝，張小青.“電磁場”課程的散度和旋度研究型教學(xué)例析[J]. 南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報. 2011 ，(33)3：99-102.

[7] 劉德國.“電磁場”課程中梯度、散度、旋度教學(xué)方法探討[J]. 濟南: 科技信息. 2014 ， 15：51-52.

[8] 梁昌洪．矢量場論札記[M]，北京：科學(xué)出版社，2007．

The Study on Teaching of divergence and curl

DU Xiao-yan, ZHANG Xiu-gang, LU Jie-qing

(InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450002,China)

Divergence and curl are important tools in research on electromagnetic phenomenon. For abstract define and complex calculation, divergence and curl are key points and difficulties in the teaching of Electromagnetism. This paper presents discussion, aiming at the difficultis such as the calculous of curl, the relationship bteween divergence and curl, knowledge points of Helmholtz′s theorem. All these works plays an active role for the understanding of divergence and curl.

electromagnetic fields；divergence；curl

2015-10-23;

2015-12-05

杜曉燕(1975-)，女，博士，副教授，主要從事電磁場與微波技術(shù)、天線等方面的教學(xué)與科研工作，E-mail：chaomei-z@163.com

TN91

A

1008-0686(2016)05-0081-03