徐 權(quán)， 張琴玲， 史國(guó)棟

(常州大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 江蘇 常州 213164)

文氏橋振蕩器的簇發(fā)現(xiàn)象分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

徐 權(quán)， 張琴玲， 史國(guó)棟

(常州大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 江蘇 常州 213164)

本文采用一對(duì)二極管將無(wú)源LC濾波器非線性耦合到文氏橋振蕩器的并聯(lián)橋臂替換電阻，實(shí)現(xiàn)了一種新穎的文氏橋振蕩器；建立了該電路的動(dòng)力學(xué)模型，開(kāi)展了動(dòng)力學(xué)行為分析。結(jié)果表明：文氏橋振蕩器在給定的參數(shù)域內(nèi)具有快慢效應(yīng)。進(jìn)一步研究了混沌簇發(fā)和周期簇發(fā)現(xiàn)象。本文研制了實(shí)驗(yàn)電路，該實(shí)驗(yàn)電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易物理實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值仿真兩者結(jié)果一致，證明了理論分析的有效性。

周期簇發(fā)振蕩; 混沌簇發(fā)振蕩；文氏橋振蕩器

0 引言

簇發(fā)振蕩現(xiàn)象存在于具有真實(shí)時(shí)間的快慢效應(yīng)或幾何尺寸上的尺度效應(yīng)的系統(tǒng)中，由于慢標(biāo)子系統(tǒng)對(duì)快標(biāo)子系統(tǒng)行為的不斷調(diào)節(jié)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)或靜息態(tài)與激發(fā)態(tài)之間相互轉(zhuǎn)遷而產(chǎn)生簇發(fā)振蕩。根據(jù)系統(tǒng)分岔行為，可將簇發(fā)振蕩分為fold/fold簇發(fā)、fold/Hopf簇發(fā)、Hopf/Hopf簇發(fā)等。在諸如耦合混沌系統(tǒng)、蔡氏振蕩電路、文氏橋振蕩電路、周期激勵(lì)混沌電路、開(kāi)關(guān)變換器等系統(tǒng)中，系統(tǒng)表現(xiàn)為混合模態(tài)振蕩即簇發(fā)振蕩[1～5]。

目前對(duì)蔡氏電路及改進(jìn)型蔡氏電路中簇發(fā)振蕩及分岔機(jī)理分析研究較多，而對(duì)文氏橋振蕩器中的簇發(fā)現(xiàn)象及分岔機(jī)理研究相對(duì)較少[2-4]。文獻(xiàn)[3]將憶阻引入傳統(tǒng)文氏橋振蕩器，分析了簇發(fā)振蕩現(xiàn)象的分岔機(jī)理。

本文采用一對(duì)二極管將無(wú)源LC濾波器非線性耦合到文氏橋振蕩器RC并聯(lián)支路以替換電阻，從而構(gòu)成一種新穎的文氏橋振蕩器。該振蕩器有著電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、物理實(shí)現(xiàn)容易、電路特性穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。

1 四階文氏橋振蕩器

新提出的文氏橋振蕩器電路如圖1所示，它含有四個(gè)動(dòng)態(tài)元件電容C1、電容C2、電容C3和電感L，分別對(duì)應(yīng)四個(gè)狀態(tài)變量為v1、v2、v3和iL?？紤]到運(yùn)算放大器的“虛短路”和“虛斷路”特征，并根據(jù)基爾霍夫電壓、電流定律和元件本構(gòu)關(guān)系，可得描述電路的微分方程組為

(1)

其中k=Rf/Ri，ρ=1/(nVT)，IS，n和VT分別為二極管的反向飽和電流、發(fā)射系數(shù)和溫度電壓。

圖1 四階文氏橋振蕩器

電路中二極管采用1N4148型，相應(yīng)參數(shù)為IS= 6.8913 nA，n=1.8268和VT= 25 mV，典型電路參數(shù)為C1=1 nF，C2= 10 nF，C3=4.7 nF，L= 10 mH，Ri=2 kΩ，Rf= 6 kΩ。

2 依賴于電路參數(shù)R的動(dòng)力學(xué)行為

選取典型電路參數(shù)，并以R為變量，電路狀態(tài)變量v1(t)的分岔圖如圖2(a)所示，由Wolf算法計(jì)算得到的李雅普諾夫指數(shù)譜如圖2(b)所示，電路狀態(tài)變量初值為v1(0) =0 V、v2(0)=0.01 V、v3(0)=0 V和iL(0) =0 A。在圖2(b)中，為清晰起見(jiàn)，只給出了最大的3根李雅普諾夫指數(shù)LE1、LE2和LE3。此外，圖2(a)中分岔圖和圖2(b)中李雅普諾夫指數(shù)譜在各參數(shù)區(qū)間所呈現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)行為是完全一致的。

當(dāng)R增大時(shí)，可相應(yīng)地將文氏橋振蕩器狀態(tài)變量v1(t)的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜劃分為兩個(gè)參數(shù)區(qū)間分析，分別為R∈[20 kΩ, 27.6 kΩ]和R∈(27.6 kΩ, 35 kΩ]。當(dāng)R在[20 kΩ, 27.6 kΩ]區(qū)間逐漸變大時(shí)，文氏橋振蕩器的動(dòng)力學(xué)行為從周期軌道 (LE1= 0且LE2< 0) 進(jìn)入混沌軌道(LE1> 0且LE2= 0)，后經(jīng)逆倍周期分岔進(jìn)入周期軌道(LE1= 0且LE2< 0)。當(dāng)R在(27.6 kΩ, 35 kΩ]區(qū)間內(nèi)逐漸增大時(shí)，文氏橋振蕩器的動(dòng)力學(xué)行為從混沌軌道(LE1>0且LE2= 0)，最終運(yùn)行軌線落入準(zhǔn)周期軌道(LE1=0且LE2<0)。另外，在混沌區(qū)域內(nèi)存在周期窗，對(duì)應(yīng)最大李雅普諾夫指數(shù)等于零。

圖3給出電路參數(shù)R取不同值時(shí)，文氏橋振蕩電路在v1(t)-v3(t)平面上的相軌圖, 當(dāng)R分別為22 kΩ和24.5 kΩ時(shí)，相軌圖分別如圖3(a)和3(b)所示，分別為混沌軌道和周期軌道。特別地，圖3(c)和3(d)分別為混沌簇發(fā)振蕩和周期簇發(fā)振蕩。下面對(duì)簇發(fā)振蕩現(xiàn)象進(jìn)行詳細(xì)地分析。

(a) 狀態(tài)變量v1(t)的分岔圖

(b) 李雅普諾夫指數(shù)譜圖2 文氏橋振蕩電路的動(dòng)力學(xué)行為

3 簇發(fā)振蕩的數(shù)值仿真

由圖3(c)和(d)可知，文氏橋振蕩電路存在兩種對(duì)稱(chēng)的簇發(fā)振蕩，分別為混沌簇發(fā)振蕩和周期簇發(fā)振蕩。

為了更清晰、詳實(shí)地演繹文氏橋振蕩電路簇發(fā)振蕩現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理，相應(yīng)于圖3(c)和(d)，圖4和圖5分別給出了v2(t)-v1(t)平面上的相軌圖及v1(t)和v2(t)的時(shí)域波形。

(a) R = 22 kΩ (b) R = 24.5 kΩ

(c) R = 30 kΩ (d) R = 34 kΩ圖3 電路參數(shù)R對(duì)應(yīng)v1(t)-v3(t)平面上的相軌圖

(a) v2(t)-v1(t)平面上的相軌圖 (b) v1(t)與v2(t)的時(shí)域波形圖4 混沌簇發(fā)振蕩(R= 30 kΩ)

(a) v2(t)-v1(t)平面上的相軌圖 (b) v1(t)與v2(t)的時(shí)域波形圖5 周期簇發(fā)振蕩(R= 34 kΩ)

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

按照?qǐng)D1所示的電路原理圖，容易制作出相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)電路。這里，分立元件包括：精密可調(diào)電阻、獨(dú)石電容、手工繞制電感和1N4148二極管，實(shí)驗(yàn)采用典型電路參數(shù)并采用Tektronix TDS 3034C數(shù)字存儲(chǔ)示波器捕獲測(cè)量結(jié)果。

改變精密電阻R的值，可得不同R值對(duì)應(yīng)的文氏橋振蕩器在v1(t)-v3(t)平面上的相軌圖如圖6所示。為進(jìn)一步地驗(yàn)證簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，圖7和圖8所示為從示波器分別獲取的R=30 kΩ和R= 34 kΩ文氏橋振蕩器在v2(t)-v1(t)平面上的相軌圖及時(shí)域波形。

對(duì)比相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量與數(shù)值仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量與數(shù)值仿真有著較好的一致性，由此印證了文氏橋振蕩系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩行為。

(a) R = 22 kΩ (b) R = 24.5 kΩ

(c) R = 30 kΩ (d) R = 34 kΩ 圖6 不同電阻值R時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得v1(t)-v3(t)平面內(nèi)相軌圖

(a) v2(t)-v1(t)平面上的相軌圖 (b) v1(t)與v2(t)時(shí)域波形圖7 實(shí)驗(yàn)測(cè)量混沌簇發(fā)振蕩(R = 30 kΩ)

(a) v2(t)-v1(t)平面上的相軌圖 (b) v1(t)與v2(t)時(shí)域波形圖8 實(shí)驗(yàn)測(cè)量混沌簇發(fā)振蕩(R= 34 kΩ)

5 結(jié)語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)的文氏橋振蕩器中采用LC濾波器替換并聯(lián)支路電阻，并用二極管實(shí)現(xiàn)耦合，實(shí)現(xiàn)了一種新穎的四階文氏橋振蕩器。建立了數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)試驗(yàn)證了該文氏橋振蕩系統(tǒng)存在周期簇發(fā)振蕩和混沌簇發(fā)振蕩現(xiàn)象。新提出的文氏橋振蕩器具有簡(jiǎn)單的電路結(jié)構(gòu)，易于物理實(shí)現(xiàn)。

[1] Dana S K, Sethia G C, Sen A. Bursting Near homoclinic bifurcation in Two Coupled Chua oscillators[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2011, 17(17): 3437 - 3442.

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[3] Wu H G, Bao B C, Liu Z, Xu Q, et al. Chaotic and periodic bursting phenomena in a memristive Wien bridged oscillator[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 83: 893 - 904.

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Bursting Phenomenon Analyses and Experimental Validation in Wien-bridge Oscillator

XU Quan, ZHANG Qin-ling, SHI Guo-dong

(SchoolofInformationScienceandEngineering,ChangzhouUniv.,Changzhou213164,China)

Replacing the parallel resistor with a passive LC filter and nonlinear coupling by a diode pair to the parallel bridge arm of classical Wien-bridge oscillator, a novel Wien-bridge oscillator is implemented. The dynamical model is established, upon which the dynamical behavior is performed. The results show that the fast-slow effect existing in the system under given parameter region. Furthermore, the dynamics for chaotic and period bursting phenomena are explained. A hardware realization circuit is built, the experimental circuit has simple structure and is easy to physical manufacture, and the experimental measurements and numerical simulations are consistent, verifying the validity of the theoretical analyses.

periodic bursting oscillate; chaotic bursting oscillate; Wien-bridge oscillator

2016-06-12;

2016-07-30

徐 權(quán)(1983-)，男，博士，講師.主要從事非線性電路與系統(tǒng)的教學(xué)和研究，E-mail：xuquan@cczu.edu.cn 張琴玲(1981-)，女，碩士在讀，研究方向?yàn)榉蔷€性電路與系統(tǒng)，E-mail：18115010289@163.com 史國(guó)棟(1956-)，男，博士，教授，主要從事非線性電路與系統(tǒng)的教學(xué)和研究，E-mail：xuquanwww@163.com

TN271+.6; TP918

A

1008-0686(2016)05-0046-04