張志田　吳肖波　葛耀君　陳政清

摘要：基于現(xiàn)場觀測，對特大跨度懸索橋吊桿風致振動現(xiàn)象進行了定性分析，排除了尾流馳振、渦激共振以及風雨激振的可能性.通過數(shù)值模擬和理論分析，表明這是一種主纜抖振引起的吊桿共振現(xiàn)象.隨機風場激起主纜的隨機抖振，而主纜的抖振含有豐富的模態(tài)成份，當?shù)鯒U的自振頻率與具有一定抖振能量的主纜模態(tài)的頻率充分接近時會激發(fā)吊桿的共振.因此，從來流紊流風場中獲得能量的是主纜而非吊桿自身.由于與主纜的模態(tài)質(zhì)量相比，一根或幾根吊桿的模態(tài)質(zhì)量很小，因此吊桿大幅振動吸收的能量并不會對主纜的振動帶來實質(zhì)性的影響，從而可形成一個相對穩(wěn)定的能量供給機制.此外，在主纜上加設(shè)TMD抑制主纜在吊桿自然頻率附近的振動，對吊桿風振有明顯的抑制效果.

關(guān)鍵詞：懸索橋；吊桿；主纜；抖振；共振；調(diào)質(zhì)阻尼器

中圖分類號：U448.25 文獻標識碼：A

Abstract：The mechanism of windinduced oscillation of hangers in a longspan suspension bridge was investigated qualitatively on the basis of field observations， and the possibility of wake galloping， or vortexinduced resonance， or windraininduced oscillation was excluded by reasoning. Numerical simulation and theoretical analysis reveal that this is a kind of resonance induced by the buffeting of main cables. Stochastic wind fields excite the stochastic responses of the main cables， which are abundant in a wide range of modal components， and the resonance occurs when the natural frequency of a hanger is adequately close to one of the main cables natural frequencies that possess enough energy. Hence， it is not the hangers themselves but the main cables that are responsible for the energy absorbing from the turbulence. Compared with the modal mass of a main cable， the mass of one hanger is too small to pose substantial effects on the oscillation of the main cable， and therefore， a steady supply of energy from the main cable to the hangers can be formed. Furthermore， TMD mounted on the main cables can suppress the windinduced vibration of cables at the natural frequency of hangers， which results in the significant reduction of the vibration of the hangers.

Key words：suspension bridge； hanger； main cable； buffeting； resonance； tuned mass damper

拉索體系橋梁是風敏感結(jié)構(gòu)，其主要構(gòu)件易發(fā)生各類風致振動.除加勁梁易發(fā)生的顫振以及渦激共振現(xiàn)象外，拉索以及吊桿的風致振動也是極易出現(xiàn)的問題.在橋梁纜索的風振方面，國內(nèi)外的研究大多圍繞在較易發(fā)生振動的斜拉索展開，原因是傾斜的拉索容易發(fā)生風雨激振及參數(shù)共振等振動現(xiàn)象[1-2].而關(guān)于豎直安裝的圓形吊桿卻僅限于單根索的渦激振動和多根并列索的尾流馳振問題[3-5].2012年8月，臺風“?？钡侨胛覈鴸|海岸，引起國內(nèi)某特大跨懸索橋吊桿的大幅振動.如圖1所示，該大橋管理部門的視頻資料顯示了吊桿的振動強度.部分重要特征總結(jié)如下：1）橋塔附近的長吊桿振動激烈，短吊桿振動不明顯；2）對于大幅振動的吊桿，其4根平行的鋼絲繩振動步調(diào)基本一致，但并不完全同步；3）振動方向基本上垂直于橋軸線；4）吊桿振動主頻約為0.4 Hz.

類似的振動并非首次出現(xiàn).1998年春，主跨為1 624 m的丹麥大帶東橋尚在施工尾期就發(fā)現(xiàn)了吊桿的大幅振動現(xiàn)象.之后，該橋吊桿的大幅振動現(xiàn)象時有發(fā)生，且主要發(fā)生在長度超過100 m的吊桿[6].十幾年來，該橋在吊桿上先后安裝了螺旋線、抗風索、調(diào)液阻尼器、液壓阻尼器等措施但仍然難以控制且無法消除.遺憾的是，至今為止工程師們?nèi)匀粵]有找到該橋吊桿振動的本質(zhì)原因.在此背景下，本文結(jié)合國內(nèi)某超大跨度懸索橋現(xiàn)場觀察到的吊桿振動現(xiàn)象，從理論上討論了長吊桿的一種新的振動形式，即主纜抖振引起的吊桿內(nèi)共振，并提出在主纜上加設(shè)TMD間接抑制吊桿振動的減振措施.

1定性分析

1.1尾流馳振

如圖2（a）所示，尾流馳振的機理是由于存在某一特定的平均剪切風場，在該風場中按橢圓形路徑振動的圓柱體在一個完整的振動周期內(nèi)會從風場中吸收能量[7].如果從風場中獲得的能量大于結(jié)構(gòu)阻尼的耗散量，振幅將不斷增加直到能量平衡，并保持一個穩(wěn)態(tài)的極限環(huán)[8].

本文所分析的橋梁其吊桿由4根平行排列的鋼絲繩組成，因而后面形成的平均剪切風場相對于圖2（a）而言更為復雜，如圖3所示.但其基本原理完全一致，因而能夠根據(jù)以下尾流馳振的兩個基本特性將這一原因排除.

1）尾流馳振的臨界條件實質(zhì)上是取決于平均剪切風場中拉索的氣動力空間分布特性，而與拉索本身的頻率特性無關(guān).如圖4所示，下游柱體的剛度矩陣可表示為：

2）對于尾流馳振，振動僅限于下游位于尾流區(qū)的柱體，而非兩者同時發(fā)生.然而，現(xiàn)場觀測顯示上游和下游的鋼絲繩均發(fā)生振動.

考慮到觀察到的振動與上述尾流馳振基本特性不符，故可排除這種振動機理.

1.2渦激共振

對于位于上游其它鋼絲繩尾流中的索，不僅只有平均風荷載作用，而且還有非定常脈動氣動荷載，如圖2（b）所示.下游吊桿的脈動荷載由其自身產(chǎn)生的渦脫及上游桿的尾渦共同控制.在工程常見的雷諾數(shù)范圍內(nèi)，柱體的斯托哈數(shù)范圍為：

St=fd/U=0.2～0.4 （7）

式中：f為柱體漩渦脫落的頻率.

不管漩渦脫落是規(guī)則還是不規(guī)則（諧波或隨機），渦脫的卓越頻率不應(yīng)與式（7）確定的范圍相差太大.因此，由風速和吊桿直徑可得到：

f=St×U/d≈50～100 Hz （8）

很明顯該頻率范圍與觀察到的振動臨近頻率（0.4 Hz）相差太遠，故觀測到的振動現(xiàn)象不可能是渦激共振.

1.3風雨激振

斜拉索的風雨激振已在國內(nèi)外范圍進行了廣泛的研究，雖然臺風“?？惫粼摌驎r正在下雨，但是缺少拉索風雨振的基本條件，一是吊桿非傾斜而是豎直安裝，其次鋼絲繩呈螺旋形且其表面非常粗糙.水線是風雨激振形成的必不可少的條件，但在這種情況下無法形成，故風雨激振的可能性可以排除.

1.4 橋塔尾流引發(fā)振動

由于懸索橋長吊桿分布在橋塔附近，人們自然會問是否是橋塔尾流的影響導致吊桿的振動.然而，根據(jù)橋塔的尾流特性可排除這一可能性.如圖5，首先，從圖中可知實際上吊桿距尾流區(qū)很遠，尤其是當風向垂直于橋軸線時（實際觀察的風向近似垂直于橋軸線）；其次，不管是哪個風向，橋塔尾流的影響不可能涉及到圖5中的4個區(qū)域，這與現(xiàn)場觀察到的多區(qū)域吊桿振動相矛盾.因此，橋塔尾流的氣動影響不可能是該橋吊桿振動的實質(zhì)性原因.

1.5抖振引起的共振

根據(jù)大橋管理部門拍攝的視頻，臺風“?？弊饔脮r，橋上幾乎沒有車輛，因此，車輛激起的振動也可排除.最后唯一可以肯定的是，吊桿的振動必然是來源于風的作用，直接或者間接.

風場和作用在結(jié)構(gòu)上的風荷載都是隨機的，因此結(jié)構(gòu)響應(yīng)也是隨機的.此外，無論是風場還是脈動風荷載都具有廣譜特性.因此，全橋會有廣譜特性的抖振響應(yīng).主纜具有豐富的橫向振動自然模態(tài)，所有吊桿上端都與主纜相連，不難推測，主纜的振動很可能是吊桿的激勵源.吊桿的自然頻率隨著安裝長度逐漸改變，當?shù)鯒U的頻率與主纜的某階具有一定抖振能量的模態(tài)的頻率充分接近時，能激發(fā)其共振.以下將通過數(shù)值計算方法驗證這種共振機制.

2有限元模型與荷載

2.1有限元模型

該橋總跨徑2 713 m，主跨長度1 650 m，北邊跨長度578 m，主跨和北邊跨為連續(xù)鋼箱梁并有吊桿支撐.南邊是總長為485 m的引橋.大橋整體及吊桿布置如圖6所示，有限元模型如圖7所示.

由于要調(diào)查吊桿的振動問題，因此在全橋有限元模型中吊桿需要進行細化以體現(xiàn)其振動特性.另一方面，從現(xiàn)場觀測的結(jié)果來看，短吊桿并沒有發(fā)生大幅振動現(xiàn)象.因此，基于節(jié)省計算資源考慮，吊桿單元的細化只限定在橋塔附近的10根長吊桿（主跨5根：M1～M5；邊跨5根：S1～S5），如圖8所示，每根吊桿被細化為12個單元，足以模擬從低到中等頻率的模態(tài)振動.

結(jié)構(gòu)的基本動力特性可以從結(jié)構(gòu)的有限元模型特征值分析得到，由于吊桿的自振模態(tài)分布太多太廣，這里僅在圖9給出S2和M2號等長吊桿的部分橫向振動模態(tài).

從圖9可知吊桿的自振頻率較低且分布緊密，比如第29階（f29=0.371 5 Hz）和第39階（f39=0.398 5 Hz），階次相差大但振動形態(tài)與頻率卻非常接近.且在很小的頻率區(qū)間內(nèi)會出現(xiàn)大量吊桿和主纜同時的振動模態(tài).

需要指出的是：雖然S2和M2號吊桿短于S1和M1號吊桿，但其固有頻率明顯低于S1和M1號吊桿.究其原因是S1，S2，M1和M2號吊桿的鋼絲繩面積均為3 960 mm2，遠大于其他吊桿的標準面積1 815 mm2，而在S1和M1號吊桿之間的主梁在豎向沒有受到支座的豎向支撐，此處局部跨度為48 m，遠大于其他兩根臨近吊桿間的標準跨度18 m，成橋狀態(tài)S1和M1吊桿的軸向拉力約為S2號和M2號吊桿的2倍.

因此，由張拉弦固有頻率計算公式：

f=n2LTρ（9）

式中：f為固有頻率；n為模態(tài)階數(shù)；L為弦長度；T為弦內(nèi)部張力；ρ為弦線密度.

故S2號和M2號吊桿一階固有頻率更低，同時說明對于柔性結(jié)構(gòu)的該超大跨懸索橋，S2號和M2號吊桿較其他吊桿更容易引起振動，現(xiàn)場觀測也顯示S2和M2號吊桿的振動最激烈.相比于安裝在兩固定點間張拉弦的一階自然頻率是個常數(shù)，從圖9可以看出該懸索橋上彈性安裝的吊桿自振頻率是可變的，主要依賴于主纜特定的振動形態(tài).

3數(shù)值模擬

本文數(shù)值模擬的目的不是為了定量重現(xiàn)臺風“海葵”登陸時的大橋結(jié)構(gòu)響應(yīng)，而是為了探討該橋長吊桿的風致振動機理，找出其風振的主要原因.因此，同時提取吊桿的中點、與主纜連接的上端點以及與主梁連接的下端點的橫向位移時程進行討論；同時對振動進行頻譜分析，找到能量傳遞途徑.

3.1阻尼比選取

采用Rayleigh阻尼模型，瑞利阻尼矩陣[C]由質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]按比例組合構(gòu)造而成的，公式如下：

C=αM+βK （17）

式中：α，β為瑞利阻尼系數(shù).對于特定模態(tài)固有圓頻率ωi，對應(yīng)的阻尼比ξi為：

ξi=α2ω+βωi2（18）

根據(jù)模態(tài)分析結(jié)果，選取主纜橫向振動主頻0.227 8 Hz為第一頻率參考點，這一頻率點對應(yīng)的阻尼比為0.005；選取S2號吊桿自然頻率0.371 5 Hz為第二頻率參考點，該頻率點對應(yīng)的阻尼比為0.003，阻尼曲線如圖12所示.

3.2 數(shù)值模擬結(jié)果

時域數(shù)值分析過程中，僅在主梁和主纜上施加抖振風荷載，吊桿本身上并不施加荷載.

3.2.1 吊桿橫向位移時程

主梁主跨中點橋面標高的平均風速取為U=30 m/s時，經(jīng)過動力時程分析，得到S1～S5和M1～M5號吊桿中點和與主纜連接上端點的橫向振動位移時程，如圖13所示.

由時程分析結(jié)果可知，部分吊桿具有明顯的共振特征，尤其是S2與M2號吊桿.主纜對吊桿只需較小幅度的激勵就可以導致吊桿相當大的橫向振動.從圖中可以看出，大多數(shù)其他吊桿仍表現(xiàn)出典型的強迫振動特征.需要指出的是，為避免在定性時造成困惑，本文忽略作用在吊桿上的風荷載，因而吊桿振動的激勵源只可能來自與主纜連接的上端點或者與主梁連接的下端點.然而，本橋加勁梁的低階橫向振動固有頻率與吊桿振動主頻率相差甚遠.因此，可確定激勵源只能來自主纜的振動.

需要強調(diào)的是，本文是從定性的角度去探討這一種風致共振現(xiàn)象，而非定量.這主要體現(xiàn)在以下兩方面：首先，在數(shù)值分析過程中使用的脈動風譜特性、空間相關(guān)特性是模擬所得，不能也不可能與任一座橋梁的實際脈動風的風譜特性及相關(guān)特性完全一致.這些差異必定會造成結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)的計算特性與實際之間的差異，因此風速的大小無法定量地確定結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，尤其是某一頻率點處的譜值；其次，有限元模型所確定的動力特性，如頻率與阻尼，并沒有與該橋的實際情況進行校核.有限元建模過程中，主纜以及吊桿中的初始張力是以與結(jié)構(gòu)自重荷載基本平衡的原則進行確定的.但在實橋上，受施工過程等多方面因素的影響，吊桿的張力可能會與計算模型有所出入.甚至一組吊桿的4根鋼絲繩的張力都有可能不是完全一樣.因此，實際橋梁上哪些吊桿最容易出現(xiàn)共振現(xiàn)象，共振幅值會有多大，這些都不能由數(shù)值分析來精確定位.本文數(shù)值分析說明的基本原理是，只要主纜與吊桿的自振頻率足夠接近，且風場在這一頻率附近處能激起主纜足夠的抖振能量，那么主纜與吊桿之間的內(nèi)共振現(xiàn)象就一定會發(fā)生.在大跨度懸索橋中，由于吊桿長度的變化規(guī)律，滿足這一條件并不困難.

3.2.2 頻譜分析

為了進一步定性分析吊桿的共振問題，取振動最為激烈的長吊桿（S2號吊桿）橫向位移時程進行頻譜分析，如圖14所示.從圖14頻譜結(jié)果可以看出吊桿共振僅需很小幅度的主纜激勵.頻譜結(jié)果表明主纜橫向振動的卓越頻率為0.22 Hz，并非吊桿的共振頻率0.37 Hz，但我們可注意到在0.37 Hz附近，主纜有很小的一個能量峰值點，正是這一部分頻率特性的能量激起了吊桿共振響應(yīng)，導致主纜從脈動風場中吸收的動能轉(zhuǎn)化為吊桿的動能.另一方面，我們可以注意到加勁梁在吊桿共振頻率（0.37 Hz）附近幾乎沒有可察覺的能量.值得討論的是，在內(nèi)共振中，通常能量存在一個此消彼長的關(guān)系，即當能量從某一構(gòu)件轉(zhuǎn)移到另一構(gòu)件后，前者振幅會減小.然而，本文研究的共振機制在主纜與吊桿之間發(fā)生，前者的模態(tài)質(zhì)量遠遠大于后者，因此吊桿從主纜吸收能量并不一定會對主纜本身的振動造成實質(zhì)性的影響，從而可形成一個穩(wěn)定的能量供給機制.換言之，主纜自身的振幅基本上只受隨機風場的強迫振動控制，跟轉(zhuǎn)移到吊桿上去的那一小部分能量關(guān)系不大.由于隨機性是抖振的固有特性，因此這種主纜抖振引起的吊桿共振也勢必同樣具有隨機特性，這一性質(zhì)從時間上表現(xiàn)為不平穩(wěn)，這一點從圖13可以明顯地觀察到.

4 減振措施初探

吊桿的持續(xù)大幅振動可能在短時間內(nèi)造成索股疲勞和腐蝕，也會引起行人或行車的不舒適感和人們對橋梁使用安全性的懷疑，因此應(yīng)采取相應(yīng)的措施控制吊桿的振動.抑制吊桿風振的措施很多，多是從吊桿自身出發(fā)，比如在拉索之間增設(shè)附加拉索，改變拉索表面形狀從而改變其空氣動力特性，增設(shè)被動、主動或半主動阻尼器等.由于本文研究的拉索共振其能量源于主纜，上述控制措施效果不佳，故在主纜上加設(shè)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，通過抑制主纜在吊桿共振頻率附近的振動間接抑制吊桿的振動，從理論上討論其對吊桿振動的控制效果.

由圖14（a）可知，S2號吊桿在其共振頻率附近（0.350～0.375 Hz間）振動劇烈且峰值密集，為了改善TMD的有效性和魯棒性，采用多個具有不同動力特性組成且頻率呈線性分布的TMD抑制主纜在該頻率區(qū)間的振動.為使減振效果最優(yōu)，應(yīng)對TMD的各項參數(shù)（頻率比、質(zhì)量比、阻尼比和安裝位置等）進行最優(yōu)化設(shè)計[11].TMD的控制頻率f和阻尼常數(shù)C分別為：

f=12πKM，C=2ξKM （19）

式中：ξ為阻尼比.

本文的TMD參數(shù)并沒有在全局范圍內(nèi)進行優(yōu)化設(shè)計，僅取一組參數(shù)進行定性分析以觀其效果.主纜上TMD布置如下：TMD安裝在S1～S5和M1～M5號吊桿與主纜連接的上端點，共10個TMD.以S1～S5號吊桿上端點安裝的TMD為例，每個TMD的控制頻率為吊桿橫向位移頻譜峰值由大到小排列（依次為0.126 96 m，0.078 55 m，0.059 03 m，0.047 16 m，0.043 82 m）對應(yīng)的頻率（依次為0.371 11 Hz，0.361 11 Hz，0.362 22 Hz，0.364 44 Hz和0.360 00 Hz）.經(jīng)由多組參數(shù)優(yōu)化計算，取一組控制效果最明顯，剛度K=100 kN/m保持不變，離散TMD的質(zhì)量M（依次為183 92 kg，194 25 kg，193 06 kg，190 71 kg，195 45 kg），阻尼比ξ=8.0%保持不變.

在主纜上加設(shè)TMD與未加設(shè)TMD的橫向位移時程比較如圖15所示，可知吊桿減振效果明顯并達到80%以上.頻譜分析結(jié)果如圖16所示，主纜上加設(shè)TMD后其在吊桿共振頻率附近振動幅值明顯降低，吊桿中點的共振甚至低于其在主纜橫向振動主頻（0.22 Hz）處其隨主纜的振動，可見減振效果非常明顯.從理論上來說，控制主纜的振動并不改變吊桿本身與主纜的內(nèi)共振特性，但由于主纜是吊桿振動的能量供給源，因此控制主纜的振動相當于降低了從主纜至吊桿的能量供給，從而間接地控制了吊桿的共振幅值.

5結(jié)論

基于本文的理論分析和數(shù)值模擬可以得出以下結(jié)論：

1）分析結(jié)果表明，大跨度懸索橋主纜與吊桿存在一種因抖振引起的內(nèi)共振機制.當主纜橫向振動頻率與吊桿的自振頻率充分接近時能引發(fā)這種共振現(xiàn)象.由于主纜的模態(tài)質(zhì)量遠遠大于某一根或幾根吊桿的模態(tài)質(zhì)量，因此吊桿從主纜吸收能量并不會造成主纜振幅的明顯衰減，從而形成一個穩(wěn)定的能量供給機制.

2）抖振是在所有風速范圍內(nèi)均存在的風振現(xiàn)象.對于某一座懸索橋而言，一旦存在本文指出的這一類共振機制，那么它存在的風速以及風向范圍必定相當廣泛.

3）在主纜上加設(shè)TMD可間接控制吊桿的振動，且減振效果明顯.對于該類振動現(xiàn)象，該措施將來可作為一種供實際工程參考的減振措施.

參考文獻

[1]COSTA A P， MARTINS J A C， BRANCO F， et al. Oscillations of bridge stay cables induced by periodic motions of deck and/or towers [J]. Journal of Engineering Methanics， 1996，122（7）：613-622.

[2]ROYERCARFAGNI G F. Parametricresonanceinduced cable vibrations in network cablestayed bridges， a continuum approach [J]. Journal of Sound and Vibration， 2003， 262（5）：1191-1222.

[3]CIGADA A， DIANA G， FALCO M， et al. Vortex shedding and wakeinduced vibrations in single and bundle cables [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 1997， 72（11）：253-263.

[4]WILLIAMS R G， SUARIS W. An analytical approach to wake interference effects on circular cylindrical structures [J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 295（1）：266-281.

[5]ZDRAVKOVICH M M. Review of interferenceinduced oscillations in flow past two parallel circular cylinders in various arrangements [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 1988， 28（1）：183-200.

[6]LAURSEN Ernst， BITSCH Niels， ANDERSEN Jacob E. Analysis and mitigation of large amplitude cable vibrations at the great belt east bridge[C]//Proc 32th Congress IABSE.Copenhagen， 2006：64-71.

[7]BOKAIAN A. Galloping of a circular cylinder in the wake of another [J]. Journal of Sound and Vibration， 1989，128（1）：71-85.

[8]DOWELL E H， CLARK R，COX D，et al. A modern course in aeroelasticity [M]. Fourth Revised and Enlarged Edition. Dordrecht：Kluwer Academic Publishers， 2004： 314-327.

[9]PADOUSSIS M P， PRICE M J， LANGRE， E. Fluidstructure interactions： crossflowinduced instabilities [M]. New York： Cambridge University Press， 2011： 19-30.

[10]PRICE S J. Wake induced flutter of power transmission conductors [J]. Journal of Sound and Vibration， 1975， 38（1）：125-147.

[11]GU M， CHEN S R， CHANG C C. Parametric study on multiple tuned mass dampers for buffeting control of Yangpu Bridge [J]. J Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2001，89（11/12）： 987-1000.