金玉明

（江蘇省南京市第九中學(xué)）

例談直觀想象能力

金玉明

（江蘇省南京市第九中學(xué)）

直觀想象不等同于“數(shù)形結(jié)合”，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。

核心素養(yǎng)；直觀想象；數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要包含以下六個(gè)方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體。華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院何小亞教授曾發(fā)題為《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指標(biāo)之反思》中，高屋建瓴，針對(duì)這六個(gè)方面逐一進(jìn)行反思。其中對(duì)于第四條“直觀想象”作如此反思：把“想象”去掉，這一指標(biāo)的內(nèi)容實(shí)際上就是“數(shù)形結(jié)合”。這一點(diǎn)作為一線教師的我感覺是否有失偏頗？

在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，我們經(jīng)常需要借助一些實(shí)例進(jìn)行分析，讓學(xué)生經(jīng)歷由直觀到抽象的過(guò)程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模，解決問(wèn)題。對(duì)這些實(shí)例的研究，筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)歸為直觀想象的范疇，這些內(nèi)容卻有可能與幾何或者是數(shù)形結(jié)合并無(wú)關(guān)系。

一、三個(gè)實(shí)例，談一談直觀想象核心素養(yǎng)不等價(jià)“數(shù)形結(jié)合”

實(shí)例（一）：鎮(zhèn)江一中一節(jié)公開課的引入背景：“糖水加糖，糖水會(huì)變甜”這一現(xiàn)象說(shuō)明了函數(shù)的一個(gè)什么性質(zhì)？從本例中可以給學(xué)生一個(gè)直觀想象，那就是當(dāng)一個(gè)量在增大時(shí)，另一個(gè)量隨之增大，從函數(shù)的性質(zhì)來(lái)看就是函數(shù)單調(diào)遞增。“如何用函數(shù)的性質(zhì)表示這一現(xiàn)象”就是一個(gè)直觀想象的過(guò)程。當(dāng)然這個(gè)過(guò)程必須有一個(gè)完整的體系，那就是直觀想象—特殊數(shù)學(xué)模型—一般數(shù)學(xué)模型。這應(yīng)當(dāng)可以看作研究一個(gè)事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在這個(gè)現(xiàn)實(shí)、直觀的事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律中并沒有出現(xiàn)任何平面幾何或者是立體幾何圖形。

實(shí)例（二）：教材中的背景材料：等比數(shù)列的引入常用的兩個(gè)例子就是“細(xì)胞分裂”和“放射性元素的衰變”。這兩個(gè)例子的出現(xiàn)給學(xué)生一個(gè)直觀感受，并想象其后出現(xiàn)的項(xiàng)可能具有的特征。同樣這樣的想象過(guò)程也是遵循直觀想象—特殊數(shù)學(xué)模型—一般數(shù)學(xué)模型這樣一個(gè)建模的過(guò)程。這個(gè)例子也說(shuō)明直觀想象不一定與圖形有關(guān)系，可能就是數(shù)的變化規(guī)律。

實(shí)例（三）：現(xiàn)實(shí)生活中的例子：侯振挺證明巴爾姆猜想（“排除論”中的著名猜想）：候車室望著排隊(duì)上車的隊(duì)伍，回想起研究的問(wèn)題，突然神思飛躍，覺得一排長(zhǎng)長(zhǎng)的隊(duì)伍變成一行行算式，這一個(gè)個(gè)人影都成了數(shù)學(xué)符號(hào)，一下子豁然開朗。這顯然也不能說(shuō)這就是數(shù)形結(jié)合的思想方法，但這卻是直觀想象的一種形式。

二、對(duì)三個(gè)實(shí)例中直觀想象和數(shù)形結(jié)合區(qū)別的探究

由以上三個(gè)實(shí)例，讓筆者深切感受了“直觀想象”素養(yǎng)的各種形式，不只是“數(shù)形結(jié)合”思想方法，它同時(shí)還囊括了在空間中事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律等各方面，它蘊(yùn)含了“數(shù)形結(jié)合”思想方法，同時(shí)也將其外延為一切規(guī)律的思考與探究。在以后的教學(xué)中，我們培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，看樣子不只是數(shù)形結(jié)合，而是發(fā)掘從直觀到抽象之間的事物本質(zhì)聯(lián)系。

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。所以筆者認(rèn)為，直觀想象不等同于“數(shù)形結(jié)合”，或者說(shuō)不只是“數(shù)形結(jié)合”。當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合也是直觀想象的重要組成部分。

三、數(shù)學(xué)問(wèn)題中直觀想象的地位與作用

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。具體來(lái)說(shuō)，就是由具體到抽象的能力。數(shù)學(xué)提出問(wèn)題通常是因?yàn)槟承﹩?wèn)題得不到解決而發(fā)現(xiàn)的，這些背景材料可能是生活中的實(shí)例，特別是相鄰學(xué)科研究過(guò)程中遇到了某些問(wèn)題而發(fā)現(xiàn)的，比如，牛頓在研究物理問(wèn)題時(shí)創(chuàng)造出了微積分；也有可能是數(shù)學(xué)問(wèn)題本身就亟待解決的，比如，大數(shù)學(xué)家歐拉在微分方程、曲面微分幾何等方面的研究。直觀想象在這些問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)中至關(guān)重要，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)敏感性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的重要手段。

四、如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象

借助教材中的背景材料培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，應(yīng)當(dāng)是一個(gè)行之有效的辦法，包括立體幾何、解析幾何、函數(shù)、向量中的幾何背景以及集合、數(shù)列、復(fù)數(shù)等問(wèn)題中的直觀背景。對(duì)于教材中的背景材料，通常只會(huì)將其作為輔助的引入材料，忽視了其作為發(fā)現(xiàn)問(wèn)題源頭的重要作用。數(shù)學(xué)的提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程通常都會(huì)遵循規(guī)則：特殊實(shí)例—特殊數(shù)學(xué)模型—一般數(shù)學(xué)模型—一般數(shù)學(xué)方法這樣一個(gè)步驟來(lái)研究，而特殊實(shí)例顯然是問(wèn)題的源頭，也是問(wèn)題提出的關(guān)鍵所在。我們?cè)诮虒W(xué)中一定要仔細(xì)研究背景材料的切入口以及與數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系，合理使用背景材料，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和模型，從而解決問(wèn)題。

何小亞.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指標(biāo)之反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（7）.

●編輯 魯翠紅