馬 婷, 張 彥， 韓 嬋

(西安建筑科技大學 華清學院,西安 710043)

緊一致空間中函數(shù)的逼近定理

馬 婷, 張 彥， 韓 嬋

(西安建筑科技大學 華清學院,西安 710043)

一致空間作為一種特殊的拓撲空間，它與拓撲空間和度量空間存在著密切的聯(lián)系.通過利用非標準分析的方法對緊一致空間進行了非標準刻畫，得到了緊一致空間中函數(shù)收斂與連續(xù)之間的關(guān)系；同時，利用U-微連續(xù)的定義證明了一致空間上函數(shù)的逼近定理.

一致空間;轉(zhuǎn)換原理；逼近定理

拓撲學作為數(shù)學領(lǐng)域的一門學科，其作用是非常重要的.而一致空間作為其中的重要部分，自引進以來，定義了很多一致性質(zhì)的結(jié)論.非標準分析[1-2]作為分析學的一個重要分支，其在分析學[3]、概率論、代數(shù)數(shù)論、拓撲學[4]、流體力學、量子力學、理論物理和數(shù)理經(jīng)濟等方面得到了廣泛的應(yīng)用，本文通過對緊一致空間的非標準刻畫，證明了緊一致空間中函數(shù)收斂與連續(xù)之間的關(guān)系，并給出了一致空間中函數(shù)的逼近定理.

文中(X,u)、(Y,v)、(*X,*u)、(*Y,*v)均為一致空間，P是一致結(jié)構(gòu)u的格集，Q是一致結(jié)構(gòu)v的格集.其中p∈P，q∈Q.

定義1[5]設(shè)u是X×X的非空子集族，如果u滿足以下條件：

(1)對一切的U∈u，Δ?U；

(2)如果U∈u，有U-∈u；

(3)如果U∈u，有V∈u，使得V°V?U；

(4)如果對一切的U,V∈u，有U∩V∈u；

(5)如果U∈u且U?V?X×X，則V∈u，

則稱u為集X上的一致結(jié)構(gòu)，(X,u)為一致空間.

定義2[5]設(shè)P為X的偽度量族，如果存在一致結(jié)構(gòu)u，恰好使得P是一切在X×X上由u得出的乘積一致結(jié)構(gòu)為一致連續(xù)的偽度量族，稱P是u的格集，即u是P的一致結(jié)構(gòu).

定理1[5]若f是(X,u)到(Y,v)的映射，如果映射f關(guān)于一致結(jié)構(gòu)u和v為一致連續(xù)函數(shù)當且僅當對于一切的q∈Q、s∈R+，存在p∈P，r∈R+，使得當p(x,y)

定義3[6]設(shè)對于任一s∈R+，存在m∈N+，使得對任一x∈X，當n>m時有q(fn(x),f(x))

定理2 若f是(X,u)到(Y,v)的映射，則稱f關(guān)于一致結(jié)構(gòu)u和v是一致連續(xù)函數(shù)當且僅當對任一(x,y)∈*X×*X，如果(x,y)∈μ(u)，有(f(x),f(y))∈μ(v).

定義4 若f是(*X,*u)到(*Y,*v)的映射，對任一(x,y)∈*X×*X，如果(x,y)∈μu，有(f(x),f(y))∈μv，則稱f關(guān)于一致結(jié)構(gòu)*u和*v是U-微連續(xù)函數(shù).

定義5 設(shè)對任一fn是(X,u)到(Y,v)中的映射，如果對任一q∈Q，s∈R+，存在p∈P，r∈R+，使得對任一(x,y)∈X×X與一切的n∈N+，

當p(x,y)

q(fn(x),fn(y))

則稱{fn|n∈N+}為U-等度連續(xù)序列.

定理3 一致空間(X,u)是緊的當且僅當對任一x∈*X，存在y∈X，使得對任一p∈P，p(x,y)≈0.

證明 “?”.由于一致空間(X,u)是緊的，因此對任一x∈*X，存在y∈X，使得x∈μu(y)，又

μu(y)= {z∈*X|(z,y)∈μu}=

{z∈*X|?p∈P,p(z,y)≈0}.

故對任一p∈P，p(x,y)≈0.

“?”.顯然成立.

定理4 如果映射f在緊一致空間X上關(guān)于一致結(jié)構(gòu)u和v是連續(xù)函數(shù)，則映射f是一致連續(xù)函數(shù).

證明 設(shè)x,y∈*X，且p(x,y)≈0.

由于X為緊一致空間，因此存在z∈X，有p(z,x)≈0，即

p(z,y)≤p(z,x)+p(x,y)≈0.

又由于映射f在緊一致空間X上是連續(xù)函數(shù)，因此q(f(z),f(x))≈0且q(f(z),f(y))≈0.故

q(f(x),f(y))≤q(f(x),f(z))+q(f(z),f(y))≈0.

即結(jié)論得證.

定理5 對緊一致空間X，如果對任一x∈X，設(shè)fn(x)收斂于f(x).對任一n∈N+，如果映射fn在X上是連續(xù)函數(shù).稱fn?f當且僅當序列{fn|n∈N+}是U-等度連續(xù)函數(shù).

證明 “?”對一致空間X，因為fn?f，所以f在X上為連續(xù)函數(shù).

又由于一致空間X是緊的，因此f與一切的fn，n∈N+，在一致空間X為一致連續(xù)函數(shù).故f與一切的fn，n∈*N+在*X上是U-微連續(xù)函數(shù).

設(shè)ν∈*N-N，若x,y∈*X且p(x,y)≈0.則

q(fν(x),fν(y))≤q(fν(x),f(x))+q(f(x),f(y))+q(f(y),fν(y))≈0.

因此對于n∈*N-N，fn是U-微連續(xù)函數(shù).

又因為n∈N+，fn是U-微連續(xù)函數(shù)，因此{fn|n∈N+}是U-等度連續(xù)函數(shù).

“?”由于{fn|n∈N+}是U-等度連續(xù)函數(shù)，因此對一致空間*X，如果對任一n∈*N+，fn是U-微連續(xù)函數(shù).

任取x∈*X，ν∈*N-N.由于一致空間X是緊的，因此有y∈X，使得

p(x,y)≈0且q(fν(x),fν(y))≈0.

又因為fn(y)收斂到f(y)，即q(fn(y),f(y))≈0，所以q(fν(y),f(y))≈0.故

q(fν(x),f(y))≤q(fν(x),fν(y))+q(fν(y),f(y))≈0.

又由于f在一致空間X上是連續(xù)函數(shù)，p(x,y)≈0，故q(f(x),f(y))≈0.進而

q(fν(x),f(x))≤q(fν(x),fν(y))+q(fν(y),f(y))+q(f(y),f(x))≈0.

故fn?f.

定義6 對一致空間(X,u)，x∈*X.如果有y∈X，使得p(x,y)≈0，則稱點x為U-近似標準；反之，稱x為U-遙遠的.

定義7 若y∈X且p(x,y)有限，稱點x∈*X有限.

推論1 對(X,u)中的任一點x若為U-近似標準，則其也有限.

定義8 如果對任一U-近似標準點x，x∈*X，°x是唯一的y∈X，使得p(x,y)≈0，°x稱作x的標準部分.

定理6(逼近定理) 一致空間(X,u)是緊的，如果映射f在(*X,*u)上是U-微連續(xù)函數(shù)，且映射f是內(nèi)映射，則對任一x∈X，f(x)為U-近似標準，設(shè)x∈X，令F(x)=οf(x)，則稱F在(X,u)上為一致連續(xù)函數(shù)，且對任一x∈*X，(F(x),f(x))∈μv.

證明 任意給定x∈X，由于映射f在(*X,*u)上是U-微連續(xù)函數(shù)，并且其是內(nèi)映射，因此f也是rs-連續(xù)的.即對任一s∈R+，存在r∈R+，使得對任一y∈*X，當p(x,y)

q(f(x),f(y))

取y∈X且p(x,y)

又F(x)=οf(x)，所以q(F(x),f(x))≈0，q(F(y),f(y))≈0.故

q(F(x),f(y))≤q(F(x),f(x))+q(f(x),f(y))+q(f(y),f(y))

即F在點x處為一致連續(xù)函數(shù)，因為x是任取的，所以F在(X,u)上為一致連續(xù)函數(shù).

令x∈*X，由于一致空間(X,u)是緊的，因此對任一p∈P，p(x,y)≈0，y∈X.

又f是U-微連續(xù)函數(shù)，因此q(f(x),f(y))≈0且F在(X,u)上為一致連續(xù)函數(shù)，即q(F(x),f(y))≈0，由于q(F(y),f(y))≈0，故

q(F(x),f(x))≤q(F(x),F(y))+q(F(y),f(y))+q(f(y),f(x))≈0.

因此結(jié)論得證.

[1] ROBINSON A.Nonstandard analysis,Studies in logic and the foundations of mathematics[M].North-Holland,1966:5-12.

[2] DAVIS M.Applied nonstandard analysis[M].New York:Wiley,1977:96-97.

[3] LI B H,LI YQ.Defining new generalized functions by nonstandard discrete functions and difference quotients[J].應(yīng)用泛函分析學報,2004,6(4):322-346.

[4] WANG R D.The equivalence of two convergent sequence of bounde sequences in normed space[J].Journal of Mathematical Research & Exposition,2009,29(3):568-570.

[5] KELLY J L.General topology[M].New York:Springer-verlag,1975:175-200.

[6] KELLY J L.一般拓撲學[M].吳從忻,吳讓泉譯.北京:科學出版社，1982:161-176.

[責任編輯 王新奇]

The Approximation Theorem in Compact Uniform Space

MA Ting, ZHANG Yan, HAN Chan

(Huaqing College, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710043, China)

As a special topological space, uniform space has close contact with topological space and metric space. In this paper, the compact uniform space is nonstandard characterized by the methods of nonstandard analysis. The relationship between convergent and continuity of function are obtained; And the approximation theorem of function in uniform space are proved by the concept ofU-microcontinuity.

uniform space; transfer principle; approximation theorem

1008-5564(2016)06-0001-03

2016-05-28

陜西省教育廳專項科研基金(15JK2052)；西安建筑科技大學華清學院科研項目(201503)

馬 婷(1986—), 女, 陜西西安人, 西安建筑科技大學華清學院助教，碩士，主要從事非標準分析研究.

O141.41

A