文_陳鍇（北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

北京軌道交通系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與整體連通性分析

文_陳鍇（北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

為定量分析軌道交通系統(tǒng)整體連通性受單個(gè)站點(diǎn)的影響提出方法。在Space-L拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，從全局網(wǎng)絡(luò)效率計(jì)算入手，比較單一節(jié)點(diǎn)失效后全局網(wǎng)絡(luò)效率與原始全局網(wǎng)絡(luò)效率的變化情況，從而對(duì)各站點(diǎn)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)連通性的影響進(jìn)行評(píng)價(jià)。在分析比較各站點(diǎn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)參數(shù)及相對(duì)位置后，得出結(jié)論：?jiǎn)蝹€(gè)站點(diǎn)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)連通性的影響主要與其在網(wǎng)絡(luò)中的相對(duì)位置有關(guān)；位于末端支路與環(huán)狀結(jié)構(gòu)交匯處的站點(diǎn)對(duì)連通性影響最大，這些站點(diǎn)一旦失效，將可能導(dǎo)致整條線路崩潰。

交通規(guī)劃；軌道交通系統(tǒng)；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；連通性；整體網(wǎng)絡(luò)效率

軌道交通線網(wǎng)的結(jié)構(gòu)與性能一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。李海峰等將軌道交通的網(wǎng)絡(luò)分為放射形軌道交通網(wǎng)絡(luò)、“環(huán)+放射形”軌道交通網(wǎng)絡(luò)、方格形軌道交通網(wǎng)絡(luò)和遍布整個(gè)城市的軌道交通網(wǎng)絡(luò)等【1】。沈景炎提出，盡管每座城市線網(wǎng)的構(gòu)架各有特點(diǎn)，但總體上可以歸納為由放射形線網(wǎng)、設(shè)置環(huán)線的線網(wǎng)和棋盤式等基本功能單元組合而成【2】。

但現(xiàn)有的研究往往集中在城市中心區(qū)域的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，忽略了軌道交通線網(wǎng)末端對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)連通性的影響。如圖1，北京市的軌道交通線網(wǎng)可以視為較為典型的“環(huán)+放射形”軌道交通網(wǎng)絡(luò)。截止至2016年5月，北京市軌道交通系統(tǒng)共有站點(diǎn)277座，其中位于四環(huán)外的站點(diǎn)共142座，占總數(shù)的51.3%；其中位于環(huán)狀結(jié)構(gòu)外的末端支路站點(diǎn)111座，占總數(shù)的40.1%。

這些末端支路站點(diǎn)的存在使得軌道交通線網(wǎng)的功能更加完善，與此同時(shí)，由于居住與就業(yè)不匹配導(dǎo)致的早晚高峰大規(guī)模通勤使得部分線路負(fù)荷度過(guò)高，最高甚至達(dá)到144%。以地鐵5號(hào)線天通苑南站、天通苑站和天通苑北站為例。這些站點(diǎn)所在區(qū)域土地開發(fā)性質(zhì)較為單一，以住宅為主，缺乏就業(yè)機(jī)會(huì)。因此在早晚高峰，形成了巨大的通勤交通，并呈現(xiàn)出明顯的潮汐交通流向【3】。因此早晚高峰這些站點(diǎn)內(nèi)普遍存在擁擠和旅客滯留的情況。當(dāng)擁擠和滯留達(dá)到一定程度時(shí)，節(jié)點(diǎn)功能失效，從而會(huì)對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的連通性產(chǎn)生負(fù)面影響。

本文通過(guò)搭建北京市軌道交通網(wǎng)絡(luò)模型，利用全局網(wǎng)絡(luò)效率分析了地鐵網(wǎng)絡(luò)末端結(jié)構(gòu)對(duì)整體連通性的影響。

軌道交通系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及研究途徑

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是具有眾多節(jié)點(diǎn)以及特定功能的特殊網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它擁有一定的幾何性質(zhì)以及相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。因此，統(tǒng)計(jì)物理和圖論都是研究這種共性的有效工具。

從圖論角度來(lái)講，網(wǎng)絡(luò)是指由一個(gè)點(diǎn)集和一個(gè)邊集組成的相互關(guān)聯(lián)的圖【6】，且中的每條邊都有的一對(duì)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。如果任意與對(duì)應(yīng)同一條邊，則稱為無(wú)向網(wǎng)絡(luò)，否則為有向網(wǎng)絡(luò)；如果任意，則稱為無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)，否則為加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的角度來(lái)看，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以視作一個(gè)包含大量相互作用個(gè)體的復(fù)雜系統(tǒng)。它將個(gè)體抽象為節(jié)點(diǎn)，將個(gè)體間的相互作用抽象為邊，通過(guò)研究網(wǎng)路的物理參數(shù)進(jìn)而了解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)方式。

軌道交通網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

基于北京市軌道交通系統(tǒng)的物理連接，以276個(gè)站點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)（其中機(jī)場(chǎng)2號(hào)航站樓站、機(jī)場(chǎng)3號(hào)航站樓站視為一個(gè)站點(diǎn)），各站點(diǎn)間實(shí)際直接連通的地鐵線路為邊，采用Space-L法構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。構(gòu)建結(jié)果如圖2。根據(jù)圖示，可以較為清晰地將站點(diǎn)劃分為環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部站點(diǎn)和環(huán)狀結(jié)構(gòu)外的末端支路站點(diǎn)。

在構(gòu)建過(guò)程中，遵循以下原則：

1. 任意直接連通節(jié)點(diǎn)可互為出發(fā)地和目的地，將整個(gè)網(wǎng)絡(luò)抽象為無(wú)向網(wǎng)絡(luò)；

2. 不考慮城市軌道交通中的各條線路的全天運(yùn)用車組數(shù)、發(fā)車時(shí)間以及各線路發(fā)車間隔差異等因素，即不考慮網(wǎng)絡(luò)中連接權(quán)重問(wèn)題，將整個(gè)網(wǎng)絡(luò)抽象為無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)；

3. 不考慮站間距差異，任意相鄰兩站間距視為相等；

4. 換乘站不重復(fù)計(jì)數(shù)。為方便相關(guān)參數(shù)計(jì)算，本文同時(shí)構(gòu)建了鄰接矩陣表示該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。其中（1）

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計(jì)特征

目前在文獻(xiàn)中出現(xiàn)的幾何量有：度分布、最短路徑、相關(guān)系數(shù)、聚類系數(shù)、邊密度、介數(shù)、平均度等等。它們分別描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不同方面的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以比較全面的描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在特征。其中較為基本的統(tǒng)計(jì)特征有：度(degree distribution)、平均路徑長(zhǎng)度(average pathlength)。

度與度分布

節(jié)點(diǎn)度是衡量節(jié)點(diǎn)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中重要性的指標(biāo)，節(jié)點(diǎn)的度值表示與相鄰的節(jié)點(diǎn)數(shù)目。一般情況下，節(jié)點(diǎn)度值越高，該節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的重要性越高。網(wǎng)絡(luò)上所有節(jié)點(diǎn)的平均值稱為網(wǎng)絡(luò)平均度，記為。

圖2 北京軌道交通系統(tǒng)拓?fù)鋱D

網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度的分布情況可以用分布函數(shù)進(jìn)行表示。

根據(jù)定義統(tǒng)計(jì)得到北京市軌道交通系統(tǒng)276個(gè)站點(diǎn)的度值，平均度值為2.29。部分節(jié)點(diǎn)度值如表1：

表1 部分節(jié)點(diǎn)度值

整個(gè)網(wǎng)絡(luò)度分布結(jié)果如圖3：

圖3 網(wǎng)絡(luò)度分布

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果，我們可以看出，度值為2的節(jié)點(diǎn)占絕大多數(shù)。這是由于城市軌道交通線路的特殊性決定的，城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)的延伸都是以線的形式增加的，除了始發(fā)站外，其他車站節(jié)點(diǎn)都是以度值2的形式增加的【7】。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，目前與2010年相比，平均度值有較大程度的提高，這意味著北京市軌道交通系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)密集度在逐漸增大，這與北京市軌道交通系統(tǒng)的實(shí)際情況基本相符。

平均路徑長(zhǎng)度

平均路徑長(zhǎng)度即網(wǎng)絡(luò)中任意兩點(diǎn)間最短距離的平均值，即：（2）

其中，表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，表示任意兩節(jié)點(diǎn)、間的距離。利用pajek軟件計(jì)算得北京市軌道交通系統(tǒng)平均最短路徑為14.39，較2010年有所下降。這體現(xiàn)了隨著網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的不斷優(yōu)化，換乘更加便捷。

網(wǎng)絡(luò)連通性評(píng)價(jià)

評(píng)價(jià)參數(shù)的選擇

在大多數(shù)文獻(xiàn)中，一般選用平均路徑長(zhǎng)度作為評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)連通性的指標(biāo)。其評(píng)價(jià)方法為網(wǎng)絡(luò)平均路徑越短，網(wǎng)絡(luò)連通性越好，反之則連通性越差。但針對(duì)軌道交通系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，這種評(píng)價(jià)方法存在一定的問(wèn)題。由于軌道交通網(wǎng)絡(luò)中往往存在較大比例的度值為1或2的節(jié)點(diǎn)，當(dāng)部分節(jié)點(diǎn)被破壞，網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)孤立點(diǎn)時(shí)，只能計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中最大連通子圖平均路徑長(zhǎng)度。此時(shí)平均最短路徑減小，這與連通性降低的事實(shí)相悖。

因此，這里我們引入網(wǎng)絡(luò)效率這一參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通性進(jìn)行評(píng)價(jià)。在無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，我們定義兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離的倒數(shù)為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的效率，即：（3）

當(dāng)兩節(jié)點(diǎn)間不連通時(shí)，兩節(jié)點(diǎn)間路徑長(zhǎng)度趨近于正無(wú)窮，則兩節(jié)點(diǎn)間效率為（4）

針對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，我們定義整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間效率的平均值為全局網(wǎng)絡(luò)效率(Global Efficiency)即：（5）

類似的，針對(duì)局部網(wǎng)絡(luò)，我們定義局部網(wǎng)絡(luò)效率（Local Efficiency）為（6）

其中是節(jié)點(diǎn)的臨近組成的網(wǎng)絡(luò)。

此處引用Crucitti P.文中的圖例【4】，試比較兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)在網(wǎng)絡(luò)存在孤立點(diǎn)的情況下參數(shù)的不同，如下圖4所示：

圖4 Crucitti P.文中的圖例Fig.4 The legend of Crucitti P.

上兩圖中G1、G2，節(jié)點(diǎn)數(shù)目完全相同，僅邊數(shù)存在差異，G2中有孤立點(diǎn)，因而只能計(jì)算G2最大連通子圖的平均最短路徑長(zhǎng)度。利用公式（2）計(jì)算，得到L1=1.3， L2=1。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，G2連通性優(yōu)于G1的結(jié)論與實(shí)際情況不符。利用公式（5）計(jì)算得，。所得結(jié)論與事實(shí)相符合。

因此利用網(wǎng)絡(luò)效率能夠更準(zhǔn)確的反映城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)連通可靠性。網(wǎng)絡(luò)全局效率反映了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的連通性強(qiáng)弱，網(wǎng)絡(luò)全局效率與網(wǎng)絡(luò)的連通可靠性呈正相關(guān)；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)失效后，全局網(wǎng)絡(luò)效率降低。

網(wǎng)絡(luò)效率計(jì)算

本文為分析軌道交通網(wǎng)絡(luò)末端結(jié)構(gòu)對(duì)網(wǎng)絡(luò)整體連通性的影響，逐一模擬了針對(duì)單一站點(diǎn)的攻擊，比較單一節(jié)點(diǎn)受到攻擊后，整體網(wǎng)絡(luò)效率的變化情況。主要工作通過(guò)MATLAB完成，核心代碼如下：

A=sparse(A);

ShortPath=graphallshortestpaths(A);

E=1./ShortPath;

E(E==inf)=0;

Eglob=(1/(length(A)*(length(A)-1)))*sum(sum(E))

圖5 全局網(wǎng)絡(luò)效率的分布

表2 西直門萬(wàn)壽路兩站點(diǎn)的比較

其中表示網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣及其稀疏矩陣，表示基于算法求得的全部平均最短路徑矩陣，表示全局網(wǎng)絡(luò)效率。

依照以上算法計(jì)算得正常狀態(tài)下北京市軌道交通系統(tǒng)全局網(wǎng)絡(luò)效率為0.1029，并逐一計(jì)算276個(gè)節(jié)點(diǎn)分別失效狀態(tài)下，全局網(wǎng)絡(luò)效率變化情況。計(jì)算依照各節(jié)點(diǎn)度值分類整理，如圖5：

顯然，雖然節(jié)點(diǎn)度值是表征網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)重要性的主要參數(shù)，但單一節(jié)點(diǎn)對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響大小主要與節(jié)點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)。例如，在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，西直門節(jié)點(diǎn)度值最高，但它的失效對(duì)于整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響卻小于節(jié)點(diǎn)度值為2的萬(wàn)壽路站。這里我們用任意節(jié)點(diǎn)失效對(duì)應(yīng)的整體網(wǎng)絡(luò)效率與初始網(wǎng)絡(luò)效率的差值所占百分比表示對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)連通性的影響程度。見（表2）

在前文我們提到，北京市軌道交通系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)是典型的“環(huán)+放射形”結(jié)構(gòu)。如圖6，從網(wǎng)絡(luò)整體來(lái)看，將末端支路上的節(jié)點(diǎn)和環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)節(jié)點(diǎn)分別用不同顏色標(biāo)記，并比較其對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響?？梢暂^為明顯地看到，環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)效率影響較為平均且相對(duì)較??；末端支路上的節(jié)點(diǎn)對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響則波動(dòng)較大，其中部分節(jié)點(diǎn)對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)效率影響非常明顯。（圖6）

在同一線路中，單一節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的連通性的影響呈波浪形浮動(dòng)。以地鐵一號(hào)線及八通線為例，各點(diǎn)對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響如圖7：

如圖所示，該線路對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響最大的兩點(diǎn)分別為公主墳和大望路站。分析比較節(jié)點(diǎn)在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的位置不難發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)均處于環(huán)狀結(jié)構(gòu)與放射線結(jié)構(gòu)交匯位置。同時(shí)發(fā)現(xiàn)：在末端支路結(jié)構(gòu)中，越靠近環(huán)狀結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)影響越大。這是由于環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)間相互聯(lián)系較為緊密，單一節(jié)點(diǎn)失效后，其他節(jié)點(diǎn)間最短路徑不會(huì)出現(xiàn)很大變化。結(jié)合實(shí)際情況體現(xiàn)在，環(huán)狀結(jié)構(gòu)中任意站點(diǎn)由于各種原因崩潰，乘客均可以較為容易找到替代路線，利用軌道交通系統(tǒng)完成出行。相反，末端支路上節(jié)點(diǎn)失效將導(dǎo)致孤立節(jié)點(diǎn)的出現(xiàn)，孤立節(jié)點(diǎn)越多對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)連通性影響越大。結(jié)合實(shí)際情況，即末端結(jié)構(gòu)上的站點(diǎn)一旦崩潰，則可能導(dǎo)致靠外的線路全部癱瘓。

圖6 網(wǎng)絡(luò)上單個(gè)節(jié)點(diǎn)失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通性的影響

圖7 單一線路上單個(gè)節(jié)點(diǎn)失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通性的影響

結(jié)語(yǔ)

（1）本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和北京市軌道交通系統(tǒng)實(shí)際情況，引入整體網(wǎng)絡(luò)連通效率這一參數(shù)更加準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)連通性；通過(guò)比較單個(gè)站點(diǎn)失效狀態(tài)下與原始網(wǎng)絡(luò)連通效率的變化情況，分析單一站點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通性的影響大小。

（2）通過(guò)比較節(jié)點(diǎn)度值和節(jié)點(diǎn)位置對(duì)全局網(wǎng)絡(luò)效率的影響，得出以下結(jié)論：站點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通性的影響主要與站點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)；通過(guò)對(duì)不同位置站點(diǎn)的比較發(fā)現(xiàn)，靠近環(huán)狀結(jié)構(gòu)的末端支路站點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通性影響最大。

（3）針對(duì)這一結(jié)構(gòu)性問(wèn)題，相應(yīng)的應(yīng)急預(yù)案及可替代的公共交通方式是必要的。

（4）下一步需要研究的問(wèn)題包括：結(jié)合實(shí)際客流人數(shù)和站點(diǎn)距離建立有權(quán)網(wǎng)絡(luò)，討論其對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通性的影響；結(jié)合節(jié)點(diǎn)崩潰的傳播及恢復(fù)過(guò)程，研究軌道交通系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通性的影響。

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