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基于無(wú)偏灰色Verhulst模型的鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)研究

安永娥，鮑學(xué)英，王起才

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

鐵路運(yùn)輸是受多因素影響的復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，這些影響因素的多樣性、模糊性和漸變性，導(dǎo)致了鐵路系統(tǒng)的復(fù)雜性[1-2]。這種錯(cuò)綜復(fù)雜的內(nèi)在關(guān)系決定了鐵路貨運(yùn)量與影響因素之間存在復(fù)雜的非線性關(guān)系，綜合考慮這些因素的影響，建立準(zhǔn)確的鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)模型對(duì)鐵路貨運(yùn)的組織、決策等具有重要意義。近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)鐵路貨運(yùn)量的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了大量研究，常見(jiàn)的鐵路預(yù)測(cè)方法有指數(shù)平滑法、回歸分析法、GM(1,1)模型預(yù)測(cè)法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。馬曉珂等[3]用指數(shù)平滑法對(duì)鐵路運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，該方法只能用于定量分析且由于平滑系數(shù)的選取具有不確定性；李彥[4]選用挖掘方法之一的線性回歸模型，通過(guò)與其他2種挖掘方法比較，指出線性回歸模型誤差較大，精度較低，其原因是貨運(yùn)原始數(shù)據(jù)線性程度比較差，一般均為非線性關(guān)系，支持向量回歸機(jī)輸入?yún)?shù)較少；曹飛[5]用GM(1,1)模型及殘差GM(1,1)模型對(duì)鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，殘差GM(1,1)模型較GM(1,1)模型的誤差更小，精度更高。由于原始數(shù)據(jù)中不規(guī)則數(shù)據(jù)隨機(jī)性的影響且GM(1,1)模型要求數(shù)據(jù)呈指數(shù)分布，所以對(duì)鐵路運(yùn)量有較為明顯的誤差；趙闖等[6-7]用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種非線性非參數(shù)模型，能較好地解釋鐵路貨運(yùn)量與影響因素之間的復(fù)雜非線性關(guān)系，具有的自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)能力可有效降低因假定有誤而引起的預(yù)測(cè)誤差，因而被引入到鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)中。由于神經(jīng)網(wǎng)路本身固有的缺陷，在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到過(guò)擬合、局部極小值和“維數(shù)災(zāi)難”等問(wèn)題[2]；譚司庭等[8]用一種改進(jìn)的變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)貨運(yùn)量的短期和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)；張玥等[9]用新陳代謝GM(1,1)模型對(duì)東北地區(qū)2006~2011年鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)無(wú)偏GM(1,1)模型直接建模法的思想對(duì)傳統(tǒng)灰色Verhulst進(jìn)行改進(jìn)，可得到無(wú)偏灰色Verhulst模型，此模型消除了灰色Verhulst模型自身固有的偏差[10]。通過(guò)無(wú)偏灰色Verhulst模型、灰色Verhulst模型、GM(1,1)模型對(duì)鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)的比較，可以看出無(wú)偏灰色Verhulst模型具有更高的精度。

高品質(zhì)、高密度開(kāi)通蘭州至中川鐵路是蘭州城區(qū)和蘭州新區(qū)融合發(fā)展、同城一體化的迫切要求，也是助推蘭州新區(qū)快速發(fā)展的強(qiáng)大支撐，更是國(guó)家“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略的重要組成部分?？拓涍\(yùn)營(yíng)是中川鐵路的核心業(yè)務(wù)，中川鐵路商業(yè)開(kāi)發(fā)規(guī)模大、內(nèi)容多、投資大，在可行性研究階段，需要建立模型對(duì)貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，以便分析鐵路的經(jīng)濟(jì)效益和使用價(jià)值。

1無(wú)偏灰色Verhulst模型

1.1灰色Verhulst模型理論

灰色Verhulst模型主要用來(lái)描述飽和狀態(tài)的演化過(guò)程，若原始數(shù)據(jù)呈單峰型，則可對(duì)原始數(shù)據(jù)做一階累加生成建立模型；若原始數(shù)據(jù)本身呈S型形態(tài)，且樣本量較小，則可以不經(jīng)過(guò)一階累加生成直接建立模型，即取原始數(shù)據(jù)為X(1),其1-AGO為X(0),建立灰色Verhulst模型直接對(duì)x(1)進(jìn)行模擬[11]。

設(shè)非負(fù)原始序列,其中X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(k),…,x(0)(n)),其中k=1,2,…，n

X(1)為X(0)的1-AGO序列：X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…x(1)(k),…,x(1)(n))，其中

Z(1)為X(1)緊鄰均值生成序列：Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…z(1)(n)),其中

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,…n

定義1：設(shè)X(0)為原始序列，X(1)為X(0)的1-AGO序列，Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，則稱

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2

(1)

為灰色Verhulst模型。

定義2：稱

(2)

為灰色Verhulst模型的白化方程。

(3)

1.2灰色Verhulst模型本身誤差分析

文獻(xiàn)[11]中的例10.1.1用灰色Verhulst模型對(duì)某型魚(yú)雷研制費(fèi)用進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)。原始數(shù)據(jù)如表1所示。

對(duì)某魚(yú)雷研制費(fèi)用用灰色Verhulst模型進(jìn)行模擬，得到時(shí)間響應(yīng)式為

由此得到的模擬值a如表2所示。

以表2中得到的模擬值a為原始數(shù)據(jù)再次做灰色Verhulst模型，得到時(shí)間響應(yīng)式為

由此得到的模擬值b如表3所示。

表1　某型魚(yú)雷研制費(fèi)用

表2　第1次誤差檢驗(yàn)表

表3　第2次誤差檢驗(yàn)表

由表3可知，用完全滿足灰色Verhulst模型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)形式的數(shù)據(jù)建立灰色Verhulst模型仍然會(huì)產(chǎn)生誤差，即灰色Verhulst模型自身具有誤差。通過(guò)對(duì)此模型進(jìn)行改進(jìn)以消除模型本身的誤差，這樣便可提高模擬及預(yù)測(cè)精度。

1.3改進(jìn)的無(wú)偏灰色Verhulst模型

1.3.1無(wú)偏灰色Verhulst模型改進(jìn)的思想

參照文獻(xiàn)[12]中GM(1,1)冪模型的改進(jìn)思想，即對(duì)GM(1,1)冪模型的時(shí)間響應(yīng)式

(4)

兩邊同時(shí)取1-Y次方得:

(5)

上式右邊為關(guān)于k的非齊次指數(shù)函數(shù)，這在形式上和GM(1,1)模型對(duì)一階累加生成序列的模擬響應(yīng)式是一致的。由文獻(xiàn)[13]可知，無(wú)偏GM(1，1)模型的同一表達(dá)式為：

(6)

其中，-a為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量。令上式可表示為：

x(1)(k)=β1x(1)(k-1)+β2,k=2,3,…,n

(7)

觀察灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)式不難發(fā)現(xiàn)，將時(shí)間響應(yīng)式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，即

(8)

得到的式子正好是關(guān)于k的非齊次指數(shù)函數(shù)，故可用GM(1，1)冪模型改進(jìn)的思想，即對(duì)原始數(shù)據(jù)作倒數(shù)生成按照無(wú)偏GM(1,1)模型直接建模法建立模型。

1.3.2無(wú)偏灰色Verhulst模型的建立與求解

設(shè)X(0)為原始數(shù)列，X(1)為X(0)的1-AGO序列，Y(1)為X(1)的倒數(shù)生成序列，則稱

(9)

為無(wú)偏灰色Verhulst模型。

以上模型中的帶估計(jì)參數(shù)β1和β2可以直接通過(guò)最小二乘原理進(jìn)行估計(jì)。

若β1和β2為無(wú)偏灰色Verhulst模型的參數(shù)向量，則無(wú)偏灰色模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)：

其中，

(10)

1.3.3無(wú)偏灰色Verhulst模型本身誤差分析

由上述可知灰色Verhulst模型本身存在系統(tǒng)誤差，現(xiàn)在對(duì)無(wú)偏灰色Verhulst模型本身的誤差通過(guò)例子進(jìn)行驗(yàn)證。以表2中得到的模擬值a為原始數(shù)據(jù)再次做無(wú)偏灰色Verhulst模型，得到時(shí)間響應(yīng)式為

由此得到的模擬值c如表4。

表4　第3次誤差檢驗(yàn)表

由表4可以看出，無(wú)偏灰色Verhulst模型消除了自身固有的偏差。

2蘭州到中川鐵路貨運(yùn)量的模擬與預(yù)測(cè)

例1 下面分別利用GM(1,1)模型、灰色Verhulst模型、無(wú)偏灰色Verhulst模型對(duì)蘭州至中川鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行模擬與預(yù)測(cè)，分別比較其精度。蘭州至中川2009-2013年鐵路分擔(dān)貨運(yùn)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表5。

表5蘭州至中川鐵路分擔(dān)貨運(yùn)量

Table 5 Freight volume from Lanzhou to zhongchuan

萬(wàn)t

表5中的數(shù)據(jù)本身呈S型形態(tài)，且樣本量較小，則可以不經(jīng)過(guò)一階累加生成直接建立模型。

1)利用2009-2013年的數(shù)據(jù)建立GM(1，1)模型，取初始條件

得時(shí)間響應(yīng)式為：

2)利用2009-2013年的數(shù)據(jù)建立灰色Verhulst模型,取相同的初始條件，得時(shí)間響應(yīng)式為：

3)利用2009-2013年的數(shù)據(jù)建立無(wú)偏灰色Verhulst模型,取相同的初始條件，得時(shí)間響應(yīng)式為：

3種模型的模擬預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較情況如表6所示，通過(guò)圖1可以更加直觀的反映出3種模型在預(yù)測(cè)鐵路貨運(yùn)量時(shí)的精度。

通過(guò)表6可以看出，雖然2012年改進(jìn)后模型的相對(duì)誤差高于灰色Verhulst模型的相對(duì)誤差，但是從總體上看無(wú)偏灰色Verhulst模型的平均相對(duì)誤差小于GM(1，1)模型與灰色Verhulst模型的平均相對(duì)誤差，這種現(xiàn)象在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)也是正常的。因此，無(wú)偏灰色Verhulst模型的相對(duì)誤差較少，即具有較高的預(yù)測(cè)精度，說(shuō)明無(wú)偏灰色Verhulst模型在鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)中的適用性和優(yōu)勢(shì)性。

表6　3種模型的模擬預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較

圖1　3種模型的模擬預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較Fig.1 Comparison of actual value and simulation predicted value

3結(jié)論

1)用GM(1，1)冪模型改進(jìn)思想對(duì)灰色Verhulst模型進(jìn)行改進(jìn)，即對(duì)原始序列作倒數(shù)生成，按照無(wú)偏GM(1,1)模型直接建模法建立模型，得到無(wú)偏灰色Verhulst模型。

2)通過(guò)實(shí)例分析，改進(jìn)后的無(wú)偏灰色Verhulst模型消除了系統(tǒng)誤差。

3)運(yùn)用無(wú)偏灰色Verhulst模型對(duì)蘭州至中川2009-2013年鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行模擬，若原始數(shù)據(jù)呈單峰型或S型，通過(guò)實(shí)例可以看出無(wú)偏灰色Verhulst模型在鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)中的適用性和優(yōu)勢(shì)性。

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MU Yong. A direct modeling method of unbiased GM(1,1)[J].System Engineering and Electronics , 2003(9):53-54.

(編輯蔣學(xué)東)

摘要:鐵路工程項(xiàng)目投資和效益的控制，鐵路運(yùn)輸發(fā)展戰(zhàn)略的制定以及鐵路運(yùn)輸設(shè)施效益的提高都與鐵路貨運(yùn)量密切相關(guān)，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)鐵路貨運(yùn)量具有重要意義。根據(jù)無(wú)偏GM(1,1)模型直接建模法的思想對(duì)傳統(tǒng)灰色Verhulst進(jìn)行改進(jìn)，即對(duì)原始序列作倒數(shù)生成，運(yùn)用新生成的序列建立模型，便可得到無(wú)偏灰色Verhulst模型。改進(jìn)后的模型消除了灰色Verhulst模型自身固有的偏差，用此模型預(yù)測(cè)蘭州至中川鐵路貨運(yùn)量，結(jié)果表明，無(wú)偏灰色Verhulst模型比傳統(tǒng)灰色Verhulst模型和GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度更高。

關(guān)鍵詞：貨運(yùn)量；鐵路工程；倒數(shù)生成；無(wú)偏灰色Verhulst模型

Railway freight volume forecasting based onunbiased grey Verhulst modelAN Yonge, BAO Xueying,WANG Qicai

(School of Civil Engineering ,Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China )

Abstract:Controls of investment and benefits in railway engineering project, formulation of development strategy of railway transportation and efficiency of railway transport facilities are the four parts that are closely related to the railway freight volume. It is of great significance to predict railway freight volume accurately. According to the idea of direct modeling method of unbiased GM(1,1) model, a traditional grey Verhulst is improved ,that is reciprocal sequence of original is generated and unbiased grey Verhulst model is built by the newly generated one. This model can eliminates the inherent bias and can be used to forecast freight volume from Lanzhou to zhongchuan. The results show that, compared with traditional grey Verhulst model and GM(1,1) model, predictions of unbiased grey Verhulst model are more accurate.

Key words:freight volume; railway engineering project; generated reciprocal; unbiased grey Verhulst model

中圖分類號(hào)：TU528

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-7029(2016)01-0181-06

通訊作者：鮑學(xué)英(1974-)，女，寧夏中衛(wèi)人，教授，從事建設(shè)項(xiàng)目管理及經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)研究；E-mail:813257032@qq.com

基金項(xiàng)目：長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目 (IRT1139)

收稿日期：*2015-06-22