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        一類不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制

        2016-02-28 06:33:14王繼忠于江波張長學(xué)
        山東建筑大學(xué)學(xué)報 2016年6期
        關(guān)鍵詞:魯棒增益調(diào)節(jié)

        王繼忠,于江波,張長學(xué)

        (山東建筑大學(xué)理學(xué)院,山東濟(jì)南250101)

        一類不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制

        王繼忠,于江波,張長學(xué)

        (山東建筑大學(xué)理學(xué)院,山東濟(jì)南250101)

        非線性不確定系統(tǒng)的調(diào)節(jié)控制是魯棒控制理論的重要內(nèi)容。文章研究一類帶有未建模動態(tài)的控制系數(shù)完全未知的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制問題,應(yīng)用改變供能函數(shù)率的方法、Nussbaum函數(shù)增益及局部小增益型條件,提出了魯棒調(diào)節(jié)控制方案;分析了其穩(wěn)定性;并對所提出的魯棒調(diào)節(jié)控制方案進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明:所提出的控制方案對未建模動態(tài)、不確定非線性及時變未知控制系數(shù)具有良好的魯棒性;應(yīng)用改變供能函數(shù)率的方法能夠克服未建模動態(tài)子系統(tǒng)可能導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定性;Nussbaum函數(shù)增益能夠有效處理控制方向未知、時變的未知控制系數(shù)等嚴(yán)重的系統(tǒng)不確定性;局部小增益型條件可以有效解決不可測狀態(tài)不確定性的增長問題。

        魯棒調(diào)節(jié)控制;不確定非線性系統(tǒng);Nussbaum函數(shù);局部小增益條件

        0 引言

        近年來,關(guān)于具有輸入狀態(tài)穩(wěn)定(ISS)或積分輸入狀態(tài)穩(wěn)定(iISS)動態(tài)不確定性的非線性系統(tǒng)的反饋控制研究是控制理論研究的熱點(diǎn)問題之一[1]。輸入狀態(tài)穩(wěn)定性是對關(guān)于最大值范數(shù)的有限增益和有限L2增益(“非線性H∞”)的一種非線性推廣;該屬性考察了初始狀態(tài)在某種意義上與經(jīng)典Lyapunov理論完全相容,并且用非線性增益取代了對一般非線性控制要求過高的有限線性增益。當(dāng)被一致有界的能量信號所激勵時,一個ISS系統(tǒng)表明了低的能量響應(yīng)[2-3]。積分輸入狀態(tài)穩(wěn)定(iISS)是輸入狀態(tài)穩(wěn)定(ISS)的積分變形,是比輸入狀態(tài)穩(wěn)定(ISS)更弱的一類穩(wěn)定性[4-7]。該性質(zhì)定性反映了當(dāng)干擾具有有限能量時小的超調(diào)并為線性系統(tǒng)提供了一個類似有限H2范數(shù)的定性結(jié)論,具有重要的物理意義。ISS及iISS的出現(xiàn),使得系統(tǒng)不確定性更加廣泛。借助于ISS及iISS方法,系統(tǒng)的動態(tài)不確定性可以是非線性的,對于動態(tài)不確定性需要滿足線性的最小相位條件有了很大改進(jìn)[8]。

        控制系數(shù)未知是系統(tǒng)存在的另一種嚴(yán)重的不確定性,與控制系數(shù)已知情形相比,控制系數(shù)未知使得傳統(tǒng)的Backstepping設(shè)計(jì)方法不再適用,導(dǎo)致控制器設(shè)計(jì)極為困難,現(xiàn)有結(jié)果通常假設(shè)未知的控制系數(shù)上下界已知[9-13]。Nussbaum首次提出基于Nussbaum增益的設(shè)計(jì)技術(shù)[14],該方法是處理虛擬控制系數(shù)完全未知時的系統(tǒng)控制問題的一種非常有效的工具[2]。文章應(yīng)用Nussbaum增益技術(shù),結(jié)合積分器反推方法,研究一類帶有未建模動態(tài)的控制系數(shù)完全未知的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制問題,得到的結(jié)論進(jìn)一步推廣了現(xiàn)有結(jié)果[6-7]。

        1 魯棒調(diào)節(jié)控制問題描述

        研究一類如式(1)所示的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制問題。式中:u,y∈R是系統(tǒng)輸入及輸出;ω∈Rr代表系統(tǒng)的動態(tài)不確定性;x=(x1,…,xn)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài);φi(ω,y,d(t)) 是未知的不確定函數(shù),代表未建模動態(tài);bi(t)是大小及符號未知的控制系數(shù)。

        研究目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律u,使得系統(tǒng)狀態(tài)(ω(t),x1(t),…,xn(t)) 在時間t趨于無窮大時收斂到零。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),對于式(1)為

        式中:γ0(s)=O( s2)。

        假設(shè)2 存在非負(fù)光滑函數(shù)φi1、φi2(i=1,…,n)及pij≥0(i=1,…,n;j=1,2),使得滿足式(3)所示條件。

        式中:φi1滿足式(4)所示局部小增益型條件。

        2 魯棒調(diào)節(jié)控制器設(shè)計(jì)

        應(yīng)用Backstepping方法系統(tǒng)地給出魯棒調(diào)節(jié)控制器的設(shè)計(jì)過程。

        第1步 對于x1-子系統(tǒng),記z1=x1,選取李亞普諾夫函數(shù)由式(5)表示為

        根據(jù)假設(shè)1及假設(shè)2,存在光滑函數(shù)γ^(x1)≥0,使得式(5)的導(dǎo)數(shù)滿足式(6)為應(yīng)用完全平方公式,對于不確定項(xiàng)p11φ11(ω)z1,滿足式(7)為

        由 φ12(0)=0,可以進(jìn)一步得到

        記z2=x2-?1,其中?1為虛擬控制律,則式(8)轉(zhuǎn)化成式(9)表示為

        將式(10)代入式(9)中得式(11)為

        第k( 2≤k≤n-1)步假設(shè)已設(shè)計(jì)虛擬控制律及動態(tài)光滑函數(shù),由式(13)表示為

        使得正定正則可微的李亞普諾夫函數(shù),由式(14)表示為

        且式(14)的導(dǎo)數(shù)滿足

        以下證明式(15)對于第k步也成立。選取李亞普諾夫函數(shù),由式(16)表示為

        可以驗(yàn)證式(16)導(dǎo)數(shù)滿足式(17)為與第1步類似,對式(17)中的不確定項(xiàng),應(yīng)用完全 平方公式,得到式(18)~(20)為

        選取函數(shù)φk( x1,…,xk,ξ1,…,ξk-1)及χk=因此,把式(18)~(22)代入式(17),得到式(23)為

        選取第k個虛擬控制律及動態(tài)增益由式(24)表示為

        于是,式(23)變?yōu)槭剑?5)為

        第n步選取李亞普諾夫函數(shù)由式(26)表示為

        式(26)的導(dǎo)數(shù)滿足式(27)為

        選取控制律及動態(tài)增益由式(28)表示為

        結(jié)合式(27)得到式(29)為

        至此,結(jié)合Nussbaum增益的反步法,研究給出了由式(1)表示的不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)。

        3 魯棒穩(wěn)定性分析

        假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)解的最大存在區(qū)間是 [ 0,tf)。對k=1,…,n,選取恰當(dāng)?shù)摩舓>0,式(25)可以進(jìn)一步由式(30)表示為

        進(jìn)一步可以得到,ξk(t)( 1≤k≤n)在 [ 0,tf)上有界。根據(jù)Vk(t)( 1≤k≤n)的定義,其在 [ 0,tf)上有界,進(jìn)一步的,ω(t)與zk(t)( 1≤k≤n)有界??紤]到xk=zk+αk-1( 1≤k≤n),可以得到xk(t)有界。因此,閉環(huán)系統(tǒng)信號在 [ 0,tf)上有界,因此tf=∞。考慮到 ( ω,x)的有界性,可以得到致連續(xù)。根據(jù)ξk有界,可得式(31)為

        由Barbalat引理[15],得到

        從而得到如下結(jié)論:若假設(shè)1~3成立,則閉環(huán)系統(tǒng)的解在 [ 0,∞ )上有定義且有界。特別的,系統(tǒng)狀態(tài)收斂到零,由式(33)表示為

        4 仿真實(shí)驗(yàn)

        文章對提出的控制方案進(jìn)行仿真驗(yàn)證??紤]如下系統(tǒng),由式(34)表示為

        選取b1(t)=及初始條件ω(0)=0.5,x(0)= ( 1,0),ξ(0)=( 0.5,1),繪制了閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)—時間響應(yīng)圖、控制輸入變量—時間響應(yīng)圖,分別如圖1(a)、1(b)所示。從圖1所示的系統(tǒng)狀態(tài)及控制輸入與時間的響應(yīng)圖可以看出,該控制方案對未建模動態(tài)及時變未知控制系數(shù)具有良好的魯棒性。

        圖1 系統(tǒng)狀態(tài)及控制輸入與時間的響應(yīng)圖

        5 結(jié)論

        根據(jù)以上分析可知:

        (1)提出的控制方案對未建模動態(tài)、不確定非線性及未知的控制系數(shù)具有良好的魯棒性,能夠?qū)崿F(xiàn)所研究的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制問題。

        (2)應(yīng)用改變供能函數(shù)率的方法可以克服積分輸入狀態(tài)穩(wěn)定(iISS)的未建模動態(tài)子系統(tǒng)可能導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定的影響。

        (3)Nussbaum函數(shù)增益通過產(chǎn)生一類不依賴于控制系數(shù)的符號的振蕩信號,能夠有效處理控制方向未知、時變的未知控制系數(shù)等嚴(yán)重的系統(tǒng)不確定性。

        (4)局部小增益型條件建立了系統(tǒng)非線性與未建模動態(tài)子系統(tǒng)供能函數(shù)率間的聯(lián)系,可以有效解決不可測狀態(tài)不確定性的增長問題。

        [1] Karafyllis I.,Jiang Z.P..Stability and Stabilization of Nonlinear Systems[M].London:Springer,2011.

        [2] Jiang Z.P.,Mareels I.,Hill D.J.,etal..A unifying framework for global regulation via nonlinear output feedback:From ISS to iISS[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2004,49(4):549-562.

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        [4] 段納,王璐,趙叢然.一類具有積分輸入到狀態(tài)穩(wěn)定未建模動態(tài)的高階非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)[J].控制理論與應(yīng)用,2011,28(5):639-644.

        [5] 趙叢然,解學(xué)軍.具有iISS逆動態(tài)的非線性系統(tǒng)的輸出反饋調(diào)節(jié)[J].自動化學(xué)報,2012,38(5):865-869.

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        [7] 趙彥,于江波,田潔.一類非線性系統(tǒng)的輸出反饋跟蹤控制[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2014,34(7):853-861.

        [8] 楊強(qiáng),劉玉生.不確定非線性系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)輸出反饋控制[J].控制與決策,2015,30(6):993-999.

        [9] 劉允剛.增長率為輸出的未知多項(xiàng)式非線性系統(tǒng)的全局輸出反饋跟蹤[J].控制理論與應(yīng)用,2014,31(7):921-933.

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        [13]趙平,劉淑君.一類虛擬控制系數(shù)未知的隨機(jī)非線性時滯大系統(tǒng)的適應(yīng)鎮(zhèn)定控制[J].自動化學(xué)報,2008,34(8):912-920.

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        (校慶約稿)

        山東建筑大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科——王繼忠教授

        王繼忠教授現(xiàn)為山東建筑大學(xué)重點(diǎn)崗教授、山東省教學(xué)名師,碩士生導(dǎo)師,校級重點(diǎn)學(xué)科“應(yīng)用數(shù)學(xué)”學(xué)科帶頭人。

        王繼忠教授博士畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè),2008年3月至2016年5月間曾擔(dān)任理學(xué)院院長?,F(xiàn)兼任應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所所長、山東省專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會委員、山東省高等數(shù)學(xué)學(xué)會副理事長。

        多年來一直在高校從事教學(xué)和管理工作,主要從事微分方程的穩(wěn)定性、有界性的研究和控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的研究,先后為本科生和研究生主講了《數(shù)學(xué)分析》、《實(shí)變函數(shù)》等九門課程,取得了良好的教學(xué)效果;主持山東省面向二十一世紀(jì)教學(xué)改革課題一項(xiàng)、科研課題一項(xiàng);承擔(dān)山東省自然科學(xué)基金課題一項(xiàng),作為主要成員參與國家自然科學(xué)基金課題3項(xiàng);出版學(xué)術(shù)專著一部;發(fā)表論文30余篇,其中,三大檢索收錄11篇。先后榮獲臨沂市十大杰出青年、勞動模范、專業(yè)技術(shù)拔尖人才、山東省第五屆青年科技獎、山東省優(yōu)秀教學(xué)成果一等獎。

        Robust regulation control for a class of uncertain nonlinear system s

        Wang Jizhong,Yu Jiangbo,Zhang Changxue
        (School of Science,Shandong Jianzhu University,Jinan 250101,China)

        The regulation control for the nonlinear uncertain systems is a central topic in robust control theory.This paper studies the robust regulation control problem for a class of nonlinear uncertain systems with unmodeled dynamics,uncertain nonlinearities,and unknown time-varying control coefficients.A robust regulation control scheme is presented using the changing supply rates technique,Nussbaum function gain as well as local small-gain conditions,and then the stability is analyzed.The simulation example verifies its efficacy.The results show that he proposed control scheme is robust against the unmodeled dynamics,uncertain nonlinearities,and unknown control coefficients;the changing supply rates technique could overcome the possible instability because of the unmodeled dynamic subsystem;Nussbaum function gain could effectively handle serious uncertainties in systems such as the unknown control direction,time-varying unknown control coefficients and so on;local small-gain conditions could well address the unmeasured states growth problems.

        robust regulation control;uncertain nonlinear systems;Nussbaum function;local smallgain conditions

        93D15

        A

        1673-7644(2016)06-0593-06

        2016-11-11

        國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61304008);山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎勵基金項(xiàng)目(2015BSB01450);山東建筑大學(xué)博士基金項(xiàng)目(XNBS1272)

        王繼忠(1959-),男,教授,博士,主要從事微分方程定性理論及在控制理論中的應(yīng)用等方面的研究.E-mail:wjz600265@163.com

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