☉浙江省寧?？h知恩中學(xué) 何起紅

數(shù)學(xué)解題中無處不在的導(dǎo)數(shù)

☉浙江省寧?？h知恩中學(xué) 何起紅

近幾年高考考試中，導(dǎo)數(shù)的運用越來越廣泛，常常與函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)等結(jié)合在一起，在考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、值域等的同時，充分考查學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)的靈活應(yīng)用.很多學(xué)生因為缺少研究導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，常常在考試中陷入思維定勢，難以解決導(dǎo)數(shù)問題.本文在長期的教學(xué)實踐中，積極探索導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的運用，力爭給學(xué)生的解題提供一些方向和方法，培養(yǎng)其較好的分析和觀察能力，提升其數(shù)學(xué)能力.

一、導(dǎo)數(shù)在解決不等式恒成立問題中的運用

不等式恒成立問題是函數(shù)與不等式綜合問題的重要內(nèi)容，也是體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)工具性的重要應(yīng)用，常見方法就是結(jié)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，其間用到的方法是直接研究函數(shù)，或求導(dǎo)研究等.

例1（2015年山東高考）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（x+1）+a（x2-x），a∈R.

（1）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由；

（2）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

②若a＜0，令g（x）＝2ax2+ax+1-a，Δ＝9a2-8a，此時Δ＞0，令，此時x＞0，函數(shù)2f（x）在（0，x2）上遞增，在（x2，+∞）上遞減，不合題意，舍去；

14≥0，則＜a≤1.

綜上所述，0≤a≤1.

點評：在解決這類問題時，要使解題方法更加靈活多樣，思路更加清楚和合理，就必需在解題方法上多思考、多總結(jié)，加強對這類問題的總結(jié)與反思，不斷提高自身綜合能力和水平，促進自身綜合素質(zhì)的不斷提高.

二、導(dǎo)數(shù)在“零點不可求”問題中的運用

在導(dǎo)數(shù)問題中，我們經(jīng)常遇到導(dǎo)函數(shù)的零點不能求出，但是我們可以知道導(dǎo)函數(shù)的零點存在且唯一，這樣我們可以通過假設(shè)導(dǎo)函數(shù)的零點（不必求出），即“設(shè)而不求”的方法來進行推理演算，達到解題目的.這樣“設(shè)而不求”在導(dǎo)數(shù)問題中給我們賦予新的內(nèi)涵，帶來啟發(fā)和靈感.

例2（2012年黑龍江高考）設(shè)函數(shù)f（x）＝ex-ax-2.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值.

解析：（1）當(dāng)a≤0時，f（x）在R上是增函數(shù)；當(dāng)a＞0時，f（x）在（-∞，lna）上是減函數(shù)，在（lna，+∞）上是增函數(shù).

（2）不等式即為（x-k）（ex-1）+x+1＞0，即對 x∈（0，+∞）恒成立.

設(shè)h（x）＝ex-x-2，x∈（0，+∞），由（1）可知，h（x）在x∈（0，+∞）上是增函數(shù).

又h（1）＝e-3＜0，h（2）＝e2-4＞0，所以h（x）在（1，2）上有唯一的零點x0.

當(dāng)x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上是減函數(shù).

所以在（0，+∞）上，g（x）min＝g（x0）.

由h（x0）＝0，得ex0-x0-2＝0，即ex0＝x0+2，x0∈（1，2），所以

因此，k≤2，整數(shù)k的最大值為2.

點評：此例中導(dǎo)函數(shù)的根雖然無法求出，但是確實唯一存在，充分利用“設(shè)而不求”，設(shè)出唯一的根，變換利用導(dǎo)函數(shù)為零的式子.

三、導(dǎo)數(shù)在研究三次函數(shù)與超越函數(shù)中的運用

對于三次多項式函數(shù)及表達式中含有多項式、指數(shù)、對數(shù)等的超越函數(shù)的考查是各類考題中常涉及的熱點.對于這兩類函數(shù)，無法直接作出其圖像，因此對于性質(zhì)的研究一般要借助導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究這兩類函數(shù)的性質(zhì)或其對應(yīng)方程的根的問題.

故（fx）＝（fe）＝1.又（f1）＝0，x趨向0時，（fx）＜0，x趨

maxe向+∞時，f（x）＞0.

圖1

由圖像容易知道：

（1）當(dāng)m-e2＞，即m＞e2+時，方程無解；

（2）當(dāng)m-e2＝，即m＝e2+時，方程有一個根；

（3）當(dāng)m-e2＜，即m＜e2+時，方程有兩個根.

點評：①本題通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的圖像形狀，然后在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖像，觀察交點個數(shù)即為對應(yīng)方程根的個數(shù)；②當(dāng)然本題也可以令φ（x）＝f（x）-g（x），通過導(dǎo)數(shù)來研究φ（x）的圖像，但那樣較為麻煩，并且不容易進行；當(dāng)然不管用哪種方法我們都要研究相應(yīng)函數(shù)的圖像，而對于圖像，一般要借助導(dǎo)數(shù)來探討出函數(shù)的單調(diào)性、極值并結(jié)合函數(shù)的其他特征來畫出它的大致形狀.

四、導(dǎo)數(shù)在一類創(chuàng)新題中的運用

分析近幾年的高考題，由知識立意向能力立意轉(zhuǎn)化，強化創(chuàng)新意識的考查，體現(xiàn)思維的發(fā)散性，注重知識的交匯，立意新穎、構(gòu)思巧妙.導(dǎo)數(shù)的考查也從開始單純基本知識的考查轉(zhuǎn)化為綜合能力的考查，題型和方法都在不斷推舊出新.導(dǎo)數(shù)經(jīng)常與不等式、新定義類題等題目一起考查.

1.導(dǎo)數(shù)與不等式

例4設(shè)f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x），證明：當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＜g（）.

點評：對于一些不等式的證明題，如果直接求解不易入手，就可以利用導(dǎo)數(shù)思想，通過判定函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)，使問題迎刃而解.本題利用了“構(gòu)造”，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即以什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點，以便重新進行邏輯組合.

2.導(dǎo)數(shù)與新定義

例5（江蘇省泰州、南通、揚州、宿遷、淮安五市2013屆高三第三次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷）設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且不恒為0，記（n∈ N*）.若對定義域內(nèi)的每一個x，總有g(shù)n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負(fù)函數(shù)”；若對定義域內(nèi)的每一個x，總有［gn（x）］′≥0，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（［gn（x）］′為函數(shù)gn（x）的導(dǎo)函數(shù)）.

而當(dāng)a≤0時，g（1x）＝-1＜0顯然在（0，+∞）上恒成立，所以a≤0.

（2）①先證f（x）≤0.

若不存在正實數(shù)x0，使得g2（x0）＞0，則g2（x）≤0恒成立，假設(shè)存在正實數(shù)x0，使得g2（x0）＞0，則有f（x0）＞0，由題意，當(dāng)x＞0時，g2′（x）≥0，可得g2（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x＞x0時恒成立，即·x2恒成立，故必存在x1＞x0，使得（其中m為任意常數(shù)），這與f（x）＜c恒成立（即f（x）有上界）矛盾，故假設(shè)不成立，所以當(dāng)x＞0時，g2（x）≤0，即f（x）≤0.

②再證f（x）＝0無解.

假設(shè)存在正實數(shù)x2，使得f（x2）＝0，則對于任意x3＞x2＞ 0，有，即有（fx）＞0，這與①矛盾，故假設(shè)3不成立，所以f（x）＝0無解.

綜上得f（x）＜0，即g2（x）＜0.

故所有滿足題設(shè)的f（x）都是“2階負(fù)函數(shù)”.

點評：本題是新定義題，求解此類試題的關(guān)鍵在于尋找“類比”的對象，即將所求問題類比為所掌握的熟悉的試題類型，從而能夠應(yīng)用已有的思想方法進行求解.

五、導(dǎo)數(shù)在切線背景題中的運用

分析：本例題結(jié)構(gòu)簡單，清晰明了.很多學(xué)生遇到時，往往束手無策.原因之一是無法將題目條件轉(zhuǎn)化為平時熟悉的模型，導(dǎo)致研究方向的不穩(wěn)定.其實，仔細(xì)分析題中條件，過點（2，5）的直線和y＝g（x）曲線相切是一個很重要的條件.

當(dāng)0＜x＜e時，Φ′（x）＜0；當(dāng)x＞e時，Φ′（x）＞0.

所以Φ（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增.

所以過點（2，5）可作兩條直線與曲線y＝g（x）相切.

點評：此題需要學(xué)生對導(dǎo)數(shù)知識了如指掌，才能找到構(gòu)造函數(shù)的基本條件，從而能輕松解決問題.

縱觀近年來的高考題不難發(fā)現(xiàn)，利用“導(dǎo)數(shù)研究含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖像、零點等問題”的試題在高考中頻頻出現(xiàn)，而且試題的深度、廣度和難度也在不斷增大.試題都有一定的開發(fā)性，能有效考查學(xué)生對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式和分類討論思想方法的掌握程度、思維水平和綜合能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)試題的特點，靈活運用，有時候需要多種分類融為一體，共同發(fā)揮作用.只有平時不斷總結(jié)，才能提高解題能力.F