☉江蘇省黃埭中學(xué) 蔡俊

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的實(shí)踐

☉江蘇省黃埭中學(xué) 蔡俊

隨著社會經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展進(jìn)步，學(xué)校教育的不斷改革創(chuàng)新，越來越多教師開始高度關(guān)注到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合思想作為一種科學(xué)的解題手段，通過合理的應(yīng)用能夠有效提高解題效率和數(shù)學(xué)綜合能力.本文將進(jìn)一步對數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的實(shí)踐展開分析與研究.

目前是一個經(jīng)濟(jì)全球化時代，學(xué)校教育的發(fā)展要與時俱進(jìn)，不斷進(jìn)行深化改革.高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中要注重數(shù)形結(jié)合思想的高效利用，要引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中積極利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想，這樣有利于使煩瑣抽象的數(shù)學(xué)問題變得更加簡單直觀化，讓多元化數(shù)學(xué)理論知識得到科學(xué)整合，學(xué)生能夠充分掌握理解數(shù)與形之間的邏輯關(guān)系，快速準(zhǔn)確的進(jìn)行解題，從而提高他們的自信心與學(xué)習(xí)興趣.

一、數(shù)形結(jié)合思想在高中不等式與方程中的具體應(yīng)用

眾所周知，坐標(biāo)系作為高中數(shù)學(xué)普遍應(yīng)用的圖形.學(xué)生在解不等式與方程數(shù)學(xué)題時，要合理運(yùn)用到坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)知識，這樣有利于快速準(zhǔn)確的進(jìn)行解題.學(xué)生在面對比較復(fù)雜抽象的函數(shù)時，通過將其成功變換成圖形形式，能夠有效降低函數(shù)問題的難度，利用最短的時間尋找到解題方向或者得出最終的結(jié)論.

例1已知1≤x+y≤3，-1≤x-y≤1，求4x+2y的值域.

在解決這道有關(guān)不等式的題目時，數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法，首先建立起直角坐標(biāo)系，然后作出不等式所表示的區(qū)域，如圖1所示.

圖1

分析：我們根據(jù)圖1可以明確看出，兩個不等式互相組成了一個平面區(qū)域，x與y之間并不是相互獨(dú)立的關(guān)系，它們是由不等式組決定的相互制約關(guān)系.當(dāng)y取得最大或者最小值時，對應(yīng)的x并不能同時取得最大或者最小值，相反亦然.數(shù)學(xué)教師在講解類似題目時，要讓學(xué)生充分明白x與y之間的關(guān)系，從而得出正確的取值范圍.

點(diǎn)評：不等式問題的解答，往往會使用到構(gòu)造法，學(xué)生要經(jīng)過構(gòu)造出二次方程、構(gòu)造函數(shù)以及構(gòu)造圖形，然后合理采用數(shù)形結(jié)合思想去解決此類問題.不等式問題轉(zhuǎn)化為圖形表示，能夠讓學(xué)生一目了然地看出某值的取值范圍，求出正確的答案.科學(xué)利用圖形能使原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單直觀化，從而在第一時間解決問題.

例2已知方程sin2x=sinx，求出它在區(qū)間（0，2π）內(nèi)的解的個數(shù).

圖2

解：如圖2所示，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)y=f（x）= sin2x，x∈（0，2π），g（x）=sinx，x∈（0，2π）的圖像.sin2x=sinx在（0，2π）內(nèi)的圖像存在三個交點(diǎn)，所以由此可知，sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）內(nèi)存在3個解.

分析：學(xué)生們在解此類方程時，教師可以向?qū)W生講解到方程f（x）=g（x）的問題能夠轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的交點(diǎn)問題，特別是在學(xué)生遇到解方程近似值時，通過運(yùn)用這種方法能夠高效的進(jìn)行解題.

點(diǎn)評：方程式又可視為函數(shù)式，學(xué)生在遇到方程問題時，要將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題，因?yàn)槊恳粋€方程勢必都會存在著一個與之相對應(yīng)的函數(shù)圖形，通過畫出正確的函數(shù)圖形，能夠幫助學(xué)生快速解題，省去很多不必要的解題麻煩，從而節(jié)省更多時間，提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中集合中的具體應(yīng)用

教師在講解到集合這一章節(jié)內(nèi)容時，要合理利用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生能將集合試題成功轉(zhuǎn)化為簡單明了的圖形關(guān)系，根據(jù)圖形快速的求出集合解集.圖形使集合問題變得更加的具體化以及直觀化，學(xué)生要掌握好運(yùn)用幾何圖形、數(shù)軸以及文氏圖去解決集合問題.

例3已知集合C=｛x|x2-5x-6＜0｝，D＝｛x||x-2|≥2｝，求出C和D之間的交集.

解：根據(jù)題意可知，C=｛x|-1＜x＜6｝，D=｛x|x≥4或x≤0｝.由圖3可知，C與D的交集為｛x|-1＜x≤0或4≤x＜6｝.

圖3

分析：在解此類集合問題時，學(xué)生要先分別求出集合C與集合D，接著再按照解出的集合作出相對應(yīng)的數(shù)軸，在圖上標(biāo)記出集合C和集合D，根據(jù)上圖學(xué)生可以直接得出集合的公共部分，求出最后的解集.通過利用數(shù)軸圖形的方式，能夠幫助學(xué)生快速的求出集合問題答案.

總結(jié)：教師要引導(dǎo)學(xué)生積極運(yùn)用集合思想將問題進(jìn)行變換，采用圖形簡單直接的方式運(yùn)算集合問題，通過把數(shù)與圖形有效聯(lián)系在一起，運(yùn)用圖形語言高效地解決集合問題.

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)中的具體應(yīng)用

眾所周知，函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)章節(jié)內(nèi)容，受到了全體師生的高度重視.要想有效提高學(xué)生的函數(shù)解題能力，就必須加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，要讓函數(shù)問題復(fù)雜的公式變得直觀化以及簡單化.

圖4

點(diǎn)評：高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值題型是一種比較重要的數(shù)學(xué)題目類型，教師要想提高學(xué)生對于此類題目的解決效率，就必須引導(dǎo)他們合理的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，通過畫圖去直觀的分析問題，從而高效的解決問題.

四、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)列中的具體應(yīng)用

數(shù)列作為一種較為特殊的函數(shù)，數(shù)列問題的解答可以通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法.學(xué)生除了要充分掌握好各項數(shù)列公式之外，還必須了解到數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.

例5設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，其中a3=12，S12＞0，S13＜0，那么請求出在S1至S12中哪一個值是最大的，同時要說出具體原因.

解：由題意可知，數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，設(shè)Sn=An2+Bn（A，B分別是常數(shù)，其中A不等于0），那么就可得出Sn的圖像是分布在二次函數(shù)y=Ax2+Bx的圖像上，并且此圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).題中條件說到S12＞0，S13＜0，那么就可以求出y=Ax2+Bx的圖像上存在兩點(diǎn)，分別是（12，S12），（13，S13），它們的位置在x軸的上方和下方.證明二次圖像的開口向下，圖像經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），如圖5所示.我們假設(shè)圖像與x軸的另一個交點(diǎn)為（m，0），并且12＜m＜13，可求出6＜＜6.5，最后得出圖像對稱軸的方程為x=.由于n∈N*，所以在S1至S12中，S6的值是最大的.

圖5

點(diǎn)評：教師在講解到此類函數(shù)問題時，既要教導(dǎo)學(xué)生要牢記各個函數(shù)公式，充分掌握理解數(shù)列與函數(shù)之間存在的關(guān)系，還要利用數(shù)形結(jié)合思想高效的解決問題.

五、數(shù)形結(jié)合思想在高中復(fù)數(shù)中的具體應(yīng)用

高中復(fù)數(shù)內(nèi)容也是一個重要的教學(xué)章節(jié)，學(xué)生在解決此類問題時，會普遍運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想，因?yàn)樗袕?fù)數(shù)都可以通過平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行表示，復(fù)數(shù)問題的解答與幾何圖像以及三角函數(shù)緊密的結(jié)合在一起.

例6存在|z-2|=3，請求出z的模的最小值與最大值.

解：由題意可知，|z-2|=3，那么復(fù)數(shù)z到（2，0）的距離為3，如圖6所示，此圖像的圓心點(diǎn)為（2，0），圓直徑為6.z的模表示的是復(fù)數(shù)z到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，這樣根據(jù)圖中就可以求出|z|的最小值是1，最大值是5.

圖6

點(diǎn)評：學(xué)生在解決此道復(fù)數(shù)題時，倘若采取的是代數(shù)形式，就會發(fā)現(xiàn)題目解答很煩瑣，但是利用數(shù)形結(jié)合思想，就能夠簡單直觀地用幾何圖形將復(fù)數(shù)表示出來，這樣可以節(jié)省更多的解題時間，提高學(xué)生的解題效率.

六、數(shù)形結(jié)合思想在高中排列組合中的具體應(yīng)用

排列組合作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，學(xué)生在解決此類問題時需要結(jié)合實(shí)際生活，保證解題的邏輯性和靈活性.學(xué)生要充分了解排列組合問題與實(shí)際生活的關(guān)系，注意知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.

例7已知一個圓周上存在10個點(diǎn)，那么將這10個點(diǎn)作為端點(diǎn)的弦在圓內(nèi)部最多能夠形成幾個交點(diǎn)？

分析：眾所周知，圓內(nèi)部的任意兩條弦都可能不存在交點(diǎn)，如圖7所示，圓周上任意四點(diǎn)總共可連接起6條弦，有且僅有一個在圓內(nèi)部的交點(diǎn).學(xué)生在解答此題時，要想保證這些弦在圓內(nèi)部的交點(diǎn)最多，那么就可以令這些交點(diǎn)互不相同，通過有效建立起一個圓上四點(diǎn)組與弦在圓內(nèi)部的交點(diǎn)一一對應(yīng)，不同的四點(diǎn)組相對應(yīng)的交點(diǎn)不同，相反不同的交點(diǎn)對應(yīng)不同的四點(diǎn)組.最后可求出圓周上10個點(diǎn)能夠有效形成的不同四點(diǎn)組個數(shù)為N== 210.因此，以這10個點(diǎn)為端點(diǎn)的弦在圓內(nèi)部最多能夠形成210個交點(diǎn).

圖7

點(diǎn)評：排列組合問題的解答，通過作圖的形式能夠使其簡單明了化，學(xué)生只要整體把握其規(guī)律，利用好知識之間的內(nèi)在關(guān)系，學(xué)會數(shù)形結(jié)合方法的靈活運(yùn)用，就能夠提高此類題目的解答效率.

綜上所述，要想有效提高高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和效率，培養(yǎng)學(xué)生各類題型良好的解題能力，就必須高度關(guān)注數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的創(chuàng)新應(yīng)用.我國偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚先生也曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師和學(xué)生要學(xué)會靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，讓數(shù)學(xué)復(fù)雜抽象的數(shù)字公式變得更加的簡單化、直觀化，運(yùn)用圖形的方式使之呈現(xiàn)出來，也就讓各類型的數(shù)學(xué)題從繁到簡、化難為易，最大程度地提升了學(xué)生的解題效率.Z