☉湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué) 劉馨憶

導(dǎo)數(shù)視角下函數(shù)最值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化求解

☉湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué) 劉馨憶

近幾年高考對(duì)導(dǎo)數(shù)方面的題主要是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題，以導(dǎo)數(shù)為工具探究函數(shù)的性質(zhì)，圍繞函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值展開(kāi)，借此研究不等式恒成立或證明不等式等問(wèn)題，著重考查分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而考查我們學(xué)生的運(yùn)算求解能力與推理論證能力，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)理性思維的特點(diǎn)，從思維的層次性、深刻性、創(chuàng)新性等方面進(jìn)行全面考查，下面以一道導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題的解答為例，探究其中所涉及的轉(zhuǎn)化思想，談?wù)勛约旱慕忸}感悟.

一、問(wèn)題展示

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若-1＜a＜2（ln2-1），求證：函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且a+1＜x0＜a+2；

0x1，x2∈［0，x0］且x2-x1＝1，都有|f（x2）-f（x1）|≥m成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.

本題集函數(shù)的單調(diào)性判斷、零點(diǎn)及不等式恒成立問(wèn)題于一身，具有變量多、綜合性強(qiáng)、思維難度大、解法靈活多變等特點(diǎn)，能有效考查我們考生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.因此備受命題人關(guān)注，常以壓軸題的形式出現(xiàn)在各類(lèi)考試中.

由不等式恒成立求參數(shù)范圍或證明不等式是常見(jiàn)題型.解答此類(lèi)問(wèn)題的常用策略是將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，但某些函數(shù)最值不可求，或在求解中具有一定困難，這就需要我們將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化為求最值的范圍，從而轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的求解.

二、問(wèn)題解答

1.熟練解題通法

單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，函數(shù)的極值、最值、零點(diǎn)等問(wèn)題的求解均以單調(diào)性為基礎(chǔ).求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只要把握相應(yīng)的解題通法即可順利求解.①求定義域；②求導(dǎo)；③令導(dǎo)數(shù)為零，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；④結(jié)合函數(shù)定義域判斷零點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)符號(hào)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若其中含有參數(shù)，則需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.分類(lèi)的層次：先討論最高次項(xiàng)的系數(shù)，再討論零點(diǎn)的存在性，若存在，還需考慮零點(diǎn)是否在定義域內(nèi).若含有兩個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)大小不確定，需要再次討論.

第（1）問(wèn)解答：f（x）的定義域?yàn)椋╝，+∞）.f′（x）＝.令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a+1.

當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，a+1＞0，函數(shù)f（x）與f′（x）隨x的變化情況如下表：

x（a，0）0（0，a+1）a+1（a+1，+∞）f′（x）-0+0-f（x）↘極小值↗極大值↘

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a+1），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，0）和（a+1，+∞）.

當(dāng)a＜-1時(shí)，a+1＜0，函數(shù)f（x）與f′（x）隨x的變化情況如下表：

x（a，a+1）a+1（a+1，0）0（0，+∞）f′（x）-0+0-f（x）↘極小值↗極大值↘

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（a+1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，a+1）和（0，+∞）.

2.把握前后關(guān)聯(lián)

導(dǎo)數(shù)綜合題通常設(shè)有多問(wèn)，解答中注意前后各問(wèn)之間的關(guān)聯(lián).第（2）問(wèn)給出-1＜a＜2（ln2-1），易判斷-1＜a＜0，故此問(wèn)的解答可用第（1）問(wèn)已得結(jié)論，再結(jié)合零點(diǎn)定理進(jìn)行求解.

第（2）問(wèn)解答：當(dāng)-1＜a＜2（ln2-1）＜0時(shí)，由（1）知，f（x）的極小值為f（0），極大值為f（a+1）.因?yàn)閒（0）＝aln（-a）＞0，（fa+1）＝-（a+1）2+（a+1）＝（1-a2）＞0，且（fx）在（a+1， +∞）上是減函數(shù)，所以f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)閒（a+ 2）＝aln2-a2-a＝-a［a-2（ln2-1）］＜0，所以函數(shù)（fx）只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且a+1＜x0＜a+2.

3.最值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化求解

對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題的求解，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.本題“對(duì)任意x1，x2∈［0，x0］且x2-x1＝1，都有|f（x2）-f（x1）|≥m成立，求實(shí)數(shù)m的最大值”可轉(zhuǎn)化為求不等式左邊函數(shù)的最小值，但零點(diǎn)x0的不確定性，無(wú)法求得最值，故應(yīng)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.

圖1

12所以|（fx）-（fx）|的最小值21為.所以使得|（fx）-（fx）|≥m恒21成立的m的最大值為

三、變式演練

變式：已知函數(shù)f（x）＝xex-aex-1，且f′（1）＝e.

（1）求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）＝kx2-2（k＞2）存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根

本題無(wú)論從命題形式，還是解答方法，與例題有異曲同工之妙.第（1）問(wèn)也是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，較為基礎(chǔ).

第（1）問(wèn)解答：對(duì)f（x）求導(dǎo)，得f′（x）＝（1+x）ex-aex-1，所以f′（1）＝2e-a＝e，解得a＝e.故f（x）＝xex-ex，f′（x）＝xex.令f′（x）＝0，得x＝0.

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x（-∞，0）0（0，+∞）f′（x）-0+ f（x）↘極小值↗

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）.

第（2）問(wèn)“正數(shù)x1，x2是方程f（x）＝kx2-2（k＞2）的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，證明”可轉(zhuǎn)化求不等式左邊函數(shù)的最小值，但由于方程根的不可求性，最值的求解又落空了.因此，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求x1、x2的范圍.解題思路和方法與例題實(shí)現(xiàn)完美統(tǒng)一.

第（2）問(wèn)解答：方程f（x）＝kx2-2，即（x-1）ex-kx2+2＝0.設(shè)函數(shù)g（x）＝（x-1）ex-kx2+2，求導(dǎo)得g′（x）＝xex-2kx＝x（ex-2k）.由g′（x）＝0，解得x＝0或x＝ln2k.

所以當(dāng)x∈（0，+∞）變化時(shí)，g′（x）與g（x）的變化情況如下表：

x（0，ln2k）ln2k（ln2k，+∞）g′（x）-0+ g（x）↘極小值↗

所以函數(shù)g（x）在（0，ln2k）上單調(diào)遞減，在（ln2k，+∞）上單調(diào)遞增.

由k＞2，得ln2k＞ln4＞1.又因?yàn)間（1）＝-k+2＜0，所以g（ln2k）＜0.不妨設(shè)x1＜x2（其中x1，x2為f（x）＝kx2-2的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根），因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在（0，ln2k）上單調(diào)遞減，且g（0）＝1＞0，g（1）＝-k+2＜0，所以0＜x1＜1.

同理，根據(jù)函數(shù)g（x）在（ln2k，+∞）上單調(diào)遞增，且g（ln2k）＜0，可得x2＞ln2k＞ln4，所以|x1-x2|＝x2-x1＞ln4-1＝

綜上，通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)和研究，筆者的感悟是導(dǎo)數(shù)命題看似常規(guī)卻不落俗套，看似平淡卻富有創(chuàng)新，注重通法又依賴(lài)技巧.它啟示筆者：在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中一定要夯實(shí)雙基，重視數(shù)學(xué)思想、強(qiáng)調(diào)通性通法的訓(xùn)練，加強(qiáng)方法的歸納和總結(jié).同時(shí)，要堅(jiān)持思維訓(xùn)練為中心，強(qiáng)化思維的能力要求，使我們的解題思維達(dá)到一定的深度、廣度，進(jìn)而提升我們靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.F