☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 黃榮

例談不等式恒成立求參數(shù)范圍的有效策略

☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 黃榮

不等式恒成立問題是高中教學(xué)重點(diǎn)之一，近幾年已經(jīng)成為高考必考點(diǎn)，根據(jù)不同不等式恒成立問題，求出各個(gè)參數(shù)的范圍是一種較為常見的問題，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）在給定區(qū)間上，不等式恒成立；（2）不等式的解集為全體實(shí)數(shù)；（3）解析式的值恒大于（等于或小于）某值；（4）函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù).由于此類問題知識覆蓋面較廣，綜合性很強(qiáng)，對解題的靈活性要求高，因此對同學(xué)們來說有較大的難度.思維要求高，技巧性強(qiáng)，學(xué)生不易把握，若能充分挖掘題目特點(diǎn)，采用合適的方法，往往能迅捷、巧妙地找到解題的突破口.

一、更換主元法

針對不等式恒成立問題，解決策略較多，其中構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是一種最重要的思想方法之一，這種思想充分利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決不等式問題，數(shù)學(xué)問題中含有多個(gè)變量，就需要確定合適的參數(shù)及變量，探討各個(gè)變量之間的關(guān)系，使不等式問題更加清晰.在求解中，一般是通過已知變量范圍，來求另一個(gè)變量的范圍.

例1對于滿足0≤p≤4的一切實(shí)數(shù)p，不等式x2+px＞4x+p-3恒成立，求x的取值范圍.

解析：設(shè)f（p）＝（x-1）p+x2-4x+3，當(dāng)x＝1時(shí)，顯然不滿足題意.

由題設(shè)知，當(dāng)0≤p≤4時(shí)，f（p）＞0恒成立，所以f（0）＞0且f（4）＞0，即x2-4x+3＞0且x2-1＞0.解得x＞3或x＜-1.所以x的取值范圍為x＞3或x＜-1.

評注：習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，記函數(shù)y＝x2+（p-4）x+ 3-p，于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)p∈［0，4］時(shí)，y＞0恒成立，求變量x的范圍.在求解x的范圍時(shí)，利用建立函數(shù)思想，通過二次函數(shù)及二次方程實(shí)根分布原理，依照這個(gè)思想進(jìn)行計(jì)算的話，問題解決非常復(fù)雜.在問題解決中，將x與p兩個(gè)變量互換一下，將需要求解x的范圍看作一個(gè)常量，則這個(gè)題目就轉(zhuǎn)化為p的一次函數(shù)大于0在［0，4］范圍內(nèi)關(guān)于恒成立的問題.

二、利用必要條件縮小范圍

有一類題直接討論解答比較煩瑣，可以利用題中的必要條件縮小范圍，避免了討論，有著意想不到的簡潔.

例2設(shè)函數(shù)fn（x）＝-xn+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）.若x）|在［-1，1］上的最大值為，求a，b的值.

解析：f4（x）＝-x4+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）.

評注：不等式對x∈D恒成立，我們在D中選取特殊值代入不等式，可以縮小參數(shù)的范圍，避免分類討論，甚至也可以直接得到答案.

三、利用二次函數(shù)的判別式

不等式恒成立問題，可用判別式來求解，這個(gè)思想在求解中比較常用.

所以Δ＝（6-2m）2-8（3-m）＜0，解得1＜m＜3.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是1＜m＜3.

評注：一般地，二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c 恒正f（x）＝ax2+bx+c恒負(fù)?

四、利用分離參數(shù)

若原題較容易分離出變量，而另一邊為常見函數(shù)，則可轉(zhuǎn)化為這些常見函數(shù)的最值問題求解.

例4設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx+ln（2-x）+ax（a＞0），若f（x）在（0，1］上的最大值為，求a的值.

評注：（1）已知函數(shù)f（x）在x∈D上的最值，轉(zhuǎn)化為不等式f（x）≤M（或f（x）≥N）恒成立，如果不等式能進(jìn)行參數(shù)分離，等價(jià)變形為a≤g（x），則a＝g（x）min；等價(jià)變形為a≥g（x），則a＝g（x）max.

（2）若改變條件“a＞0”為“a∈R”，上述解法不受影響，但若用常規(guī)方法，在求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，要對a進(jìn)行分類討論，過程煩瑣復(fù)雜，難度較大，由此顯示上述轉(zhuǎn)化法的簡潔美！

五、構(gòu)造函數(shù)法

將不等式恒成立構(gòu)造出函數(shù)，分析函數(shù)性質(zhì)，然后再解決問題.

所以f（n）是關(guān)于n（n∈N，n≥2）的遞增函數(shù)，則f（n）

評注：在這個(gè)不等式中，有關(guān)n的式子全部在不等式的左邊，利用函數(shù)觀點(diǎn)分析，不等式的左邊看作關(guān)于n的函數(shù)，這就要求函數(shù)值的最小值大于1，因此，題目轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，可以從分析函數(shù)的單調(diào)性角度出發(fā)來進(jìn)行解決.

六、利用數(shù)形結(jié)合，化抽象為直觀

如果改變思考和觀察問題的角度，采用數(shù)形結(jié)合的方法求解不等式恒成立中參數(shù)的范圍，不僅能使問題化抽象為直觀，而且可取得避繁就簡的效果.

例6已知函數(shù)f（x）＝ex-ln（x+m），當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0.

證明：當(dāng)m≤2時(shí)，要證明f（x）＞0，只需證ln（x+m）＜ex.

由于函數(shù)g（x）＝ex是下凸的，h（x）＝ln（x+m）是上凸的.

設(shè)g（x）＝ex與h（x）＝ln（x+m）切于點(diǎn)P（x0，y0），

于是由圖像（圖1）可知，要使ln（x+m）＜ex，只需h（x0）＝ln（x0+m）小于切點(diǎn)的縱坐標(biāo).

圖1

若x0＝-1，則m＝2.

故當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0.

評注：通過數(shù)形結(jié)合，揭示了含參數(shù)不等式恒成立問題實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系，結(jié)合圖形，靈活轉(zhuǎn)化，選擇最佳解題策略.

可見，從多角度、多方位研究問題，往往能激活思維潛能，充分挖掘思維潛力，解題中，讓人耳目一新，產(chǎn)生意想不到的收獲.

總之，在我們解決恒成立問題時(shí)，我們要注意區(qū)分與“能成立”、“恰成立”概念的不同之處.并且掌握解決它們的常用方法：分離變量法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等.但是，此類問題種類較多，因此解決方法往往有多種，難度比較大，在日常解題中，需要逐漸提高思維靈活性和創(chuàng)造性.因此，我們要不斷在訓(xùn)練中強(qiáng)化理解，及時(shí)總結(jié)、領(lǐng)悟、提高.F