☉湖北省秭歸縣第一中學(xué) 胡俊

巧解一類含參數(shù)的線性規(guī)劃問題

☉湖北省秭歸縣第一中學(xué) 胡俊

含有參數(shù)的線性規(guī)劃問題或二元一次不等式（組）問題，對(duì)于學(xué)生而言，既是一個(gè)難點(diǎn)，又是高考的一個(gè)?？键c(diǎn)，高考對(duì)這類問題的考查可謂?？汲Ｐ?學(xué)生解決這類問題之所以感覺困難，主要是因?yàn)檫@類問題含有參數(shù)從而使得要解決的問題處于動(dòng)態(tài)變化之中，學(xué)生要么不知如何動(dòng)筆，要么針對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論時(shí)對(duì)變化因素考慮不周全而出錯(cuò).那么，對(duì)于此類問題有沒有簡(jiǎn)潔有效的解決方法呢？筆者通過對(duì)一道高考試題的深度挖掘，得到一種解決含參數(shù)的線性規(guī)劃問題或二元一次不等式（組）問題的簡(jiǎn)潔方法，與各位同仁分享.

①?（x，y）∈D，x+2y≥-2；②?（x，y）∈D，x+2y≥2；

③?（x，y）∈D，x+2y≤3；④?（x，y）∈D，x+2y≤-1.

其中的真命題是___________.

一、試題解析

簡(jiǎn)析：注意到四個(gè)命題均為研究x+2y的取值范圍，故轉(zhuǎn)化為研究目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最值問題.通過畫出可行域（如圖1），結(jié)合中z的幾何意義容易求得zmin=0，即z≥0.

因此，命題①、②為真命題.

圖1

二、反思升華

本題屬于常規(guī)問題的創(chuàng)新，從全稱、特稱命題的角度考查了線性規(guī)劃中的最值問題.試題難度不大，學(xué)生基本能正確解答.但仔細(xì)回味，我們對(duì)本題會(huì)有更深的理解：從代數(shù)角度來看，z有最小值0，也就是說x+2y≥0對(duì)于任意的（x，y）∈D恒成立.而從幾何角度來看，我們可以這樣理解：原不等式組所表示的區(qū)域D應(yīng)該包含于x+2y≥0所表示的區(qū)域（或者區(qū)域D在直線x+2y=0的上方）.本題的四個(gè)命題正是用代數(shù)語(yǔ)言刻畫了這種包含關(guān)系.相對(duì)于代數(shù)不等式的抽象表示，利用平面區(qū)域間的包含關(guān)系能夠讓我們直觀地明確相應(yīng)直線與平面區(qū)域的位置關(guān)系，這對(duì)于含有參數(shù)的線性規(guī)劃問題或二元一次不等式（組）問題不失為一種簡(jiǎn)潔有效的方法.下面我們通過對(duì)幾個(gè)具體例題的分析解答，詳細(xì)說明這一解答方法.

三、舉例應(yīng)用

分析：按常規(guī)解法，先畫出可行域，再尋求平行直線系y=-ax+z的縱截距何時(shí)最大.這就需要對(duì)斜率-a進(jìn)行分類討論，從而確定目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線，然后將最大值用a表示出來，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的方程以求出a值.此法由于涉及分類討論且在不同情形下直線的方向在不斷改變，學(xué)生很可能顧此失彼.若利用平面區(qū)域間的包含關(guān)系則可以避免討論，整個(gè)解題過程顯得簡(jiǎn)潔流暢.

解：根據(jù)約束條件作出可行域，如圖2所示.由ax+y≤4對(duì)于可行域內(nèi)任意點(diǎn)恒成立，即整個(gè)可行域應(yīng)該位于直線l：ax+y=4的下方.其中直線l恒過點(diǎn)（0，4），同時(shí)由于ax+y≤4要取到等號(hào)，即直線l與可行域要有公共點(diǎn)，則由圖2易知直線l一定過點(diǎn)A（2，0），將點(diǎn)代入直線l的方程則有2a=4，得a=2.

圖2

分析：與例1一樣，若按部就班地作出可行域與目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線系后再求解，則不可避免地要針對(duì)k的范圍進(jìn)行分類討論.而運(yùn)用平面區(qū)域間的包含關(guān)系則可以直接求解.

解：由題知整個(gè)可行域應(yīng)包含于y-x≥-4內(nèi)部，且應(yīng)與直線y-x＝-4有公共部分.我們首先作出不等式y(tǒng)-x≥-4表示的區(qū)域（直線上方），再作由約束條件表示的可行域，如圖3所示.注意到直線kx-y+2＝0恒過點(diǎn)（0，2），則要滿足題意只能是直線kx-y+ 2＝0過點(diǎn)A（4，0），代入可求得k＝-.

圖3

評(píng)注：以上兩例中，我們利用平面區(qū)域間的包含關(guān)系分別解決了線性規(guī)劃問題中的兩類典型含參問題：（1）約束條件含參；（2）目標(biāo)函數(shù)含參.從整個(gè)解答過程來看，將最值條件轉(zhuǎn)化為不等式恒成立后，再利用平面區(qū)域間的包含關(guān)系解決是行之有效的.實(shí)際上，這種解法對(duì)其他形式的含參數(shù)的不等式問題也大有用處.

例3（2015年高考重慶卷）已知函數(shù)f（x）＝|x+1|+ 2|x-a|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a＝________.

分析：本題如果考慮去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求解的話，則需要對(duì)a進(jìn)行討論，難度較大.與上兩例一樣，我們可以將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，從而通過構(gòu)造圖像加以解決.

解：由題意知，要使2|x-a|≥5-|x+1|對(duì)于x∈R恒成立，且要取到等號(hào)，那么函數(shù)h（x）＝2|x-a|的圖像應(yīng)位于函數(shù)g（x）＝5-|x+1|的圖像上方.首先作出g（x）＝5-|x+1|的圖像，如圖4所示，為使函數(shù)y＝h（x）的圖像位于其上方且有公共點(diǎn).注意兩圖像開口大小關(guān)系，我們?nèi)菀椎玫統(tǒng)＝h（x）必過點(diǎn)（4，0）或（-6，0），代入解析式可求得a＝4或a＝-6.

圖4

四、結(jié)束語(yǔ)

在平時(shí)教學(xué)與解題過程中，若我們能加強(qiáng)解題后的反思，深度挖掘問題本質(zhì)內(nèi)涵，將會(huì)使我們對(duì)所學(xué)知識(shí)或所研究的問題有不一樣的理解，從而促使我們從另一個(gè)視角去審視所學(xué)知識(shí)或所研究的問題，采取不一樣的解決策略，這將極大地提高我們分析問題、解決問題的能力.F