☉浙江省慈溪市楊賢江中學(xué) 周焱群

一道圓錐曲線試題結(jié)論的探究和應(yīng)用

☉浙江省慈溪市楊賢江中學(xué) 周焱群

圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，三者之間有許多共通的性質(zhì)，而它們的這些共性也常常成為考試題目的命制背景和源泉.因此，在平時(shí)的解題教學(xué)中，教師一定要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的題后反思的習(xí)慣、發(fā)展變式拓展的思維，逐漸提高學(xué)生解決問題的能力和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面我們以一道考試題目為例說明.

例1（2015年新課標(biāo)全國卷Ⅱ）已知橢圓C：9x2+y2= m2（m>0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.

（Ⅰ）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

（Ⅱ）略.

證明：（Ⅰ）設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），將y=kx+b代入橢圓方程，得（k2+ 9）x2+2kbx+b2-m2=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=，所以

一、由特殊到一般，探究結(jié)論真?zhèn)?/h2>

問題的探究并沒有因解題結(jié)束而終止，這個(gè)結(jié)論對于一個(gè)一般的橢圓是否成立呢？

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.將A（x1，y1），B（x2，y2）代入

定值為短半軸的平方除以長半軸的平方的相反數(shù).

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上呢？還是這個(gè)定值嗎？

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

將A（x1，y1），B（x2，y2）代入

所以kOM·kl=-為定值，定值為長半軸的平方除以短半軸的平方的相反數(shù).

二、橫向拓展到雙曲線

探究已知雙曲線C：（a>0，b>0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值，即定值為實(shí)半軸的平方除以虛半軸的平方.

（仿照探究2的證明可以得到此結(jié)論，證明略）.

三、橫向拓展到拋物線

探究5已知拋物線C：y2=2px（p>0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值

Atrophic mucosa with intestinal metaplasia in differentiated gastric cancer and undifferentiated cancer of the gastric fundic gland mucosa are well-known examples of the relationship between gastric cancer and the background mucosa[37].

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.將A（x1，y1），B（x2，y2）代入y2=2px，得

由①-②，得（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2），即

針對拋物線的焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸及焦點(diǎn)在y軸上時(shí)定值情形，請同學(xué)們自行探究.此處略.

四、探究落實(shí)應(yīng)用

探究的目的是為了應(yīng)用其解題，下面簡舉幾例.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）求△PMN的面積取最大時(shí)直線l的方程.

設(shè)MN的方程為y=-（m≠0），代入橢圓=1并整理得3x2-3mx+m2-3=0.由Δ=（3m）2-4×3（m2-3）= 3（12-m2）>0，解得m∈（-2，0）∪（0，2）.

又因?yàn)閤M+xN=m，xM·xN=

例4設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P（-1，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn).若|FQ|=2，則直線l的斜率等于______.

解析：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x0，y0），則由探究5可得kl·

由|FQ|=2，得（x0-1）2+=4.②

由①②得x0=1，y0=±2，代入

綜上所述，利用探究所得結(jié)論對以上各例的解答，使原本復(fù)雜的解題過程得以簡化，優(yōu)化了解題思維.雖然在解答主觀題直接應(yīng)用此結(jié)論略有不妥，但可起到明確解題思路、指引解題方向的作用，而且可以提高解題速度、效率，是值得我們學(xué)習(xí)思考的.Z