☉湖北省宜昌市葛洲壩中學(xué) 胡安林

高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗量化研究

☉湖北省宜昌市葛洲壩中學(xué) 胡安林

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了獲得必要的知識與技能之外，還要體驗過程與方法，收獲情感態(tài)度與價值觀，積累數(shù)學(xué)思維活動和實踐活動的經(jīng)驗.

愛因斯坦說：“所謂教育，是要將學(xué)校學(xué)到的知識忘掉后剩下的本領(lǐng).”教育的本質(zhì)是改造人的思想，培養(yǎng)人學(xué)習(xí)和改造客觀世界的能力.這種能力就是基本思想和基本活動經(jīng)驗.思想的感悟和經(jīng)驗的積累是一種隱性的東西，但恰恰就是這種隱性的東西決定了一個人的思想方法.如何將這種隱性的東西通過一定的測量工具讓它“看得見、摸得著”成為現(xiàn)階段必須解決的問題，為此，葛洲壩中學(xué)數(shù)學(xué)組創(chuàng)建高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗量表.

一、高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗定義、內(nèi)容及特征

1.定義：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)習(xí)者參與數(shù)學(xué)活動的經(jīng)歷，以及在數(shù)學(xué)活動過程中所形成的感性認(rèn)識、情感體驗和觀念意識.在進(jìn)一步的數(shù)學(xué)活動中，能生長成為較高層次的活動經(jīng)驗，或能生長為知識或技能的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是基本活動經(jīng)驗.高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是高中生在參與高中數(shù)學(xué)活動中獲取最基本的、必須的、能生長成為較高層次的活動經(jīng)驗，或能生長為知識或技能的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

2.內(nèi)容：依據(jù)類型可以分為：基本觀察活動經(jīng)驗、基本統(tǒng)計活動經(jīng)驗、基本測量活動經(jīng)驗、基本計算活動經(jīng)驗、基本制圖活動經(jīng)驗、基本類比活動經(jīng)驗、基本歸納活動經(jīng)驗、基本猜想活動經(jīng)驗和基本概括活動經(jīng)驗.依據(jù)成分可以分為：認(rèn)知性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、技能性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、體驗性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和觀念性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

根據(jù)高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的定義，它包括如下四個方面的內(nèi)容：①高中生參與數(shù)學(xué)活動的經(jīng)歷.②高中生在數(shù)學(xué)活動中所形成的感性認(rèn)識.③高中生在數(shù)學(xué)活動過程中所獲得的情感體驗.④高中生在數(shù)學(xué)活動過程中所形成的一些觀念和意識.

表一

3.特征：高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗具有如下特征：①伴隨性，②內(nèi)隱性，③主體性，④多樣性，⑤遷移性，⑥或然性.

二、高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗量表的創(chuàng)建

根據(jù)特征，高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗具有內(nèi)隱性，我們需要研究其框架結(jié)構(gòu)，即創(chuàng)建高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗量表.量表是二維模式，包括水平方向的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗維度劃分和豎直方向的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗層次水平劃分.

水平方向的維度劃分：水平方向的維度劃分包括四方面重要內(nèi)容：觀察聯(lián)想、歸納猜想、數(shù)學(xué)表達(dá)、驗證或證明.

豎直方向的層次水平劃分：豎直方向的層次水平劃分為三級：模仿、性質(zhì)、實質(zhì).

（1）層次水平一：“模仿階段”，沒有形成有效思維模式，只會模仿.

（2）層次水平二：“性質(zhì)階段”，形成特例入手進(jìn)行歸納推理的思維模式，但只是對事物表面的、形式的認(rèn)識.

（3）層次水平三：“實質(zhì)階段”，形成對歸納猜想的結(jié)論進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，并加以推翻、驗證或證明的思維模式，能夠認(rèn)識到事物的核心和本質(zhì)，并進(jìn)一步聯(lián)想.

借鑒基爾福特智力結(jié)構(gòu)模式的形式，以知識、過程、層次三個因素分別為坐標(biāo)軸，用一個三維直角坐標(biāo)系的形式，可以把數(shù)學(xué)知識及基本活動經(jīng)驗具體內(nèi)容形象的描述成如圖1.考慮到實際課堂教學(xué)中，知識是固定的，因此去掉知識方面因素，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗可以描述成如圖2.

圖1

圖2

圖2 中A1指：不能有意識觀察共性、特征和關(guān)系；不能主動聯(lián)想.

圖2中A2指：能觀察共性、特征和關(guān)系；能進(jìn)行相似聯(lián)想.

圖2中A3指：能觀察到特征、關(guān)系；能進(jìn)行大跨度聯(lián)想（包括類比）.

依次類推…………

三、高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的量化研究

在高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗量表創(chuàng)建之后，葛洲壩中學(xué)數(shù)學(xué)組自行設(shè)計了調(diào)查問卷和試題，考察本校數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的現(xiàn)狀.

（一）測試題目、來源及設(shè)計思想

第一題題目：空間想象能力測試——兩次立體幾何模型的制作（下述“要求”中的第2條）.

來源：人教版高中數(shù)學(xué)《必修2》（以下簡稱《必修2》）第一、二章.

設(shè)計思想及要求：

1.三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認(rèn)識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力、空間想象能力和推理論證能力是高中階段必修課程的一個基本要求，而這些知識及能力主要是通過《必修2》前兩章的學(xué)習(xí)來獲得，且多年以來立體幾何在全國各地的高考試題中出現(xiàn)頻率相當(dāng)高，不但屬于必考題，而且分值比重相當(dāng)高.

2.高一學(xué)生在學(xué)習(xí)《必修2》第一章之前制作一個學(xué)生熟悉的立體幾何模型，在學(xué)完第二章后制作一個學(xué)生認(rèn)為有助于實際練習(xí)的立體幾何模型.

3.此題目屬于開放型，學(xué)生自主制作空間很大.

4.對比兩次制作的立體幾何模型給學(xué)生賦分.賦分依據(jù)是是否將最近一個月學(xué)習(xí)立體幾何的各種知識、方法、能力應(yīng)用到第二次模型制作當(dāng)中去.

第二題題目：有關(guān)數(shù)字之間規(guī)律猜想（等差數(shù)列、等比數(shù)列、斐波拉契數(shù)列）.（本題共4小問，25分）

2.找出下列各數(shù)之間的規(guī)律，寫出它的一個通項：1，3，5，7，9，…

3.在下圖四個三角形圖案中，著色的小三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項：

圖3

4.結(jié)合下表給出的數(shù)據(jù)，寫出每個月的兔子總對數(shù)，并將它的規(guī)律描述出來.

時間（月）初生兔子（對）成熟兔子（對）兔子總數(shù)（對）1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 3 5 8 7 13 8 8 1321 5 8 132134 10213455 9

來源：人教版高中數(shù)學(xué)《必修5》（以下簡稱《必修5》）第二章.

設(shè)計思想及要求：

此題考查目的是：（1）能否從具體數(shù)字入手歸納得到猜想，并通過公式推導(dǎo)證明；（2）應(yīng)用已有結(jié)論時能否看到問題的區(qū)別和聯(lián)系.

第三題題目：有關(guān)分類討論的猜想（本題共4小問，25分）

1.結(jié)合初中所學(xué)知識，x取何值有|x|=x，|x|=-x？

2.畫出函數(shù)y=|x|的圖像.（《必修1》第21頁第5題題目）

3.畫出函數(shù)y=|x-3|的圖像.

4.畫出函數(shù)y=|x-a|的圖像，其中a是常數(shù).

來源：人教版高中數(shù)學(xué)《必修1》（以下簡稱《必修1》）第21頁例題5.

設(shè)計思想及要求：

此題考查目的是：（1）能否從具體數(shù)字開始，逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，表達(dá)出一般結(jié)論；（2）能夠領(lǐng)悟到不同小問之間的聯(lián)系，進(jìn)一步展開聯(lián)想.

第四題題目：數(shù)形結(jié)合思想方法掌握（本題共4小問，25分）

1.若關(guān)于x的不等式2-|x-a|>x2至少有一個負(fù)數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是________.

2.設(shè)點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=，則x的取值范圍是_________.0

4.一束光線從點A（-1，1）出發(fā)經(jīng)x軸反射，到達(dá)圓C：（x-2）2+（y-3）2=1上一點的最短路程為__________.

來源：人教版高中數(shù)學(xué)《必修2》（以下簡稱《必修2》）第三、四章.

設(shè)計思想及要求：

此題考查目的是：（1）能否從教材示范中發(fā)現(xiàn)一類問題的規(guī)律；（2）能夠領(lǐng)悟到不同小問之間的聯(lián)系，進(jìn)一步展開聯(lián)想.

（二）測試題目權(quán)重分配及層次劃分

上述四道大題從高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的四個維度進(jìn)行考查.每道大題層層遞進(jìn)設(shè)計問題，維度涉及三個或四個.各考題側(cè)重不同，據(jù)此給出每道題四個維度的權(quán)重.詳細(xì)請看下表：

表二

第四題（4小問）觀察聯(lián)想：10%歸納猜想：20%數(shù)學(xué)表達(dá)：30%驗證或證明：40%基本觀察活動經(jīng)驗、基本統(tǒng)計活動經(jīng)驗、基本測量活動經(jīng)驗、基本計算活動經(jīng)驗、基本制圖活動經(jīng)驗、基本概括活動經(jīng)驗.①認(rèn)知性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.②技能性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.③體驗性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.每小問都含有三個層次內(nèi)容觀察、表達(dá)、驗證

（三）測試題的評分依據(jù)

表三

（四）測試對象的選擇和測試過程

測試集中在2015年12月.考慮到測試方便及學(xué)校人數(shù)限制，利用簡單隨機抽樣的方式在宜昌市葛洲壩中學(xué)2016屆高三的14個教學(xué)班中抽取280人.題目一的時間跨度為一個月，其余三題時間為40分鐘.樣本編號為：20160101，20160102，……，20161420.

圖4

（五）量化數(shù)據(jù)結(jié)果及結(jié)論

注意到本文只提供量化標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果及結(jié)論單獨編寫.此處簡單附帶題目一的部分結(jié)果.

圖5

四、高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗研究的展望

介于高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗研究是一個很難駕馭的艱難課堂，目前學(xué)術(shù)界、教育界對高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的界定沒有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和認(rèn)識，只能“摸著石頭過河”.但無論如何，研究始終在進(jìn)行，這一方向和目標(biāo)不會因為各種爭議而消滅.相信不久的將來，隨著研究的深入，有關(guān)高中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗內(nèi)涵、框架會更加明晰，界定會更加科學(xué)有效.

1.郭玉峰.數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗研究量化與課堂實踐［M］.長沙：湖南教育出版社，2013.

2.李建軍.淺談數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)——以誘導(dǎo)公式為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（2）.Z