☉甘肅天水市第一中學 宮前長

讀懂教材剖析概念滲透思想
——以“點到直線的距離公式”為例

☉甘肅天水市第一中學 宮前長

章建躍博士對數(shù)學教師備課提出要做到“理解數(shù)學、理解學生、理解教學”.數(shù)學備課就是在理解教材編寫意圖的基礎上，備好數(shù)學知識的邏輯生成關系和過程，深刻挖掘蘊含在教材中數(shù)學知識的內(nèi)在結構和聯(lián)系，凸顯例、習題的教學功能與價值，透視和領會深藏在數(shù)學概念、公式和例題等中的數(shù)學思想方法，才能稱得上讀懂了教材.唯有這樣才可以備好數(shù)學課，解決“怎樣備”和“備什么”的問題，給課堂教學的有效性提供堅實的基礎.

一、備：教材的編寫意圖

人教A版《數(shù)學》（必修2）第三章第3節(jié)“點到直線的距離公式”是解析幾何中的重要概念，在教材中占有重要的地位，在其中蘊含著重要的數(shù)學思想方法，因為它是基于有著豐富數(shù)學思想方法的“兩點間的距離”的概念，又能夠方便、自然地引出“平行線間的距離”的概念，其教育的地位、橋梁作用是不言而喻的.

1.剖析課標

《普通高中數(shù)學課程標準》對“點到直線的距離公式”的內(nèi)容要求：“探索并掌握——兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.”“點到直線的距離公式”是處于中間位置，具有“橋梁”的作用，容易將“兩條平行直線的距離”轉(zhuǎn)化為“點到直線的距離”來解決，充分突出了探究“點到直線的距離”的途徑、方法與策略是本節(jié)的重點和關鍵之處.課標要求全方位地體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì)：用代數(shù)方法來研究幾何問題.從而可知，本節(jié)重點是點到直線的距離公式的建立和探究，難點是選擇適當?shù)乃季S方式方法解決問題.

2.“距離”認識的直觀性

數(shù)學教材對距離的解讀：小學是從實際問題進行感知“距離”大小遠近；初中是從“形”的直觀性入手，讓學生認知和理解“距離”；高中是從“數(shù)”的精細化掌握和計算“距離”.

因此，平面內(nèi)靜態(tài)的“距離”理解、動態(tài)的“距離”理解具有較大的思維空間差異，甚至空間中的靜態(tài)和動態(tài)“距離”理解等都源于直觀性的認知基礎，可見“距離”的直觀性感知、理解就顯得非常重要.

點到直線的距離公式教學不能只滿足于告訴學生這個公式“是什么”或“什么是”，還應該讓學生了解點到直線的距離公式的背景、引入的理由，知道公式的建立、發(fā)展或解決問題中的作用和意義.

3.突出“距離”的主線作用

學生已經(jīng)學習了兩點間的距離公式，直線的傾斜角和斜率，直線方程的幾種形式，直線間位置關系判斷的依據(jù)，經(jīng)歷了建立直角坐標系解決問題的過程，積累了一定的學習經(jīng)驗和操作方法，在適當?shù)臅r機提出“距離”問題，回顧初中所學的兩點間的距離、點到直線的距離和平行線間的距離，并且加以區(qū)別，尋找共同點，成為促進探究點到直線距離公式的邏輯必然性.

點到直線的距離公式教學，是以“距離”問題為主線解決點到直線的距離，突出數(shù)學公式的發(fā)現(xiàn)、探究公式的證明過程和理解公式價值的心理過程為基本線索，以學生數(shù)學知識最近發(fā)展區(qū)為引入距離的必要性.課堂探究活動中要尊重學生的思維過程，充分發(fā)揮學生在學習中的主動性，搭建合作、交流的學習平臺.

二、讀：知識的內(nèi)在結構和聯(lián)系

1.弄清最近發(fā)展區(qū)的知識

有效教學源于學生的最近發(fā)展區(qū)的教與學，學生經(jīng)歷了初中數(shù)學的學習，從“形”的視角很容易理解點與點之間的距離、點到直線的距離，從“數(shù)”的層面只是會計算點與點之間的距離.高中在“直線與圓的方程”一章學習了直線的傾斜角、斜率、直線的位置關系及兩點間的距離公式.但要計算點到直線的距離需要在教材所展示知識和方法的基礎上，進一步的分析、思考，讓學生獨自思考后，再小組討論和完善，概括形成公式化.

2.剖析概念發(fā)揮教育價值

“點到直線的距離公式”是解析幾何中的重要內(nèi)容，是研究幾何問題的重要工具.主要涉及點、直線，方法凸顯了“數(shù)”的計算操作功能，即用代數(shù)方法解決幾何問題，比起從“形”的視角（點到直線的距離即為點到直線的垂線段的長度）理解操作方便.

備課時盡力在平面內(nèi)深刻剖析“點到直線的距離”的各種表征，從學科的高度和廣度把握“點到直線的距離”的理解：距離是屬于長度度量范疇的具體化，明確知識的發(fā)生、發(fā)展是有規(guī)律可循的，是按照人的認識規(guī)律來循序漸進的.對距離具體化認識是：“點與點的距離”“點到直線的距離”“直線到直線的距離”“點到曲線的距離”“點到區(qū)域的距離”等概念的發(fā)生、發(fā)展過程，進一步強調(diào)了數(shù)學知識的系統(tǒng)性和一定的邏輯性.從而讓學生經(jīng)歷“點到直線的距離公式”的探究過程，不但強化了思維能力，而且促進了學生的能力、意志品質(zhì)的發(fā)展.

3.梳理知識發(fā)展邏輯

在教材中，完全依照點的坐標、直線的傾斜角和斜率、直線方程和位置關系來呈現(xiàn)知識發(fā)展的邏輯順序后，進一步研究兩點間的距離公式，緊接著研究點到直線的距離問題.學生會自然想到點到直線的距離的定義，從“形”入手進行分析、思考，在坐標系中如何將點到直線的距離“坐標化”？如何刻畫和表示？這一些是學生困惑不好解決的問題，點到直線的距離計算成為思考的重點.

問題的提出和思考，顯得自然而然.只是采取什么方法去解決、采用什么策略去轉(zhuǎn)化等需要回歸教材，反復讀教材，讀懂概念，挖掘蘊含其中的思路：過直線外一定點作該直線的垂線，求得定點與垂足之間的距離；形成可操作的具體方法步驟：求得垂足的坐標，利用兩點間的距離公式來計算.其中涉及直線方程的求法、兩條直線垂直的關系.依照初中所學平行線的性質(zhì)：平行線間的距離處處相等，可容易知兩條平行線的距離的計算思路和方法，這一串的邏輯思維進展和探究操作，顯得自然天成、渾然一體，沒有一點“牽強”之味.

4.教材探究方案剖析

值得注意的是教材（第106頁）給出：“上述方法雖然思路十分自然，但具體運算需要一定的技巧.”教材給出的探究方案：“根據(jù)定義，點P0到直線l的距離d是點P到直線l的垂線段的長.”

圖1

如圖1，設點P0到直線l的垂線段為P0Q，垂足為Q，由P0Q⊥l，可知直線的斜率為（A≠0），根據(jù)點斜式寫出直線P0Q的方程，并由l與P0Q的方程求出點Q的坐標；由此根據(jù)兩點距離公式求出｜P0Q｜，得到點P0到直線l的距離為d.明確提出此方法雖思路自然，但運算較繁.具有“雙刃劍”的作用：提示此思路可以想，但不可以具體操作，因為太繁、難和技巧性強；或提醒意志力強的學生不畏艱難，試一試到底有多“難”，增強學生學習數(shù)學的信心，提高數(shù)學運算能力.

三、顯：例、習題和旁白的教學功能

教材例、習題是編寫專家進行認真思考、嚴格篩選的.例題教學是數(shù)學教學必不可少的重要環(huán)節(jié)，講解例題一定要發(fā)揮其教學功能，促進溝通與所學知識的聯(lián)系.學生通過習題演練能夠讓所學知識系統(tǒng)掌握、正確運用和錘煉能力，明白習題所含知識意圖就是運用知識解決所學問題，才能彰顯習題教育價值.

1.解讀教材旁白

教材在學生思維的最近發(fā)展區(qū)設置一個思考問題：“如圖1，已知點P0（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A、B不同時為零），如何求點P0到直線l的距離？”對學生的數(shù)學思維具有提示、啟發(fā)作用，誘導學生思考和探究數(shù)學活動，促使在課堂活動中經(jīng)歷、觀察、猜測、推理、交流和反思等數(shù)學理性思維，切實改進學生的學習方式方法.同時又設置了2個“？”（旁白），即“試一試，你能求出|P0Q|嗎？”“當A=0或B=0時，上式公式是否成立？”其目的就是有意提升學生思維能力，深刻理解公式在特殊情況下的適用性，進一步促進學生思維跟進，強化數(shù)學理性思維能力.

2.例、習題的教學功能

設置了例5（直接應用公式解決）、例6（根據(jù)點到直線的距離公式、面積公式解決）兩道例題，在每一道例題的邊空處提出一個“？”（旁白），有意提醒學生多觀察、多思考、多分析，盡可能多地掌握解決問題的方法，如例6也可以采取面積割補的方法計算△ABC的面積，拓展學生的思維空間，提高學生解決問題的能力.

學生分小組探究例6可用其他方法解決問題后，教師應該馬上提出將三角形的頂點坐標一般化，即A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），能否推導出三角形的面積S的一般結論.這樣做可以讓學生運用所學知識，重新思考三角形面積的計算策略，有意訓練思維能力和字母運算能力，學生通過合作、交流、展示所推得三角形的面積S=（|x-x）（y-y）-（x-x）（y-y）|.又一次將學生的思維31212131向前推一把，學生親歷獨立思考、合作、探究、交流展示的過程，學生逐步認識問題的本質(zhì)，理解得更加深刻，挖掘習題潛在的教學價值.

現(xiàn)行教材后面安排練習題和總復習題，目標是綜合運用所學知識加以解決的數(shù)學問題，教學時一定要認真研究這一些習題的解法和變式，以拓展學生思維的深度、廣度，從一般性的結論中感知、領悟數(shù)學知識的本質(zhì)，感受數(shù)學教育價值意圖表現(xiàn)出來的數(shù)學式子統(tǒng)一美、簡捷美、奇異美和內(nèi)在美.例6中三角形的頂點一般化后，其面積結論為：S=（|x-x）（y-y）-（x-x）（y-y）|，31212131還有計算方法所顯示的簡單，都屬于數(shù)學美的范疇.前面探究所得的點到直線的距離公式自身具備上述的“四美”特征.

學生在數(shù)學活動中掌握知識的多少、理解數(shù)學的多少等與課前教師所做的“深刻”備課有很大的關系.教師只有讀懂教材概念、意圖，精心設計數(shù)學活動，深刻領悟教材內(nèi)容、例習題意圖，才能發(fā)揮教材的教育功能.

3.研究學生調(diào)整教學方法

教學時，弄清學生，準確定位學生的現(xiàn)有認知水平和知識經(jīng)驗基礎，定位學生的最近發(fā)展區(qū)，精確定位每堂課知識的生長點.強調(diào)點到直線的距離概念和公式建立的重要性，消除只重視公式解題訓練而忽視基礎與過于重視基礎知識記憶、訓練為主的兩種弱化能力培養(yǎng)的現(xiàn)象，強化公式建立的探究過程，加深公式的理解，從學生新的視角重新認識，促進學生在公式建立探究過程中的認知飛躍，完善點到直線的距離公式探究的思維整合，引導、幫助、合作與交流中找到解決問題的方法，在建立知識間聯(lián)系的過程中領悟數(shù)學本質(zhì)，爭取求悟、求變的動態(tài)中提高思維能力.

教師的“教”是為學生的“學”提供啟示、解疑和點撥，研究學生自然成為有效課堂教學的基點，以學生發(fā)展為本，給學生足夠多“思考”的時間，給學生搭建“討論”的平臺，讓學生獨立思考，合作探究，真正讓學生不再“套公式”，跳出“題海”練數(shù)學題，教給學生方法，學概念、思解法、練思維、習操作技術，實現(xiàn)高效課堂.

四、透：數(shù)學思想方法

1.教材內(nèi)容中的思想

點到直線的距離公式一節(jié)，教材就已經(jīng)突出了數(shù)學思想方法.點到直線的距離的理解要求對所涉及點、直線的位置有兩種：點在直線上，點不在直線上.不論從“形”的直觀性理解：過點作直線的垂線，點到垂足的距離即是；還是從“數(shù)”的可算性（坐標化）理解：一點與直線上一動點的距離轉(zhuǎn)化為坐標的計算最小值問題，都體現(xiàn)了數(shù)形結合、分類討論和函數(shù)思想的意義和作用，即把“距離”問題具體化、特殊化處理，體現(xiàn)了降維思想，建立了點到直線的距離公式，有利于點到直線的距離本質(zhì)的理解和掌握.

2.教學中滲透方法

點到直線的距離公式的學習處于兩點間的距離公式學習之后，有著凸顯解析幾何的思想作用，在預設時，需要思考：為什么要研究點到直線的距離？怎樣研究？帶著問題讀教材，為了指導學生方法讀教材.形成大數(shù)學的框架理解點到直線的距離，從畫圖中感知點到直線的距離，從定點到直線上的動點距離動態(tài)中挖掘點到直線的距離的精細化，從坐標系中掌握點到直線的距離的計算準確化，從各種思維視角強化點到直線的距離的多樣化.

3.思想定方案，方法可選優(yōu)

點到直線的距離公式是一個非常重要的公式，在數(shù)學學習中有著重要的作用.其探究思路比較多，貼近學生知識有以下三種策略方案：根據(jù)點到直線的距離的概念，容易想到過點P作直線l的垂線，垂足為Q，寫出該垂線的方程，再與直線l的方程聯(lián)立，求得垂足的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式求得|PQ|；利用點關于直線對稱點，再根據(jù)兩點間的距離求得；借助初中所學的“平行線間的距離處處相等”來求得等這一些都是學生最近發(fā)展區(qū)容易想到、方便操作的簡捷思路.其具體方法如下：

已知點P0（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A、B不同時為零），如何用x0、y0、A、B、C表示點P0到直線l的距離.

思路1：（定義法）過點引直線的垂線，求垂足坐標，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離，此思路容易想到，實際操作、運算推理煩瑣.

方法1：過點P0作直線l的垂線，垂足為點Q.

若直線l垂直于x軸，即B=0，此時直線l的方程為x= -（A≠0），故點到直線l的距離

若直線l不平行于x軸，不垂直于x軸，則直線l的斜率k=-，此時直線的方程為y-=-（x-x），即Bx-0Ay=Bx0-Ay0，與直線l的方程Ax+By+C=0聯(lián)立，解得

根據(jù)兩點間的距離公式，可得|P0Q|=

故點P0到直線l的距離

思路2：（對稱性法）作點關于直線的對稱點，把問題轉(zhuǎn)化為兩點（兩個對稱點）之間的距離，此思路容易想到，運算也煩瑣.

方法2：直線l：Ax+By+C=0（A、B不同時為零）外一點P0（x0，y0），則點P0關于直線l對稱的點為M（xM，yM），根據(jù)對稱性的性質(zhì)，可得解得

根據(jù)兩點間的距離公式，可得|P0M|=

故點P0到直線l的距離

思路3：（平行線特殊點法）過點作直線的平行線，根據(jù)平行線間的距離處處相等，依據(jù)“距離”尋找特殊點，把問題轉(zhuǎn)化為兩點（兩個特殊垂足）之間的距離，此思路容易想到.

方法3：設過直線l：Ax+By+C=0（A、B不同時為零）外一點P0（x0，y0）與直線l平行的直線m的方程為Ax+By+D= 0，則Ax0+By0+D=0，從而可知直線m：A（x-x0）+B（y-y0）=0.

若直線l不平行于x軸，也不垂直于x軸，則直線l的斜率k=-，此時存在與直線l、m都垂直的直線n：y=x，垂足分別為E、F，其坐標分別是根據(jù)兩點間的距離公式，可得

若直線l垂直于x軸，即B=0，此時直線l的方程為x= -（A≠0），直線m的方程為x=，則直線l、m都垂直于x軸，垂足分別為，此時

綜上所述，點P0到直線l的距離

點評：思路3有利于平行線間的距離公式的建立和探究，既可以理解點到直線的距離公式，又可以因勢利導得到平行線間的距離公式，一舉兩得.

以上三種思路方法，“貴”在有法可依、可操作.雖然各種資料（雜志、教輔）上推導點到直線的距離公式的方法很多，但要明白處于學生知識最近發(fā)展區(qū)的思路方法才是好策略，否則容易想到但不好操作，或不容易想到而容易操作的策略只能作為數(shù)學思維欣賞而已.學生只有經(jīng)歷不同的數(shù)學活動，才能感悟到數(shù)學思維功能的博大精深！

4.基于育人的數(shù)學活動

數(shù)學公式課堂教學的重點就更應突出公式的發(fā)現(xiàn)、探索和證明的過程，這一數(shù)學活動過程中蘊含著育人的價值，尤其是讓學生不斷探索、發(fā)現(xiàn)、思考、確定思路方案和具體的操作流程，不斷的采取驗證、完善，最后形成切實可行的點到直線的距離公式證明方法，數(shù)學公式的教學，是讓學生了解和經(jīng)歷公式的探究過程成為思維提升、思維訓練的良好素材，增強每一位學生解決問題的信心、錘煉堅強的毅力和鍥而不舍的探究精神，充分發(fā)揮學生獨立自主的學習能力，有利于學生長遠的發(fā)展和成長.

總之，讀懂教材中的數(shù)學概念，才能立足于整體把握點到直線的距離公式建立的探究過程，促使問題的提出自然、順暢，推理探究方案的選擇合情合理，數(shù)學思維層次的深刻性得到更大幅度的提升，真正在問題的探究、解決中落實了數(shù)學的育人功能，發(fā)揮數(shù)學的教育價值.

1.宮前長.讀懂教材之意體悟理念之真——記“數(shù)列”第一課時教學的心路歷程［J］.中學教研（數(shù)學），2012（10）.

2.宮前長.新課程古典概型教學：困惑、解惑與感悟［J］.中學數(shù)學（上），2014（5）.

3.宮前長.設計合理“亮”思維追求高效“啟”智慧——記“線面平行”（第一課）教學的思維歷程及教學取向［J］.中學數(shù)學（上），2015（1）.F