☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)吳曉英

方法紛呈迷人眼，思想才能現(xiàn)本質(zhì)
——再談“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”的推導(dǎo)

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)吳曉英

從認(rèn)知層面看，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式在陳述性知識、程序性知識與策略性知識的分類中，屬于學(xué)生最高需求層次的掌握策略與方法的策略性知識.因此，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)歷來是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，對于此公式的推導(dǎo)教學(xué)的探討也一直沒有停息.最近筆者觀摩了一堂關(guān)于“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”推導(dǎo)的課，這堂課的最大特色就是用到了多種推導(dǎo)方法，并且這些方法并不是無序的堆積與羅列，而是按照一定的思維主線串聯(lián)起來.下面筆者就以這堂課為載體，談?wù)劇暗缺葦?shù)列前n項(xiàng)和公式”的教學(xué)策略.

一、教學(xué)過程簡介

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

情境設(shè)計(jì)：（還款游戲）一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多一萬；但借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍，30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算，本想定下來，但又想到此富人是吝嗇出了名的，怕上當(dāng)受騙，所以很為難.請?jiān)谧耐瑢W(xué)思考一下，幫窮人出個主意.

意圖：通過這個問題情境，引出對數(shù)列S30=1+2+22+…+229求和的思考.為后續(xù)一般的等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)做好思維上的鋪墊.

2.歸納推理，探究規(guī)律

由于學(xué)生對于這類數(shù)列求和比較陌生，所以教師啟發(fā)學(xué)生，能不能利用特殊到一般的思想，利用歸納推理，猜想出求和公式的結(jié)構(gòu).

方法一：（特殊法）

（1）Sn=1+2+22+…+2n-1.S1=1=2-1，S2=1+2=3=22-1，S3= 1+2+22=7=23-1，…，Sn=2n-1.

這種方法還可以繼續(xù)推廣到其他等比數(shù)列求和.

因此，對于一般的等比數(shù)列｛an｝的求和，Sn=a1+a2+…1）.當(dāng)q=1時，Sn=na1.

意圖：公式推導(dǎo)的過程應(yīng)該是學(xué)生在課堂上生成的結(jié)果，為了達(dá)到自然生成的預(yù)期，教師盡可能從特殊情況入手，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)潛在的規(guī)律.因?yàn)橛辛颂厥馇樾蔚奶崾?，一般情形下利用錯位相減較易得到.

方法二：（逆推法）由Sn=1+2+22+…+2n-1=2n-1，發(fā)現(xiàn)｛Sn+1｝是等比數(shù)列.也就是說，在原有數(shù)列求和的基礎(chǔ)加“1”，就可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.因此

同理，Sn=1+3+32+…+3n-1?2Sn=2+2×3+2×32+…+2×

意圖：從推導(dǎo)的結(jié)論入手，執(zhí)果索因，從而可以得到啟發(fā)：在等比數(shù)列求和公式兩邊同時乘以公比q，然后與原來的求和公式作差就可以推得等比數(shù)列求和公式.

方法三：（錯位相減）Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+…+a1qn-1，則qSn=a1q+a1q2+…+a1qn.

3.方法鑒賞，拓展思維

方法四：（利用合并定理）注意到等比數(shù)列每一項(xiàng)都不等于零，由等比數(shù)列定義，得，則

方法五：（利用配湊法）Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+…+，整理得（1-q）Sn=

方法六：（整體代換法）Sn=a1+a2+…+an=a1+q（a1+a2+（q≠1）.

點(diǎn)評：本課的最大亮點(diǎn)就是公式推導(dǎo)的方法“多而全”，凡是當(dāng)前比較流行的方法都作了詳細(xì)的介紹.這些證明方法也不是無序的羅列，而是通過兩個階段系統(tǒng)的給出.在第一個階段中利用特殊到一般的思想，通過猜想、分析、類比，從而引出公式證明的重要思想方法——“錯位相減法”；第二個階段的主要目的是證明方法的鑒賞，通過鑒賞不同角度的推導(dǎo)與證明，從而進(jìn)一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

二、方法紛呈迷人眼

本課的證明方法雖多，但細(xì)細(xì)品味還是發(fā)現(xiàn)一些值得商榷的地方.

首先，這些方法是否有必要在一堂課中都得以呈現(xiàn).方法總有主次重要之分，本課的重點(diǎn)與難點(diǎn)是“錯位相減法”.有些方法雖然在等比數(shù)列前n項(xiàng)公式的推導(dǎo)中表現(xiàn)出了快捷直觀的特點(diǎn)，但不見得具有很大的推廣價值.而錯位相減法不僅能夠推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，而且對類似“等差乘等比”的數(shù)列也能適用.所以，本節(jié)課的重心應(yīng)放在錯位相減法的發(fā)現(xiàn)與運(yùn)用上.

其次，這么多的方法其內(nèi)部究竟有什么聯(lián)系.看似方法很多，實(shí)際上大同小異.掌握了其中一種方法的推導(dǎo)思想，其余的方法學(xué)生自然可以想到.不僅如此，這些方法教師講了學(xué)生都能夠掌握嗎？或者說，這些方法有哪些是學(xué)生能夠自然想到的？如果學(xué)生無法自然想到，那么教師的講解其實(shí)就異化成“灌輸”，這是我們在課堂教學(xué)中堅(jiān)決不提倡的.

最后，把技巧與方法作為教學(xué)的重點(diǎn)而忽視對求和本質(zhì)的揭示.一般地，要求和通過相加（手段）實(shí)現(xiàn)，但要求和，不僅僅只有通過相加才能實(shí)現(xiàn)（辯證思維），求和就是想方設(shè)法求出和的結(jié)果.因而，從某種意義上來講，求和就是對和式進(jìn)行化簡，也就是求和的本質(zhì)是化簡.學(xué)生若不了解求和的本質(zhì)，那么了解再多的方法又有何意義.

三、思想才能現(xiàn)本質(zhì)

那等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的教學(xué)該如何進(jìn)行呢？筆者認(rèn)為，首先明確求和的本質(zhì)，然后以數(shù)學(xué)思想為引領(lǐng)，讓學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)求和的方向與方法.

1.回顧復(fù)習(xí)，尋找靈感

先回顧等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程，明確數(shù)列求和的目的就是化簡，也就是說把多余的項(xiàng)消去，只保留少數(shù)幾項(xiàng).具體操作如下：

第一步，寫出求和公式Sn=a1+a2+…+an.

第二步，僅憑一個式子很難實(shí)現(xiàn)“消項(xiàng)”，一般情況需要在原理的基礎(chǔ)上再構(gòu)造一個，形成類似方程組的形

第三步，現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)化為解方程組.一般解方程組往往通過上下兩個方程相加或相減實(shí)現(xiàn)消元.那么對于上述兩個方程，直接作差顯然不行，因?yàn)樗械捻?xiàng)都消掉了.直接作和也不行，因?yàn)橐豁?xiàng)也沒消掉.到底采取怎樣的消項(xiàng)策略，取決于數(shù)列本身的形式.根據(jù)等差數(shù)列的對稱性，所以想到采用“倒序相加”的策略.

2.靈活運(yùn)用，感悟思想

為了加深學(xué)生對于錯位相減法的認(rèn)同感，體會此方法的重要作用.我們可以進(jìn)一步利用錯位相減法求“等差×等比”型數(shù)列的前n項(xiàng)和.

問題：求數(shù)列an=n2n的前n項(xiàng)的和Sn=2+2·22+3·23+…+n2n①.

這個數(shù)列的通項(xiàng)是由等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘構(gòu)成的，因此考慮問題的時候應(yīng)該從等差數(shù)列和等比數(shù)列的角度進(jìn)行分析.從整體上看，這個數(shù)列求和與等比數(shù)列求和非常接近，但顯然不能直接用等比數(shù)列求和公式，因?yàn)槊恳豁?xiàng)前面的系數(shù)不一樣.如果能夠把求和公式化成類似于Sn=A·2+A·22+A·23+…+A2n的結(jié)構(gòu)就可以用等比數(shù)列求和公式了.那如何把系數(shù)化成相同呢？因?yàn)槊恳豁?xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義，后一項(xiàng)和前一項(xiàng)的差都是同一個常數(shù)公差.但每一項(xiàng)的次數(shù)是不一樣的，因此前后兩項(xiàng)無法直接相減，若要相減，次數(shù)必須一樣.

經(jīng)過以上分析，基本上已經(jīng)確定了解題的基本框架，就是把各項(xiàng)系數(shù)化成一致，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行求和.而要實(shí)現(xiàn)系數(shù)一致，首先必須實(shí)現(xiàn)次數(shù)一致.因此，不妨把第一項(xiàng)乘以公比2，那它就和第二項(xiàng)的次數(shù)一樣，就可以和第二項(xiàng)作差，同理，第二項(xiàng)乘以公比2就可以和第三項(xiàng)作差了，依次類推，這就相當(dāng)于在原來的數(shù)列求和式子的兩端同乘一個公比2，即2Sn=22+2·23+3·24+…+ n2n+1②.接下去把①、②兩式子作差，因?yàn)橹挥写螖?shù)相同才能作差，所以必須要錯開，即作差后原來的求和式子就轉(zhuǎn)化為與等比數(shù)列求和有關(guān)的問題了，即-Sn=，接下去問題就容易解決了.

通過這個問題使學(xué)生進(jìn)一步感悟錯位相減法的數(shù)學(xué)思想：錯位的目的是為了能夠相減，而相減的目的是為了能夠求和.

綜上所述，數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明的方法不在于多，而在于“精”，在乎“自然”，在乎融會貫通.F