彭麗曼（華南師范大學數學科學學院 廣東廣州 510631）

如何將數學史與數學教學有機結合起來
——以教授直線的傾斜角概念為例

彭麗曼（華南師范大學數學科學學院 廣東廣州 510631）

近年來，越來越多的數學工作者重視數學史在數學教學中的作用，但是受到學生知識水平的限制及教學進度的要求，盲目介紹數學問題出現的現實情境、揭示數學概念的來龍去脈，不僅可能超出學生的現實基礎，而且也無利于教學效果的提高。本文通過對直線的傾斜角概念的教學設計的分析，初步探討數學史與數學教學有機結合的方法。

數學史；數學概念；建構主義

【DOI】10．19312/j．cnki．61-1499/c．2016．07．071

近年來，中小學課程改革中越來越強調“改變課程內容‘繁、難、偏、舊’和偏重書本知識的現狀，加強課程內容與學生生活以及現代社會和科技發(fā)展的聯(lián)系，關注學生的學習興趣和經驗，精選終身學習必備的基礎知識和技能”。這更是需要教師把數學工具發(fā)展所面臨的現實問題、數學的發(fā)展過程，總而言之，把數學史與數學知識的學習融合在一起，使學生能了解數學問題的現實性，數學既來源于生活又反作用于生活。課程改革對引導學生學會學習方面，提出了具體的要求：“改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現象，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力。”其中，向學生展現數學史上數學家面對時代的數學問題時解決問題的思路有利于學生了解掌握對具體問題分析解決的能力，這種數學家們獨創(chuàng)的解決問題的思路、方法對學生思考其他生活上的問題意義非凡。

數學史是研究數學科學發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學，簡單地說就是研究數學的歷史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。所以，學好數學史，不僅能對數學知識有更深層次的了解，而且有利于自己樹立正確的數學觀念。

但是，受到學生知識水平以及教學要求的限制，教師不能對教學內容所涉及到的數學思想、數學概念發(fā)展過程做詳盡的描述，那么，一節(jié)以數學史為背景的課在數學史內容的選取與數學史與數學教學的結合設計上將是衡量教學設計得合不合理的關鍵因素。本文以《直線的傾斜角與斜率》一課為例，初步探討如何將數學史與中學數學教學內容有機結合。

一、直線的傾斜角教學設計

1.直線的傾斜角的概念引入

（1）教師引導。在上一章中，我們依據點、直線、平面的位置關系來研究幾何圖形的性質，這種方法優(yōu)點在于幾何圖形可以給我們的思維以直觀的引導，但是在歐式幾何中，一個新的證明往往要求某種新的、奇巧的想法會給我們帶來不便。而回想我們以前所學習的加減乘除的計算和代數方程的求解等問題都有一套機械化、程序化的解決方法，那么，我們能不能把數、代數引進幾何學中，或者說把幾何問題轉化為代數問題，從而運用代數的方法解決幾何問題？17世紀時，法國著名的數學家笛卡爾就很深刻地意識到把代數引進幾何學的必要。要解決這個問題關鍵在于怎么用數來表示圖形的幾個要素，即如何用數表示點、直線、平面。

笛卡爾在觀察墻角的一個蜘蛛的運動中想到了建立“直角坐標系”的方法，空間中任意一點的位置就可以用這三根數軸上找到有序的三個數與之對應。在初中我們學習過，在平面直角坐標系上可以用一組二元數（x，y）表示平面上的一個點，這就解決了用數表示平面上的點的問題，那么，直線又怎樣用幾個數來確定呢？

（2）設計分析。概念的引入既承接了上一章中傳統(tǒng)幾何學的內容，又把學生的思想置于17世紀數學家所面臨的問題情境，讓學生體會當時幾何學發(fā)展所遇到的問題。介紹笛卡爾的直角坐標系方法，引出這一章所涉及的主要思想——通過直角坐標系用數來表示幾何要素。同時，通過類比平面中的點用坐標來表示，引出平面上的線如何用數表示的問題。從建構主義學習觀看，“數學學習不是被動接受的過程，而是主動建構的過程”，通過介紹數學史完整地呈現數學家解決問題的思想方法，激起學生的好奇心及求知欲，為后續(xù)直線傾斜角概念的建構埋下伏筆。

同時，筆者了解到解析幾何的產生有一系列的實際問題的驅使，比如：哥白尼的“日心說”、伽利略的慣性定律與自由落體定律、開普勒提出的行星運動三大定律的提出都迫使產生新的幾何學，以便用運動的觀點來認識和處理圓錐曲線及其他曲線。誠然，引入這些數學史料能夠讓學生領會數學來源于生活，數學問題具有現實性。但是，由于學生知識水平的限制，尚不能真正理解解析幾何對解決這些問題的作用，從而不能使數學史跟教學內容有機結合的目的。

2.直線的傾斜角的概念教學

通過圖形展示逐步引出過一定點的直線之間傾斜程度、方向不同。

（1）教師引導。既然點P可以用坐標這一組二元數來表示，如果直線的方向也可以用某種數來表示，直線就可以用這兩個數來表示。那我們就來探究一下如何用數表征直線的方向。我們聯(lián)想一下地圖中的方向怎么表示。如果地圖上由一條筆直的路，問這條路是往哪個方向延展的，關鍵要知道什么量？角度，比如說直線向上方向跟東方向夾角為45度，那么我們就知道這條路是往東北方向延展的，如果是30度角，我們就能確定這條路是來往于北偏東30度的方向。知道一個角度就可以確定道路的方向，這給了我們很大的一個啟示，也來給我們的直線安個角度！

教師組織學生自由討論：應該選取哪個角度較好，并且倡導學生各抒己見。

（2）設計分析。緊扣以直角坐標系為中介，用數描述幾何要素——直線的思想，找到過一定點的直線的本質特征——方向，并且把問題轉化成用可數量化的要素描述直線的方向，并通過類比地圖上方向的描述來尋求解決問題的思路，最后把焦點聚在直線跟坐標軸的夾角上，從而問題迎刃而解。在教學環(huán)境中再現概念產生的背景和動機，層層遞進，既發(fā)揮了教師的課堂主導作用，又調動了學生思考的積極性，使學生成為學習的主人。教師沒有由此引出直線向上方向與x軸正方向的夾角，而是用自由探討的方式讓學生各抒己見，使教師成為概念建構的幫助者和促進者，使學生成為信息加工的主體和概念建構的主動者。這也正是建構主義所提倡的“在教師的幫助下以學習者為中心，既強調學習者的認知主體作用，又不忽視教師的主導作用”在課堂上的實際應用。

二、數學史與教學有機結合的方法

1.再現數學問題的“現實情境”

數學教材往往根據一定的學習要求按照一定的邏輯結構對數學知識加以取舍編纂成一定的知識體系，這樣就必然忽略數學概念數學思想發(fā)生的實際背景。而對于中學數學來說，數學知識、數學概念的發(fā)展絕大多數來源于現實生活問題的解決，因而在數學概念引入時，教師若能再現當時數學家所面臨的問題情境，引導學生進入發(fā)現者的角色，將會激發(fā)學生的探索欲望，為概念教學創(chuàng)造自由思考的氛圍。

再現數學問題的現實情境不等同于把數學史上數學家當時所面臨的要解決的數學問題一股腦兒全部羅列出來。受制于學生的知識水平，學生很可能理解不了真實的數學問題情境與數學概念之間的關系，好比上文分析的時代需要當時的數學家用運動的觀點來認識處理圓錐曲線和其他曲線，這跟要把代數引進幾何學有什么關系呢？盲目列舉數學史上的知識不僅不能幫助學生很好地把握數學發(fā)展的方向，反而讓學生“知其然，不知其所以然”，加重學生負擔。所以，教師在選擇數學史料時要反復考察學生的知識水平，并根據學生的知識水平來選取數學史料。最好選取跟數學概念數學方法有最直接關系的史料。

2.還原數學概念的發(fā)現過程

學習數學不僅是為了獲得數學知識數學成果，更重要的是學習數學思維與數學方法。數學史中記載了許多數學工具、數學概念的發(fā)現過程，同時也記載了數學家創(chuàng)造性的解題思維過程。還原數學概念的發(fā)現過程要求教師熟練掌握與數學發(fā)現相關的史料，從而在課堂上合理設置相關的問題，并且在適當時候給予提示，通過教師的一步一步的引導逐步還原數學家當時的思考過程。這不僅能營造自由討論的課堂氛圍，還可以讓學生體會主動發(fā)現數學的樂趣，激發(fā)學生的探索欲和求知欲。

[1]王紅兵,薛艷蘭．數學史在中學數學教學中的應用[J]．時代教育,2012．

[2]黃宏波．論數學史在數學教學中的重要作用[J]．教育與職業(yè),2007．

[3]段璐靈．從建構主義看數學課堂引入[J]．四川工程職業(yè)技術學院學報,2007．