王金玲

摘 ?要：本文以具體的工程實(shí)例，介紹了多項(xiàng)式曲線擬合法在GPS高程擬合中的應(yīng)用，擬合得到厘米級(jí)似大地水準(zhǔn)面模型，并給出有價(jià)值的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：高程擬合;高程異常;多項(xiàng)式曲線法;精度

中圖分類(lèi)號(hào)： TP301 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

自20世紀(jì)80年代中期以來(lái)，全球定位系統(tǒng)（GPS）在測(cè)量中的應(yīng)用發(fā)展非常迅猛，GPS定位技術(shù)以其高度自動(dòng)化及較高的定位精度，廣泛應(yīng)用在大地測(cè)量、工程測(cè)量等領(lǐng)域。但由GPS定位測(cè)量測(cè)得的高程是相對(duì)于 WGS—84參考橢球面的大地高程H，而我國(guó)使用的是相對(duì)于似大地水準(zhǔn)面的正常高Hr，兩者之問(wèn)的差距為高程異常ξ，因此，GPS測(cè)得的高程值無(wú)法直接用于實(shí)際的高程控制作業(yè)，只有建立高精度、高分辨率的區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型，計(jì)算得到各點(diǎn)的高程異常值，將大地高轉(zhuǎn)化為正常高，才能在實(shí)際工程中得以應(yīng)用。

目前，國(guó)內(nèi)外用于GPS高程擬合的方法主要有地球重力場(chǎng)模型法和數(shù)學(xué)模型擬合法，地球重力場(chǎng)模型法精度較低，且相應(yīng)的重力場(chǎng)數(shù)據(jù)不易獲得，不能滿足工程的實(shí)際需要。數(shù)學(xué)模型擬合法中常用的有多項(xiàng)式曲線擬合法、多項(xiàng)式曲面擬合法、多面函數(shù)曲面擬合法、移動(dòng)曲面擬合法等。各種模型都有其一定的適用范圍，其中多項(xiàng)式曲線擬合法在目前的線路測(cè)量中得以廣泛的應(yīng)用

1 多項(xiàng)式曲線擬合法的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)GPS點(diǎn)呈線狀布設(shè)（如線路測(cè)量），在認(rèn)定沿線似大地水準(zhǔn)面為一條連續(xù)而光滑的曲線的前提下，可應(yīng)用多項(xiàng)式曲線擬合法進(jìn)行擬合，求待定點(diǎn)的正常高。其原理是：若將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成X與測(cè)線方向重合，Y與測(cè)線方向垂直，選用一個(gè)m次代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，設(shè)高程控制點(diǎn)的高程異常ξ與坐標(biāo)X（或Y或擬合坐標(biāo)）之間的函數(shù)關(guān)系為：

（1）

，

各高程控制點(diǎn)的已知高程異常與其擬合值之差為：

（2）

V稱(chēng)為殘差，根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)在 的原則下，解得（1）式中的待定系數(shù)ai，然后再按（1）式求出測(cè)線方向上（含左、右鄰近點(diǎn)處）任一點(diǎn)的高程異常值，從而求得點(diǎn)的正常高Hr。

2 實(shí)例計(jì)算與分析

某高速公路某一段屬于平原地區(qū)，其線路長(zhǎng)約118公里，共布設(shè)了126個(gè)GPS點(diǎn)，每個(gè)GPS點(diǎn)上都聯(lián)測(cè)了水準(zhǔn)。如圖1所示是其中一段控制網(wǎng)，采用多項(xiàng)式曲線擬合進(jìn)行計(jì)算。

（1）采用不同階次多項(xiàng)式曲線擬合

分別采用二次曲線函數(shù)、三次曲線函數(shù)、四次曲線函數(shù)進(jìn)行擬合。

二次曲線采用TN06、TN14、TN19三個(gè)聯(lián)測(cè)點(diǎn)作為控制點(diǎn);三次曲線采用TN06、TN10、TN15、TN19四個(gè)聯(lián)測(cè)點(diǎn)作為控制點(diǎn);四次曲線采用TN06、TN12、TN15、TN18、TN20五個(gè)聯(lián)測(cè)點(diǎn)作為控制點(diǎn)。擬合結(jié)果見(jiàn)表1。

從表3、4中可以看出：已知點(diǎn)分布不同，擬合結(jié)果也就不同，點(diǎn)的分布是影響GPS水準(zhǔn)擬合的重要因素之一。

3 結(jié)論

（1）狹長(zhǎng)線形區(qū)域地形擬合模型中，采用多項(xiàng)式曲線擬合時(shí)，三次曲線擬合擬合精度最高，效果最好。二次曲線擬合模型精度較高，四次曲線擬合模型精度最低。由此說(shuō)明，多項(xiàng)式曲線擬合模型不適用于控制點(diǎn)較多的情況，擬合次數(shù)不宜過(guò)高，曲線擬合過(guò)程中并非是擬合次數(shù)越高越好。這是因?yàn)殡S著擬合次數(shù)的增大，曲線振蕩就會(huì)加劇，由此描述的高程異常變化不準(zhǔn)確，另外隨著次數(shù)的增大，求解擬合系數(shù)的矩陣方程組可能出現(xiàn)了病態(tài)矩陣的情況，這種情況下求出的擬合多項(xiàng)式當(dāng)在求解未知點(diǎn)時(shí)，未知點(diǎn)的坐標(biāo)微小的變化也會(huì)引起高程異常較大的變化，因此宜采用三次多項(xiàng)式曲線擬合。

（2）擬合精度除了與擬合模型的選取有關(guān)以外，與已知點(diǎn)的分布也密切相關(guān)：在GPS高程擬合時(shí)，應(yīng)使已知點(diǎn)均勻分布在測(cè)區(qū)的四周及中間，最好能夠?qū)⒄麄€(gè)GPS網(wǎng)包圍起來(lái)。忌諱取同一直線上的、同一側(cè)的取位于中間和兩端的等分布不均勻的點(diǎn)作為擬合已知點(diǎn)。

（3）在選用合適的擬合模型后，擬合的精度可以達(dá)到4等水準(zhǔn)測(cè)量的精度?？梢杂糜谝话愎こ痰牡匦胃叱炭刂?，但是不宜作為高等級(jí)控制高程點(diǎn)。

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（本文審稿 ?張端丹）