楊波

【摘 要】主要針對(duì)模m剩余類(lèi)加群和模m剩余類(lèi)乘群的講授方法作了探討，在加群部分重點(diǎn)對(duì)加群中負(fù)元的求法作了說(shuō)明；在乘群部分重點(diǎn)對(duì)模m剩余類(lèi)中的非零元可以作成群的條件作了解釋。

【關(guān)鍵詞】群；模m剩余類(lèi)；逆元；負(fù)元

0 引言

近世代數(shù)是一門(mén)研究不同的代數(shù)系統(tǒng)的學(xué)科，其中會(huì)涉及許多抽象的定義和性質(zhì)，這就使初學(xué)者很難正確理解這些抽象的定義與性質(zhì)。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，我們可采用不同的教學(xué)方法來(lái)提高近世代數(shù)的教學(xué)效果。例如，對(duì)模m剩余類(lèi)加群的同態(tài)關(guān)系的探究[3]；對(duì)模m剩余類(lèi)加群的性質(zhì)進(jìn)行了分析[4]。本文就針對(duì)有關(guān)模m剩余類(lèi)的教學(xué)方法作一些初步探究。

1 模m剩余類(lèi)

為了講清楚什么是模m剩余類(lèi)，需要給出一些預(yù)備知識(shí)。

定理1[1]：設(shè)R是A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，對(duì)a∈A，令：

[a]={xx∈A，xRa}

則A的子集族：

S={[a]a∈A}

是A的一個(gè)分類(lèi)。其中，[a]稱(chēng)為A的一個(gè)包含a的R等價(jià)類(lèi)，a稱(chēng)為代表。

定理2[2]：對(duì)任一整數(shù)a，b（b≠0），存在一對(duì)整數(shù)q和r滿足：

a=bq+r，0≤r

而這樣的q和r是唯一的。r稱(chēng)為a被b除的余數(shù)。

有關(guān)模m剩余類(lèi)定義的引入，我們采用以下方法。首先，設(shè)A=Z，

m∈N，令：

Rm={（a，b）a，b∈Z，ma-b}

由等價(jià)關(guān)系Rm的規(guī)定知：

[a]=[b]？圳ma-b

下面，我們用m分別與a，b作除法，由定理2知，存在q1，r1和q2，r2滿足：

a=mq1+r1，0≤r1

a=mq2+r2，0≤r2

當(dāng)r1>r2時(shí)，a-b=（q1-q2）m+（r1-r2），0

當(dāng)r1

由以上的討論可知，當(dāng)a與b分別與m作除法它們的余數(shù)相等時(shí)，就有[a]=[b]。我們把模m剩余類(lèi)組成的集族記為Zm，即：

Zm={[0]，[1]，[2]，...，[m-1]}

2 模m剩余類(lèi)作成的加群

在這一部分的教學(xué)中，我們首先要解釋一下，模m剩余類(lèi)加群是怎么構(gòu)造的，其次，還要重點(diǎn)說(shuō)明模m剩余類(lèi)加群中負(fù)元的求法。為了討論清楚模m剩余類(lèi)作成的加群，我們首先需要引入群的定義。

定義1[1]：設(shè)（G，0）是一個(gè)有單位元的半群，若G的每一個(gè)元素都是可逆元，則稱(chēng)G是一個(gè)群。

下面，我們通過(guò)例題來(lái)解釋一下模m剩余類(lèi)作成的加群。

例1：在Zm={[0]，[1]，[2]，...，[m-1]}中規(guī)定：

[a]+[b]=[a+b]，？坌a，b∈Z

則（Zm，+）作成加群。

針對(duì)上例等價(jià)類(lèi)[-a]中所含元素的特征，可作如下解釋?zhuān)涸O(shè)存在q1，r1滿足：

a=mq1+r1，0

所以：

-a=-mq1-r1=-（q+1）m+（m-r），0

這說(shuō)明，用m分別與a和-a作除法，它們的余數(shù)之和恰好等于m。

3 模m剩余類(lèi)作成的乘群

這一部分主要討論Zm中的元素滿足什么條件才能作成乘群。

定理3[1]：在Zm={[0]，[1]，[2]，...，[m-1]}中規(guī)定：

[a]·[b]=[ab]，？坌a，b∈Z

設(shè)[0]≠[a]∈Zm，則[a]是可逆元？圳（a，m）=1。

此定理說(shuō)明，Zm中的非零元素[a]是否為可逆元，取決于代表a和m是否互素，可以看出，當(dāng)m是素?cái)?shù)時(shí)，就能保證Zm中的非零元素都是可逆元，因此，利用Zm中所以的非零元素就可以作成群。比如：

例2：在Z7中，規(guī)定：

[a]·[b]=[ab]，？坌a，b∈Z

則所有非零元構(gòu)成的集合{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]}作成一個(gè)群。

證明：易知，集合{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]}按給定的代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)半群，[1]是單位元，并且在Z7中有下式：

[2]·[4]=[1]

[3]·[5]=[1]

[6]·[6]=[1]

成立。進(jìn)而[2]，[3]，[4]，[5]，[6]都是可逆元，因此命題得證。

而當(dāng)m是合數(shù)時(shí)，就不能保證Zm中的非零元素都是可逆元。看下例：

例3：在Z6中，以非零元構(gòu)成的集合{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，不能作成一個(gè)群。

證明：因?yàn)椋?/p>

[2]·[3]=[6]=[0]

而[0]不在{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}中，所以不能作成一個(gè)群。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要針對(duì)模m剩余類(lèi)的定義和模m剩余類(lèi)群的教授方法作了討論，并對(duì)模m剩余類(lèi)加群中的負(fù)元和模m剩余類(lèi)乘群中逆元的存在性與求法作了重點(diǎn)說(shuō)明。近幾年來(lái)，筆者按上述方法講解模m剩余類(lèi)群，學(xué)生反映，對(duì)模m剩余類(lèi)群理解的很透徹，在后面對(duì)環(huán)和域的學(xué)習(xí)中，再遇到與模m剩余類(lèi)有關(guān)的問(wèn)題，都感到簡(jiǎn)單易懂，不再恐懼了。當(dāng)然筆者還會(huì)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索更簡(jiǎn)單、直觀的授課方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)近世代數(shù)課程的學(xué)習(xí)興趣。

【參考文獻(xiàn)】

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[責(zé)任編輯：王楠]