□

雙曲線中的數(shù)學思想

□周奕生

數(shù)學思想在數(shù)學中無處不在，許多數(shù)學問題的解決離不開數(shù)學思想.

一、數(shù)形結合思想

例1點（a-1，y1）、（a＋1，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，若y1＜y2，則a的范圍是.

解析：顯然a-1＜a＋1，所以點（a-1，y1）在點（a＋1，y2）的左側.

若兩個點同在第一象限或同在第三象限，都有點y1＞y2，所以當y1＜y2時，只能是點（a-1，y1）在第三象限，點（a＋1，y2）在第一象限，故a-1＜0，且a＋1＞0，解得-1＜a＜1.

圖1

點評：數(shù)形結合思想的最大優(yōu)點是利用數(shù)的抽象性和圖形的直觀性，函數(shù)本身就是數(shù)形結合的最大平臺.

二、方程思想

例2如圖2，已知點A、C在反比例函數(shù)y＝（a＞0）的圖象上，點B、D在反比例函數(shù)y＝（b＜0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側，AB＝3，CD＝2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

圖2

解析：通過點A、B、C、D的坐標建立a、b的關系式后再求解.

由已知，點A、B、C、D的坐標取決于其中一點的坐標，不妨設C（1，a），

則由CD∥x軸，CD＝2，得點D（-1，a）.

由AB∥CD∥x軸，AB與CD的距離為5，得點A的縱坐標y＝a-5.

由AB∥x軸，AB＝3，

把①代入②，

整理，得-a＝a＋3（a-5），

解之，得a＝3，

所以b＝-3.

故a-b＝6.

點評：在等量關系下，如果幾個變量的大小相互制約，運用方程思想是解決問題的最佳方法.

三、分類討論思想

例3如圖3，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，點A是函數(shù)y＝（x＜0）圖象上一點，AO的延長線交函數(shù)y＝（x＞0，k是不等于0的常數(shù)）的圖象于點C，點A關于y軸的對稱點為A′，點C關于x軸的對稱點為C′，連接CC′，交x軸于點B，連結AB、AA′、A′C′，若△ABC的面積等于6，則由線段AC、CC′、C′A′、A′A所圍成的圖形的面積等于（）.

圖3

A.8B.10

C.3D.4

解析：由對稱性及圖形的直觀性，易知線段AC、CC′、C′A′、A′A所圍成的圖形的面積等于△OAA′的面積＋△OCC′的面積＝2△OAD的面積＋2△OBC的面積（D為AA′與y軸的交點，B為CC′與x軸的交點）.

因為點C在y＝圖象上，

故只需要再求k2的值即可.

連接OA′，由點A和點A′關于y軸對稱可得∠AOM＝∠A′OM.又因∠AOM＋∠BOC＝90°，∠A′OM＋∠A′OB＝90°，根據(jù)等角的余角相等可得∠BOC＝∠A′OB.又因點C與點C′關于x軸的對稱，所以點O、A′、C′三點在同一直線上.

因為點C在第一象限，m＜0.

當k＜0時，

當k＞0時，

所以k＝±3，k2＝9，

點評：當問題出現(xiàn)多種不同情形時，分類討論不僅能夠杜絕漏解現(xiàn)象的發(fā)生，而且可以降低問題解決的難度.