王康

(呂梁學(xué)院汾陽師范分校，山西汾陽 032200)

高一函數(shù)學(xué)習(xí)中的認(rèn)知障礙研究

王康

(呂梁學(xué)院汾陽師范分校，山西汾陽 032200)

從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度，研究分析了高一學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知障礙，主要有函數(shù)科學(xué)概念的認(rèn)知和知識遷移兩個方面。日常教學(xué)中要將教師的“導(dǎo)”與學(xué)生的“悟”有機(jī)結(jié)合，以促進(jìn)函數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)及相應(yīng)圖式的動態(tài)生成。

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu);高一函數(shù);認(rèn)知障礙

函數(shù)概念因其高度的抽象性成為高中生普遍感到最難把握的一個概念，也是老師普遍感到最難教的一個概念，而高一學(xué)生在經(jīng)歷了初中階段函數(shù)“變量說”之后，緊接著要從集合對應(yīng)的角度重新理解函數(shù)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)被重新定義，造成高一新生函數(shù)學(xué)習(xí)的不適應(yīng)，具體表現(xiàn)為課堂上聽講似懂非懂，課后做題錯誤率很高。

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是學(xué)生作為教學(xué)活動的主體，在教師的主導(dǎo)和指導(dǎo)之下，動態(tài)構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而不是在頭腦中進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的簡單堆砌?；诖?，我們從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)及其特征出發(fā)，具體分析研究高一學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)中的認(rèn)知障礙，以期從本質(zhì)上解決函數(shù)教學(xué)中存在的問題。

1 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)概念最早是由曹才翰先生提出的，其后的不少研究者結(jié)合自身理解提出了不同的表述，湖北大學(xué)劉斌老師在《數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)及其建構(gòu)》［1］一文中提出，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)既包含處于底層的數(shù)學(xué)、概念、定理等，又包含處于中間層次的數(shù)學(xué)方法和解題技巧，還有處于高層次的數(shù)學(xué)方法論和數(shù)學(xué)觀。同時，還是一個帶有能動性的、具有開放性的、立體多層次的、網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)。此外，根據(jù)皮亞杰關(guān)于一般認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)說，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)還具有整體性、轉(zhuǎn)換性和自我調(diào)整性。

2 函數(shù)認(rèn)知障礙

2．1 概念認(rèn)知的障礙

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性是指學(xué)習(xí)主體內(nèi)化相關(guān)概念、定理以及自身的理解成為一個有機(jī)整體，與原有的數(shù)學(xué)知識不斷溝通，使之同化在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)整體(“知識塊”)。初高中階段的函數(shù)概念是從兩個不同的角度分別描述的，高一學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知是建立在初中階段函數(shù)“變量說”之上的，同時還要理解函數(shù)概念中辯證的哲學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、其他函數(shù)概念，進(jìn)一步形成基于“對應(yīng)說”的新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)和哲學(xué)是兩個人類思維成就最高的領(lǐng)域，哲學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)思想豐富了哲學(xué)的觀點(diǎn)，二者之間緊密聯(lián)系，函數(shù)概念本身蘊(yùn)含著豐富而深刻的哲學(xué)思想。具體體現(xiàn)在如下幾個方面:第一，事物間聯(lián)系的普遍性，函數(shù)概念就是建立在大量現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)例之上，拋去個別非本質(zhì)的因素而留下共性的自變量、因變量、對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而抽象成一個數(shù)學(xué)模型，揭示變量間的相互依存關(guān)系和對應(yīng)關(guān)系，即但凡有聯(lián)系的兩個量，就很有可能存在某種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系不一定必須用函數(shù)解析式來表達(dá)，也可以使用圖形、表格、或?qū)?yīng)符號f等方式進(jìn)行表達(dá);第二，事物內(nèi)部的矛盾性，事物對立而又統(tǒng)一的矛盾雙方推動著事物的變化發(fā)展，對立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的根本規(guī)律，函數(shù)中數(shù)與形的對立統(tǒng)一，變量與常量的對立統(tǒng)一，特殊和一般的對立統(tǒng)一等均是培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維，多個方面不同角度更好的認(rèn)知函數(shù)概念本身;第三，事物發(fā)展的否定之否定推動著事物不斷完善和發(fā)展自己，否定之否定是唯物辯證法的基本規(guī)律之一，函數(shù)概念的產(chǎn)生和發(fā)展即是如此［2］，函數(shù)概念的發(fā)展從最初幾何觀念下的研究到變量說，再到后來的對應(yīng)說以及集合論觀點(diǎn)下的映射研究，推動著概念本身不斷完善，初高中學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知過程就是在這樣一種否定之否定的過程中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到不斷的完善和擴(kuò)充，例如，初中生看待y=1只是一個普通常量或是某方程的解，而高中生要從集合對應(yīng)的角度，它可以看做是一個多對一的函數(shù)，也可以是一次函數(shù)y=kx+b中系數(shù)k，b特殊化的結(jié)果。

然而，高一學(xué)生的思維發(fā)展水平尚處于一個關(guān)鍵的過渡時期，由具體形象思維水平逐步過渡到形式邏輯思維水平，并逐漸脫離對感性經(jīng)驗(yàn)的依賴，側(cè)重邏輯推導(dǎo)。高中階段在繼續(xù)完善形式邏輯思維的前提下，逐步發(fā)展抽象邏輯思維，唯物辯證的看待事物的發(fā)展變化［3］。

可見，根據(jù)高一學(xué)生現(xiàn)有的思維水平，要求他們辯證的看待函數(shù)概念中數(shù)與形的緊密聯(lián)系、變量與常量的對立統(tǒng)一、具體與抽象的相互轉(zhuǎn)化、初中不成熟的概念認(rèn)知等還為時尚早，需要在以后的學(xué)習(xí)中不斷體會。

2．2 知識遷移的障礙

前蘇聯(lián)著名的教育學(xué)家蘇霍姆林斯基曾說，教學(xué)是教給學(xué)生借助已有知識去獲取新知識的能力，并使學(xué)習(xí)成為一種探索活動。同時，學(xué)習(xí)也是一個連續(xù)的過程，新的學(xué)習(xí)總是建立在先前學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，新問題的解決總是受到先前問題解決的影響，這就是知識遷移，遷移是人類認(rèn)知的普遍特征，它廣泛存在于知識、技能與行為規(guī)范的學(xué)習(xí)中，貫穿于整個學(xué)習(xí)過程，是學(xué)習(xí)中最重要的現(xiàn)象之一，屬于教育心理學(xué)研究的范疇［4］。

首先，遷移的本質(zhì)是抽象的過程，越是抽象的知識，可遷移的范圍就越廣，學(xué)習(xí)遷移的跨度也越大，比如函數(shù)思想貫穿于整個高中數(shù)學(xué)階段，并延伸至大學(xué)階段;其次，遷移的基礎(chǔ)是聯(lián)系，只有有聯(lián)系的知識才能產(chǎn)生遷移，比如，函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程都可以用圖像聯(lián)系，從圖像上認(rèn)識這些問題，也是數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用;第三，遷移的實(shí)現(xiàn)是聯(lián)想，只有從問題聯(lián)想到已經(jīng)掌握的知識和技能，才能找到解決問題的策略。以下從兩個方面指出學(xué)生在知識遷移時的障礙對函數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的影響。

2．2．1 教學(xué)前概念和經(jīng)驗(yàn)

在日常生活和以往的學(xué)習(xí)(初中)中，學(xué)生對一些數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)象有了自己的看法和理解，這些看法和理解是新概念賴以建構(gòu)的基礎(chǔ)，我們稱之為教學(xué)前概念(Pre-instruction)［5］。還有，Duit (1994)把學(xué)生在教學(xué)新概念之前就已持有的概念稱為教學(xué)前概念，主要包括錯誤概念(Mis-Conception)和前概念(Pre-Conception)，錯誤概念是指學(xué)生在長期的學(xué)習(xí)中形成的對概念錯誤的理解，前概念是指源于先前學(xué)習(xí)中對科學(xué)概念的一些淺層次的認(rèn)識。

我們知道，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)分為兩個階段，初中階段函數(shù)的定義是建立在“某個變化過程中”的兩個變量，并且他們在變化過程中有一個顯性的關(guān)系式，而高中階段的函數(shù)定義是建立在“A，B兩個非空的數(shù)集”之間某種確定的對應(yīng)關(guān)系，即函數(shù)是兩個集合之間對應(yīng)關(guān)系，并且有時的對應(yīng)關(guān)系是隱性的，用f來表示，這樣就產(chǎn)生了認(rèn)識上的不一致，造成了函數(shù)抽象性的根源。另外，學(xué)生的思想認(rèn)識中基于初中函數(shù)概念的理解是淺顯的，有些甚至還是錯誤的。比如錯誤的以為函數(shù)就是變量y，y是經(jīng)過一個算式計算而來的，或者把函數(shù)理解為一個具體的算式，這樣的理解就把函數(shù)的三要素孤立的看待，是淺層次的認(rèn)識。此外，對于高中形式化、符號化的表達(dá)方式也不能正確認(rèn)識，如無法感受到f(x)=ax+b帶來計算和表述上的優(yōu)越感。此外，函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)之前，初中階段已經(jīng)對圖形的升降、對稱做過感性研究，有一定的認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)，高中階段是從科學(xué)理性的角度做深層次的定性研究。

正確看待教學(xué)前概念對高中函數(shù)學(xué)習(xí)的影響，促進(jìn)知識遷移，形成正確圖式。要求我們在日常教學(xué)中，要了解學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)教學(xué)前概念向科學(xué)概念的轉(zhuǎn)變;也可以根據(jù)學(xué)生先前形成的錯誤認(rèn)識引發(fā)認(rèn)知沖突，辨清分歧所在，轉(zhuǎn)變重組自己的已有觀念;注重函數(shù)諸多概念間的相互聯(lián)系，在概念形成的網(wǎng)絡(luò)中全面理解函數(shù)對應(yīng)說的本質(zhì)，重視概念生成的凝聚，加快函數(shù)概念從“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化。

2．2．2 概括加工水平及意識

學(xué)習(xí)遷移的概括說是早期遷移理論中非常經(jīng)典的理論之一，是美國心理學(xué)家賈德提出的，他認(rèn)為從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)到的原理是遷移發(fā)生的主要原因。學(xué)習(xí)者在前期學(xué)習(xí)A中所獲得的知識，之所以能夠遷移到后期的學(xué)習(xí)B中去，是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)A時獲得了一般原理C，這種原理C可以部分或全部運(yùn)用到A、B之中。遷移產(chǎn)生的關(guān)鍵是學(xué)習(xí)者在兩種學(xué)習(xí)中概括了他們的共同原理，這一理論可以形象地用下圖表示。

遷移概括說模型

對數(shù)學(xué)材料概括的幾種形式主要有強(qiáng)抽象概括模式、弱抽象概括模式、廣義抽象概括模式，所共同的心理過程有觀察、聯(lián)想、歸納、抽象、識別等，原理的概括過程即為思維的抽象過程，是一個構(gòu)建網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)的過程，促進(jìn)圖式的形成和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展。長期的教學(xué)實(shí)踐表明，掌握原理的學(xué)習(xí)比機(jī)械學(xué)習(xí)的效果好，掌握原理的同時又了解原理應(yīng)用的實(shí)際情境效果會更好。從近幾年高考試題可以看出，考查的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法，強(qiáng)調(diào)的是通性通法，淡化解題特殊技巧，避免題海戰(zhàn)術(shù)!例如，比較兩個數(shù)值的大小關(guān)系，應(yīng)該是抽象出一個函數(shù)通過單調(diào)性來討論之，此為站在理性思維的高度的通法。再如，函數(shù)的定義域問題關(guān)鍵是要找到與自變量x所處的位置，位置一樣即所對應(yīng)的范圍也一樣，因?yàn)檫\(yùn)算是函數(shù)的一個基本屬性，在解析式已知的情況下，y =與y=

3 結(jié)論

數(shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)生思維層次的提高體現(xiàn)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善，高一學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中面臨的所有問題可以歸結(jié)為兩個方面:第一，高一學(xué)生現(xiàn)有的思維發(fā)展水平和辯證的函數(shù)概念之間的矛盾構(gòu)成了概念學(xué)習(xí)、理解、甚至于應(yīng)用的一切障礙;第二，解題者對數(shù)學(xué)問題的抽象和方法的歸納總結(jié)，能否從一般原理的角度認(rèn)識看待函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)知識的正遷移。

我們要清醒的認(rèn)識到學(xué)生掌握函數(shù)的科學(xué)概念絕非一朝一夕可以一蹴而就的，日常教學(xué)應(yīng)該遵循中學(xué)生思維發(fā)展的客觀規(guī)律，學(xué)生理解函數(shù)概念是需要反復(fù)多次的，其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立亦是一個螺旋上升、動態(tài)生成的過程，而對于學(xué)生思想中的錯誤認(rèn)識，可以采用過度延伸策略，引發(fā)認(rèn)知沖突，重組自己的已有觀念，促使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同化和順應(yīng);其次，解題教學(xué)中教師應(yīng)注重思想方法、通性通法的介紹，注重知識間的前后聯(lián)系，避免題海戰(zhàn)術(shù)，如:方程x2=x0，|x|=x0，sinx=x0的根為什么都是兩個且具有某種對稱關(guān)系?不等式的基本性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性之間的有何聯(lián)系等等。總之，將教師的“導(dǎo)引”與學(xué)生的“感悟”有機(jī)結(jié)合。循序漸進(jìn)的理解函數(shù)概念的二重性，促進(jìn)函數(shù)概念從“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)變。

［1］劉斌．?dāng)?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)及其建構(gòu)［J］．湖北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，1997，19(3)．

［2］王康．高一數(shù)學(xué)函數(shù)抽象性教學(xué)研究［D］．山西:山西師范大學(xué)，2014．

［3］朱文芳．函數(shù)概念學(xué)習(xí)的心理分析［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，1999，11，8(4)．

［4］吳慶麟．認(rèn)知教學(xué)心理學(xué)［M］．上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，2000:209-233．

［5］周友士．基于建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，8，13(3)．

［責(zé)任編輯:陳業(yè)強(qiáng)］

Analysis of the cognitive barriers instudying function for the first grade of senior high

WANG Kang

(Fenyang Teachers’School Branch，Lvliang University，F(xiàn)enyang，Shanxi，032200)

From the perspective of cognitive structural development，this paper analyzes the cognitive barriers in studying function for the first grade of senior high，which include the cognition of the concept of function and knowledge transference．The study suggests that teachers’“guidance”and students’“understanding”should be combined properly in the daily teachingto promote the cognitive structure of function and the dynamic generation of the corresponding schema．

Cognitive structure in mathematics;Function for the first grade ofsenior high students;Cognitive barrier

G633．6

A

1674-7798(2016)09-0082-03

10.13391/j.cnki.issn.1674-7798.2016.09.017

2016-08-29

王 康(1982-)，男，山西芮城人，講師，教育碩士，研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)。