趙克勝+倪桂強(qiáng)+羅健欣

DOI：10.16644/j.cnki.cn33-1094/tp.2016.02.010

摘 ?要： 為提高高度場(chǎng)渲染的真實(shí)感，增加視覺(jué)觀察的準(zhǔn)確性，提出了使用球諧光照渲染高度場(chǎng)的方法。使用OpenGL圖形接口進(jìn)行實(shí)驗(yàn)程序開(kāi)發(fā)，采用Puget Sound高度圖作為原始數(shù)據(jù)，利用對(duì)比實(shí)驗(yàn)說(shuō)明球諧光照在高度場(chǎng)渲染中對(duì)渲染效果、渲染效率的提升。對(duì)比結(jié)果表明，將球諧光照用于高度場(chǎng)渲染可以有效增強(qiáng)高度場(chǎng)真實(shí)感。

關(guān)鍵詞： 高度場(chǎng)渲染; 球諧光照; 蒙特卡洛積分; 關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391.41 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1006-8228（2016）02-33-05

Terrains rendering with spherical harmonic lighting

Zhao Kesheng， Ni Guiqiang， Luo Jianxin

（Laboratory of Military Network Technology， PLA University of Science and Technology， Nanjing， Jiangsu 21007， China）

Abstract： In order to improve the sense of reality of terrains rendering and the accuracy of visual observation， a method of rendering terrains with spherical harmonic lighting is proposed. In the experiment， the OpenGL graphics interface is used as the development environment and the Puget Sound terrains as the raw data. The advantage of terrains rendering with spherical harmonic lighting in rendering quality and efficiency is described by the comparative experiment. The result shows that spherical harmonic lighting can improve the rendering quality of terrains rendering.

Key words： terrains rendering; spherical harmonic lighting; Monte-Carlo integration; associated Legendre polynomials

0 引言

近年來(lái)球諧（Spherical Harmonic）在光照、BRDF、形狀識(shí)別等計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域內(nèi)被廣泛使用[1]。球諧光照[2-5]是利用球諧計(jì)算3D模型上光照的技術(shù)，它可以實(shí)時(shí)地渲染出全局光照模式的圖像[6]。相對(duì)于光線追蹤[7]、輻射度算法[8]等光照技術(shù)，球諧光照具有渲染效果好、實(shí)時(shí)性強(qiáng)、代碼易編寫(xiě)等優(yōu)點(diǎn)。

高度場(chǎng)渲染在模擬飛行、虛擬戰(zhàn)場(chǎng)三維游戲等領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用[9]。通過(guò)對(duì)高度場(chǎng)場(chǎng)景模型加入光照效果將會(huì)大大增強(qiáng)結(jié)果圖像的真實(shí)感[10]，為交互可視化和視覺(jué)觀察提供很大的便利。由于高度場(chǎng)本質(zhì)上也是3D模型，所以本文研究了將球諧光照應(yīng)用于高度場(chǎng)渲染，并對(duì)其優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了分析。

1 球諧光照

1.1 光照計(jì)算

圖1所示為自然界中的某個(gè)光照?qǐng)鼍埃饩€自左側(cè)傳播至x處，經(jīng)物體反射至x'處。此時(shí)觀察者于x'觀察到的x點(diǎn)的顏色由兩部分組成：一部分為x點(diǎn)本身發(fā)射出的沿xx'方向的光的顏色，另一部分為入射光線于x處經(jīng)物體反射至x'處的光的顏色。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，模擬這種物理現(xiàn)象的公式稱(chēng)為渲染方程[11]：

式⑴

其中是觀察者在方向看到的x點(diǎn)的顏色。是物體在x點(diǎn)沿著方向自身發(fā)射的光的顏色。將沿的入射光顏色轉(zhuǎn)化為沿方向的反射光顏色。L（x'，）是從x'點(diǎn)發(fā)射沿方向的入射光，G（x，x'）是x與x'的幾何關(guān)系。V（x，x'）是x點(diǎn)對(duì)x'點(diǎn)的可見(jiàn)測(cè)試。

<E：＼方正創(chuàng)藝5.1＼Fit201601＼圖＼zks圖1.tif>

圖1 ?自然界中的光照?qǐng)鼍?/p>

可以看出，使用圖形硬件來(lái)計(jì)算的難點(diǎn)在于，渲染公式中存在一個(gè)球上的積分，計(jì)算基于符號(hào)的積分在GPU中很難完成。為了能快速地得到結(jié)果，人們使用了一個(gè)近似的解法，這個(gè)方法就是球諧投影與重建。球諧投影與重建的原理是，使用球諧函數(shù)求原函數(shù)的近似解。球諧函數(shù)是一類(lèi)擁有特殊性質(zhì)的基函數(shù)。

1.2 基函數(shù)

基函數(shù)是用來(lái)求解原函數(shù)近似解的一系列函數(shù)。利用基函數(shù)求原函數(shù)近似解的過(guò)程如下：

首先在原函數(shù)的定義域上積分原函數(shù)f（x）i與基函數(shù)Bi（x）的乘積，得到一系列的近似系數(shù)Ci，如圖2。

然后用系數(shù)Ci乘以各自對(duì)應(yīng)的基函數(shù)Bi（x），如圖3。

最后將乘積結(jié)果累加，得到原函數(shù)的近似結(jié)果，如圖4。

1.3 關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式

球諧函數(shù)的核心部分是關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式，關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式是標(biāo)準(zhǔn)正交多項(xiàng)式的一族。標(biāo)準(zhǔn)正交多項(xiàng)式是擁有以下的性質(zhì)的一組基函數(shù)：積分任何兩個(gè)正交基函數(shù)的積時(shí)，如果它們相同，結(jié)果為1，如果它們不同，結(jié)果為0即：

式⑵

關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式通常使用符號(hào)P表示，關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式有兩個(gè)參數(shù)：l和m。l的定義域?yàn)閺?開(kāi)始的整數(shù)，m的定義域?yàn)?到l的整數(shù)。系數(shù)l和m把關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式分成了不同的階，l是階的索引，同一階內(nèi)的多項(xiàng)式正交于同一個(gè)常數(shù)，不同階內(nèi)的多項(xiàng)式正交于不同的常數(shù)。這種關(guān)系可以用如圖5中的三角網(wǎng)格來(lái)表示：

圖5 ?三角網(wǎng)格

我們使用遞歸定義來(lái)求解給定參數(shù)的關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式，這個(gè)過(guò)程需要用到下面三個(gè)公式。

式⑶

首先使用這個(gè)式子和給定的m求解出，注意x?。殡p階乘運(yùn)算，其結(jié)果為所有小于等于x并與x有相同奇偶性的整數(shù)的乘積，例如5！！=5*3*1=15。如果此時(shí)l=m，就終止程序，如果l≠m則使用公式⑶來(lái)求：

式⑷

上一步由公式⑵求得的代入此式，即可求得。此式只使用一次，若此時(shí)m+1=l，則終止程序，如果m+1≠1則使用公式4遞歸求解：

式⑸

1.4 球諧函數(shù)

在球面上，我們使用球諧函數(shù)來(lái)求原函數(shù)的近似解。與關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式相似，球諧函數(shù)也擁有兩個(gè)參數(shù)l和m。l將球諧函數(shù)分為了不同的階，它的取值范圍從0開(kāi)始的整數(shù)，與關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式不同的是球諧函數(shù)的參數(shù)m的取值范圍為-l到l的整數(shù)。球諧函數(shù)通常用符號(hào)y來(lái)表示，它的定義如下：

式⑹

P為關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式，K是比例因子：

式⑺

定義順序yi如下：

式⑻

1.5 球諧投影

觀察渲染方程發(fā)現(xiàn)，G（x，x'）和V（x，x'）均為常數(shù)，則渲染方程中積分的實(shí)際形式為，它的求解過(guò)程如下。使用球諧函數(shù)來(lái)近似L（s）和t（s），方法與使用基函數(shù)求原函數(shù)近似的過(guò)程相同。

用和來(lái)代替L（s）和t（s）：

展開(kāi)：

繼續(xù)展開(kāi)：

由于球諧函數(shù)是正交多項(xiàng)式的子族，所以擁有以下性質(zhì)：

故有：

其中：

求解這兩個(gè)定積分的方法是蒙特卡洛積分。

1.6 蒙特卡洛積分

在實(shí)際中，許多需要計(jì)算多重積分的復(fù)雜問(wèn)題，使用蒙特卡洛積分[12-14]都能有效地解決。它的推導(dǎo)過(guò)程如下。

已知函數(shù)f（x）的期望等于函數(shù)本身f（x）與它的概率密度函數(shù)p（x）的乘積在函數(shù)f（x）定義域上的積：

另一個(gè)計(jì)算函數(shù)期望的方法是，取大量的函數(shù)隨機(jī)采樣的平均值，若采樣數(shù)趨于無(wú)窮大，則最終結(jié)果收斂于函數(shù)期望：

所以，由此可推得：

將上式兩側(cè)都除以p（x），得到蒙特卡洛積分：

式⑼

通過(guò)這種轉(zhuǎn)換，一個(gè)函數(shù)的積分運(yùn)算就轉(zhuǎn)化成了四則運(yùn)算，在計(jì)算機(jī)中可以方便地求得結(jié)果。

運(yùn)用蒙特卡洛積分方法求解1.5節(jié)中的積分得：

由于渲染方程需要解決的是一個(gè)球面上的積分，所以利用蒙特卡洛積分求解渲染方程時(shí)需要在整個(gè)球面上隨機(jī)采樣離散分布的點(diǎn)。可以采用某種策略先得到2D的采樣點(diǎn)，然后將其映射到球面空間上。映射的公式如下：

式⑽

如圖6所示，類(lèi)似于將平面的世界地圖貼到地球儀上，為了保證映射后的采樣點(diǎn)隨機(jī)且均勻，需要注意到采樣點(diǎn)在2D坐標(biāo)下的分布規(guī)律為沿兩極向赤道越來(lái)越密集。具體的采樣方法是創(chuàng)建一個(gè)1*1的采樣空間，劃分成N*N的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)取一個(gè)坐標(biāo)，用公式⑽將其轉(zhuǎn)化為球坐標(biāo)，再利用公式⑸求得每個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的球諧函數(shù)值。

因?yàn)槭窃趩挝磺蛏暇鶆蚍植嫉牟蓸狱c(diǎn)，所以。因此有：

這樣利用球諧投影與重建求解3D模型上某一點(diǎn)經(jīng)過(guò)光照后顏色的整個(gè)過(guò)程就結(jié)束了。

2 利用球諧渲染高度場(chǎng)

2.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

實(shí)驗(yàn)硬件平臺(tái)為Intel（R） Core（TM） i5-4460 CPU @ 3.20GHz、8GB內(nèi)存，Radeon X1300/X1550 Seris顯卡的PC，采用VC++作為開(kāi)發(fā)語(yǔ)言，VS2012作為開(kāi)發(fā)平臺(tái)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源于Puget Sound數(shù)據(jù)集，為1025*1025分辨率的原始高程數(shù)據(jù)。

2.2 同一四叉樹(shù)映射

高度場(chǎng)渲染常用四叉樹(shù)作為數(shù)據(jù)管理方式。現(xiàn)有的四叉樹(shù)結(jié)構(gòu)渲染節(jié)點(diǎn)的過(guò)程需要對(duì)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的網(wǎng)格進(jìn)行簡(jiǎn)化并將簡(jiǎn)化后的網(wǎng)格發(fā)送到GPU上。由于四叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的網(wǎng)格三角形數(shù)目巨大，所以這一過(guò)程往往會(huì)限制渲染效率。

通過(guò)采用同一四叉樹(shù)映射[15]的方法可以有效提高渲染效率。同一四叉樹(shù)映射基于GPU支持頂點(diǎn)可編程性、強(qiáng)大的處理能力等特點(diǎn)。將統(tǒng)一的均勻網(wǎng)格駐留在GPU中，在渲染四叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)時(shí)，通過(guò)簡(jiǎn)單的頂點(diǎn)著色將網(wǎng)格頂點(diǎn)移動(dòng)到指定位置進(jìn)行渲染。這樣做雖然增加了三角形數(shù)量，但是因?yàn)橥耆珌G棄了網(wǎng)格簡(jiǎn)化及將網(wǎng)格數(shù)據(jù)發(fā)送到GPU中的過(guò)程，所以反而提高了渲染效率。

2.3 渲染結(jié)果

圖7為無(wú)陰影的球諧光照渲染的高度場(chǎng)圖片，圖8為相同渲染場(chǎng)景的對(duì)比實(shí)驗(yàn)效果。對(duì)比畫(huà)框處，球諧光照的陰影效果更好，更易于分辨地形的起伏變化。

圖9為球諧光照渲染的高度場(chǎng)的平視圖，圖10為相同場(chǎng)景的對(duì)比實(shí)驗(yàn)效果。對(duì)比畫(huà)框處，球諧光照背光處的立體感很真實(shí)，視覺(jué)觀察的準(zhǔn)確性更高。

圖11為球諧光照渲染的草地場(chǎng)景，圖12為相同渲染場(chǎng)景的對(duì)比實(shí)驗(yàn)效果?？梢钥闯?，球諧光照把草地陰影的效果渲染得很好。

3 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，將球諧光照用于高度場(chǎng)的渲染能有效提升高度場(chǎng)圖片的真實(shí)感，為使用者的視覺(jué)觀察與可視化交互增加準(zhǔn)確性。球諧光照用于高度場(chǎng)的缺點(diǎn)在于，球諧光照的預(yù)處理時(shí)間隨著網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的增長(zhǎng)呈O（n2）的增長(zhǎng)趨勢(shì)，所以，如何有效簡(jiǎn)化網(wǎng)格成為下一步研究的重點(diǎn)。

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