程 華

（咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下文簡稱“新課標(biāo)”）中又重新提出了“運(yùn)算能力”，并成為十個(gè)核心概念之一，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)促進(jìn)學(xué)生積極地思考，能否更有效地促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，也已經(jīng)成為評(píng)判數(shù)學(xué)課成功與否的重要標(biāo)準(zhǔn)。[1]小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué)地位舉足重輕，那么，這些理念與要求，轉(zhuǎn)化、體現(xiàn)在具體的計(jì)算教學(xué)當(dāng)中，一線教師存在哪些問題？學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于變化，在看似平淡的計(jì)算學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該發(fā)生哪些變化？本文結(jié)合“國培”等培訓(xùn)中對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的調(diào)研，對(duì)此進(jìn)行分析和探討。

一、小學(xué)計(jì)算教學(xué)中一些突出的問題及其分析

小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)總課時(shí)大約1000課時(shí)，計(jì)算教學(xué)授課時(shí)數(shù)大約700課時(shí)，第一學(xué)段一至三年級(jí)，計(jì)算授課的節(jié)數(shù)約占據(jù)課時(shí)80%之多。然而，調(diào)研中我們深切感受到，教師在計(jì)算教學(xué)的理解以及實(shí)施上，還存在一些問題。

1.對(duì)“運(yùn)算能力”理解存在偏差，計(jì)算教學(xué)的思維價(jià)值發(fā)揮不夠充分

調(diào)研中我們發(fā)現(xiàn)，一些教師對(duì)“運(yùn)算能力”理解片面，將“運(yùn)算能力”等同于運(yùn)算技能。具體表現(xiàn)為：把提高學(xué)生“運(yùn)算能力”簡單化為算得快、算得準(zhǔn)，精力主要放在大量的程序化訓(xùn)練上。比如，講授計(jì)算規(guī)則后，讓學(xué)生反復(fù)操練，要求100以內(nèi)的加減法等簡便運(yùn)算達(dá)到“脫口而出”的自動(dòng)化程度；對(duì)計(jì)算準(zhǔn)確率過分強(qiáng)調(diào)，一些學(xué)生為保險(xiǎn)便一律列豎式運(yùn)算，不注重整體分析；重視運(yùn)算法則的記憶，卻在運(yùn)算意義的了解以及算理、算法的理解上節(jié)省時(shí)間，重“算法”而輕“算理”。

【教學(xué)片段1】《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》

教師由現(xiàn)實(shí)情境導(dǎo)入，列出算式“24×12”。教師引導(dǎo)學(xué)生基本理解了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理，并初步掌握了列豎式的計(jì)算方法。

布置拓展題：計(jì)算下列各式，并觀察你得到的結(jié)果，比較各個(gè)算式與其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？12×11= 13×11= 15×11= 45×11= 63×11=

在下課鈴響之前的半分鐘還沒有成形的結(jié)果，教師很無奈地告訴學(xué)生，“大家仔細(xì)看，一個(gè)兩位數(shù)乘11，乘積就是將那個(gè)數(shù)‘兩邊一拉，中間一加’，現(xiàn)在你們知道了嗎？記住這是一種快速巧算的方法”。[2]

案例中，教師更看重巧算的方法，卻沒有突出計(jì)算中歸納的思維，而這類現(xiàn)象絕非個(gè)別。這種過于重視結(jié)果的教學(xué)，會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生怎樣的影響呢？蔡金法曾對(duì)小學(xué)六年級(jí)的中美學(xué)生用計(jì)算題、簡單問題、過程受限的復(fù)雜問題、過程開放的復(fù)雜問題進(jìn)行測試，結(jié)果顯示：中國學(xué)生在計(jì)算題與簡單問題解決方面占絕對(duì)優(yōu)勢，但在復(fù)雜問題解決上卻并沒有體現(xiàn)出優(yōu)勢。研究表明：具備良好的雙基并不一定自動(dòng)轉(zhuǎn)化為解決問題尤其是解決非常規(guī)、開放復(fù)雜問題的能力。[3]用過多的練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生精準(zhǔn)計(jì)算的能力，會(huì)使學(xué)生急于完成作業(yè)，無暇反思思維。有關(guān)研究也顯示：“如果一個(gè)人能很好地用數(shù)量方式思維，就需要一個(gè)基本意義，而不是無數(shù)個(gè)自動(dòng)反應(yīng)，操作并不發(fā)展意義，重復(fù)并不引起理解?！盵4]學(xué)會(huì)計(jì)算應(yīng)該是能用數(shù)量的方式思維，對(duì)習(xí)題快速反應(yīng)，不一定說明已達(dá)到更高水平的理解。

新課標(biāo)中明確指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。”也就是說，“運(yùn)算能力”有三方面，“正確地運(yùn)算”只是其一，還應(yīng)有“理解運(yùn)算的算理”，能夠根據(jù)條件“尋求”到“合理簡潔”的“運(yùn)算途徑”。教師對(duì)“運(yùn)算能力”認(rèn)識(shí)偏差，數(shù)學(xué)考試中計(jì)算結(jié)果又影響太大，致使教師雙基過度，這直接反映到計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)設(shè)定、教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施以及對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)上，計(jì)算教學(xué)的思維價(jià)值沒能得到充分發(fā)揮。

2.算法多樣化成為算法自由，影響了技能目標(biāo)的達(dá)成

隨著新課程改革的推進(jìn)，很多教師已經(jīng)認(rèn)識(shí)到快速、準(zhǔn)確地計(jì)算不應(yīng)是計(jì)算教學(xué)的唯一目標(biāo)，教學(xué)中“自主嘗試—小組交流—全班反饋”，算法多樣化與算法優(yōu)化也呈現(xiàn)常態(tài)化。然而，我們發(fā)現(xiàn)實(shí)施的效果并不盡如人意。

比如，課堂上教師啟發(fā)：“還有不同方法嗎？”“你是怎么想的？”教師組織學(xué)生交流，不斷詢問：“誰能把你的方法說一下？”“為什么？”“你真行！”鼓勵(lì)學(xué)生展示自己的思維過程。但是，隨后訪談中我們卻看到，一些學(xué)生只知道自己的辦法，并不清楚其他同學(xué)的，掌握多種方法的學(xué)生并不多；有時(shí)課堂活躍、方法多樣，但是測試結(jié)果卻錯(cuò)誤頻頻。算法多樣成了算法自由，學(xué)生技能目標(biāo)達(dá)成不理想。

實(shí)施“算法多樣化”并不必然發(fā)展學(xué)生的思維，原因何在？我們發(fā)現(xiàn)效率不高的課堂往往具有以下特點(diǎn)：其一，教學(xué)中缺失引導(dǎo)學(xué)生相互溝通的語言；其二，板書中未能整理多種方法，及時(shí)總結(jié)計(jì)算法則；其三，教師沒有引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化各種方法，有的多樣化算法缺乏遷移價(jià)值，反而沖淡了好的方法，等等?？傊?，在尊重學(xué)生與對(duì)多樣化算法的歸納提升上、在算法多樣與算法優(yōu)化的平衡等方面，還存在不足。

3.重計(jì)算而對(duì)計(jì)算中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)推理突出不足

長期以來，小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算往往被認(rèn)為主要是算，推理則屬于高級(jí)形式的心智活動(dòng)，一些教師對(duì)計(jì)算中蘊(yùn)含的推理認(rèn)識(shí)與重視不夠。事實(shí)上，計(jì)算與推理相通。新課標(biāo)中提倡“算法優(yōu)化”，強(qiáng)調(diào)“運(yùn)算能力”還包含能夠根據(jù)條件“尋求”到“合理簡潔”的“運(yùn)算途徑”，要“尋求”到“合理簡潔”，必須依賴推理觀察和導(dǎo)向。因此，提高學(xué)生運(yùn)算能力，不可能離開推理，即使小學(xué)計(jì)算也必須重視推理。

例如，“已知正方形的面積是5平方分米，求這個(gè)正方形的內(nèi)切圓面積”。學(xué)生如果按思維定式，就會(huì)認(rèn)為求圓的面積需要先求R，但是開方?jīng)]學(xué)過，解題受阻。實(shí)際上，已知（2R）2=5，求πR2=？經(jīng)推理就可知如果學(xué)生缺少或者不善于用整體思維推理，就表現(xiàn)出運(yùn)算能力不強(qiáng)。

【教學(xué)片斷2】

師：23×11= 35×11= 46×11=

生：（列豎式運(yùn)算）可以先用兩位數(shù)乘10，再加上這個(gè)數(shù)。

師：16×22= 21×33= 13×44= 12×66=

（學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，又列豎式運(yùn)算）

師：這幾道題和上面這些題是有聯(lián)系的，這些題都可以轉(zhuǎn)化為乘11，然后照規(guī)律去做。

16×22=16×2×11=32×11，21×33=21×3×11=63×11……

生：這么麻煩，還不如豎式運(yùn)算呢。

案例中，豎式運(yùn)算方法是自動(dòng)的操作程序，而推理、轉(zhuǎn)化的方法對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)更有價(jià)值。這里，為什么學(xué)生要具體算，卻沒想到借助題目的相關(guān)性解決？可能與其對(duì)計(jì)算的認(rèn)識(shí)有關(guān)。如果學(xué)生認(rèn)為，計(jì)算就是按照教的法則做題，自然就按部就班地運(yùn)算，注意不到其內(nèi)部的聯(lián)系。所以，如果學(xué)生的模仿練習(xí)過多，忽視其中蘊(yùn)含的推理，就容易導(dǎo)致學(xué)生不習(xí)慣寓理于算，不能有意將計(jì)算轉(zhuǎn)為推理。

案例中我們也注意到，學(xué)生要獲取“正確”的算法往往不難，但是，要迅速判斷方法是否“合理簡潔”并不容易。幫助學(xué)生快速“尋求”并確定出“合理”“簡潔”的方法，操作層面上教師該如何“做”，的確需要在實(shí)踐中的摸索。

二、教學(xué)建議

基于上述分析不難得出，小學(xué)計(jì)算教學(xué)既有關(guān)知識(shí)、技能，又包含思維、方法以及學(xué)習(xí)的習(xí)慣。小學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算的過程，也是發(fā)生變化的過程。對(duì)此我們提出幾點(diǎn)建議。

1.實(shí)施算法多樣化和算法優(yōu)化要重視實(shí)效

新課標(biāo)中關(guān)于算法多樣化和算法優(yōu)化的教學(xué)建議是：“教師不要急于評(píng)價(jià)各種算法，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過比較各種算法的特點(diǎn)，選擇適合于自己的方法?！奔刺岢脤W(xué)生喜歡的方法，但教師仍有責(zé)任給學(xué)生推薦好的方法，而好的方法應(yīng)當(dāng)是師生交流的結(jié)果。可見，實(shí)施效果，取決于教師能否處理好教師指導(dǎo)與學(xué)生自主、個(gè)體最優(yōu)化與群體多樣化之間的關(guān)系。

首先，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生溝通，在與同學(xué)方法的比較中選擇合理、簡便的辦法。比如，教師啟發(fā)：“與他的方法相同或差不多的還有嗎？”“誰聽懂了？你能解釋嗎？”“你的方法與他的不同在哪兒？”這樣介入，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)思考、傾聽和認(rèn)同，體會(huì)不同方法的價(jià)值。

其次，算法的優(yōu)化要與通法兼顧。算法優(yōu)化的前提是教師對(duì)何謂好方法要有深入的認(rèn)識(shí)。教師很容易以計(jì)算速度評(píng)判最優(yōu)解，比如“雞兔同籠”的一些巧算法。其實(shí)，對(duì)方法的評(píng)價(jià)是多維的，從心理學(xué)維度看，為多數(shù)學(xué)生喜歡；從教育學(xué)維度看，教師易教、學(xué)生易學(xué)；從學(xué)科維度看，要對(duì)后續(xù)知識(shí)掌握有價(jià)值。顯然，“雞兔同籠”中的試算法，雖然不是快的方法，甚至被認(rèn)為是笨的辦法，但其實(shí)是個(gè)好方法。試算這類通法，有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，列出通常算式，更具一般性，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)更有價(jià)值。

最后，要妥善處理思維訓(xùn)練與技能提高的關(guān)系。限時(shí)的課堂里，實(shí)施算法多樣與優(yōu)化，必須對(duì)投入時(shí)間做合理分配。新課標(biāo)在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào)：“基本技能的形成，需要一定量的訓(xùn)練，但要適度，不能依賴機(jī)械地重復(fù)操作，要注重訓(xùn)練的實(shí)效性……?！被A(chǔ)訓(xùn)練是必要的，只是要適度。這就要求教師善于設(shè)計(jì)針對(duì)性強(qiáng)的專項(xiàng)練習(xí)，以獲取思維與技能雙方最大的收益，但是怎么做才是“適度”的？迫切需要一線教師能做量化的研究。

2.在教計(jì)算中重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算雖然在內(nèi)容上是基礎(chǔ)的，但同樣蘊(yùn)含著豐富深刻的數(shù)學(xué)思想和方法。能否教出其中的思想，使學(xué)生思維真正得到發(fā)展，是衡量計(jì)算教學(xué)重要的指標(biāo)。

（1）注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的滲透

掌握有遷移價(jià)值的策略性知識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目的，小學(xué)階段主要的數(shù)學(xué)思想有化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、對(duì)應(yīng)思想等，在計(jì)算教學(xué)中也多有蘊(yùn)含。

一是在計(jì)算原理、法則教學(xué)過程中滲透。以“化歸”為例，在新知轉(zhuǎn)化為舊知中讓學(xué)生感悟化歸思想。例如，在《除數(shù)是小數(shù)的除法》中，學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)是除數(shù)為整數(shù)的除法計(jì)算法則，除數(shù)是小數(shù)的除法時(shí)，怎么辦？使學(xué)生意識(shí)到：除數(shù)需要由小數(shù)變?yōu)檎麛?shù)。怎么實(shí)現(xiàn)？這種轉(zhuǎn)化又不能改變除法算式的結(jié)果，自然想到要用商不變的規(guī)律，把除數(shù)是小數(shù)的除法“轉(zhuǎn)化”為除數(shù)是整數(shù)的除法。其間，學(xué)生就經(jīng)歷了有序的思維，獲得策略性經(jīng)驗(yàn)，即：未知的能轉(zhuǎn)化為已知的，復(fù)雜的需轉(zhuǎn)化為簡單的，這就是化歸。又如，三角形兩邊之和大于第三邊，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間直線段最短”，平行四邊形面積轉(zhuǎn)化為矩形面積等，都能滲透化歸思想。

二是用計(jì)算方法的合理、簡潔感受數(shù)學(xué)思想。一些運(yùn)算方法本質(zhì)上是思想方法的選擇與運(yùn)用。比如，未學(xué)過0乘任何數(shù)規(guī)律的學(xué)生，計(jì)算0×9時(shí)用9個(gè)0相加，就是運(yùn)用了化歸思想。小學(xué)數(shù)學(xué)基本是數(shù)量關(guān)系和空間形式，而數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何又分屬不同的板塊，計(jì)算教學(xué)也是溝通數(shù)與形的渠道。例如，計(jì)算：構(gòu)造單位正方形表示面積為1，解釋為單位正方形面積的一半，為面積一半的一半等，由圖形就能看出答案。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想甚至小學(xué)生都能證明：已知a+a1=b+b1=c+c1=k，a、a1、b、b1、c、c1、k為正數(shù)，求證：a·b1+b·c1+c·a1=k2。構(gòu)造邊長為k的正方形，則a·b1、b·c1、c·a1是其內(nèi)部的三個(gè)矩形面積，局部面積之和小于整體，一目了然，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想的力量。

（2）計(jì)算與推理結(jié)合發(fā)展學(xué)生推理能力

學(xué)生的運(yùn)算能力與諸多數(shù)學(xué)能力相互聯(lián)系、相互促進(jìn)，而抽象能力、推理能力和建立模型能力又被認(rèn)為是所有數(shù)學(xué)能力的核心，“推理是抽象的計(jì)算，計(jì)算是具體的推理，圖形是推理和計(jì)算直觀的模型”[5]。計(jì)算與推理相結(jié)合，在學(xué)計(jì)算中可感受推理、發(fā)展推理能力。

在計(jì)算中學(xué)習(xí)推理有很多途徑，一是使學(xué)生明確計(jì)算也是推理的手段。比如，比較兩個(gè)數(shù)大小時(shí)，可以用計(jì)算差值實(shí)現(xiàn)。再如，“假設(shè)有一根很長的繩子，比地球赤道長10米，用它去圍住赤道后，它與赤道之間的縫隙可以放進(jìn)一個(gè)大的拳頭嗎？”將問題特殊化，繩子和地球赤道為同心圓時(shí)，由2π（R2-R）=10，有R2-R=1.6，用計(jì)算便推知答案。二是讓學(xué)生感受計(jì)算不能離開推理。教師可選用一些問題，促使學(xué)生從算到想，從機(jī)械程序到思考推理。另外，在運(yùn)算中強(qiáng)調(diào)步驟與依據(jù)的結(jié)合，意識(shí)到“數(shù)學(xué)地記憶”也離不開推理。三是從算理、法則學(xué)習(xí)中感受類比、歸納等推理方法。比如，在掌握整數(shù)運(yùn)算法則背景下，類比學(xué)習(xí)小數(shù)運(yùn)算法則，在加法運(yùn)算律基礎(chǔ)上，類比學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算律，等等。

【案例】

（ ）×（ ）=1728

A.42×47 B.28×816 C.36×48 D.36×68

選用類似問題，可以打破學(xué)生按程序運(yùn)算的慣性。學(xué)生依據(jù)乘積的尾數(shù)可以排除A，依據(jù)乘積的位數(shù)排除B，依據(jù)乘積的前兩位排除D，最后選擇C。引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)計(jì)算和推理的關(guān)系，在計(jì)算中發(fā)展推理意識(shí)，又將推理運(yùn)用于計(jì)算。

（3）孕育和滲透代數(shù)思維

從算術(shù)思維向代數(shù)思維的跨越，是小學(xué)生認(rèn)識(shí)上的難點(diǎn)，往往需要較長的過程。算術(shù)關(guān)注的是算理、算法和運(yùn)算結(jié)果，而代數(shù)關(guān)注的是數(shù)量關(guān)系的一般化、概括化，對(duì)代數(shù)式的理解和解釋，及其運(yùn)算和變換等，算術(shù)思維是以數(shù)（常量）及其運(yùn)算與拆合為對(duì)象的，而代數(shù)思維則主要以代數(shù)式（變量）及其運(yùn)算與變換為對(duì)象。[6]教材中代數(shù)內(nèi)容采用分散滲透與集中安排結(jié)合來編排。在小學(xué)計(jì)算中其實(shí)蘊(yùn)含著不少代數(shù)思維的素材,以及算術(shù)思維與代數(shù)思維的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，教師要注意尋找有意滲透，對(duì)學(xué)生則很有裨益。

比如，“計(jì)算8+5=？”，學(xué)生不同方法的背后有著不同的思維。采用8+5=8+2+3=10+3=13，運(yùn)用了加法運(yùn)算法則，屬算術(shù)思維，而用8+5=（8+2）+（5-2）=13的學(xué)生，能想到“某個(gè)加數(shù)增加一個(gè)數(shù)，另一個(gè)加數(shù)減少同一個(gè)數(shù)，和不變”，運(yùn)用了數(shù)運(yùn)算中相等變換關(guān)系，難能可貴地把握到其中的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，屬于代數(shù)思維。再如，“10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)與加減法中，8+□=12，問□=？”這樣的計(jì)算中，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)：符號(hào)“□”是未知數(shù)，8、12是已知數(shù)，通過未知數(shù)與已知數(shù)的等式關(guān)系，就能找到未知數(shù)。這里就滲透著解方程思想。

【案例】△和□分別代表被除數(shù)和除數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)下面的算式，求出△和□各是多少？

△÷□=12……15，△+□=353

分析：由△÷□=12……15知△=12□+15，而且□大于15。如果取□=16，則有△=12×16+15=207?！?□=223，與353相差130，推斷□取得小，如取□=30，△=12×30+15=375?！?□=405，比353大52，□應(yīng)再換小，□應(yīng)從30減少多少，恰使△+□值為353？分析發(fā)現(xiàn)□減少1，△就減少12，△+□就減少13，而52÷13=4，所以□=26，△=307。

計(jì)算教學(xué)中選用此類習(xí)題，把算術(shù)問題“代數(shù)地思考”，促使學(xué)生思考、識(shí)別、提取包含在表達(dá)式中的關(guān)系，感受其中結(jié)構(gòu)的表達(dá)和轉(zhuǎn)換，這對(duì)滲透代數(shù)思維和提高推理能力，會(huì)有很好的效果。

三、結(jié)語

小學(xué)計(jì)算教學(xué)既有基礎(chǔ)性又有綜合性，在現(xiàn)實(shí)中“做”遠(yuǎn)比“該怎么做”要復(fù)雜得多。教師的學(xué)科深度會(huì)直接影響其教學(xué)的高度，計(jì)算教學(xué)的豐富性與探索性對(duì)一線教師提出了很高的要求。如何讓學(xué)生走進(jìn)思考的天地，實(shí)現(xiàn)從學(xué)計(jì)算到學(xué)思維？計(jì)算教學(xué)究竟如何教？答案不一而足，然而可以肯定的是，小學(xué)計(jì)算教學(xué)，絕不僅僅是通過教師的“教”讓學(xué)生“學(xué)會(huì)”了什么，還應(yīng)該在學(xué)計(jì)算過程中，讓學(xué)生發(fā)生“變化”，使學(xué)生既掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律、方法，又養(yǎng)成思考、傾聽與分享的習(xí)慣?！?/p>

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