□劉善娜

聚焦學(xué)習(xí)起點(diǎn)，凸顯“面”的二維特征
——“認(rèn)識(shí)面積”一課教學(xué)實(shí)踐與思考

□劉善娜

“認(rèn)識(shí)面積”一課相關(guān)研究很多，但仍有較多學(xué)生在后續(xù)練習(xí)中混淆周長(zhǎng)與面積概念。這就需要了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，了解學(xué)生在認(rèn)識(shí)面積過(guò)程中真正的學(xué)習(xí)障礙。因此，在教學(xué)中針對(duì)學(xué)生對(duì)面的“二維性”感知不足的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，設(shè)計(jì)多層次的活動(dòng)，從而使學(xué)生逐步感受到“面不離體”，感受到一維、二維、三維之間的關(guān)聯(lián)，感受到面的二維性。

學(xué)習(xí)起點(diǎn) 面 二維性

“認(rèn)識(shí)面積”是人教版三年級(jí)下冊(cè)“面積和面積單位”單元的起始課。本節(jié)課的相關(guān)研究甚多，學(xué)生的障礙皆有共識(shí)——周長(zhǎng)和面積概念的混淆。為了幫助學(xué)生消除這一障礙，一般借助“看一看”“摸一摸”“涂一涂”“比一比”等操作活動(dòng)來(lái)助力學(xué)生掌握面積概念。但是，經(jīng)歷了這些活動(dòng)的學(xué)生，為什么在后續(xù)學(xué)習(xí)中仍然會(huì)出現(xiàn)周長(zhǎng)與面積概念的混淆呢？是不是我們?nèi)匀粵](méi)有尋找到學(xué)生出現(xiàn)概念混淆的根本原因?

面對(duì)一個(gè)長(zhǎng)方形桌面，人的感官先感知到的應(yīng)該是二維的面。但學(xué)生是先學(xué)一維的周長(zhǎng)，這一感官認(rèn)知的順序錯(cuò)位是不是會(huì)對(duì)二維的面產(chǎn)生影響？從周長(zhǎng)概念到面積概念，是一維到二維的遞升，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中真正的困難是什么？基于這樣的思慮，筆者和團(tuán)隊(duì)教師一起對(duì)寧波地區(qū)10個(gè)學(xué)校共1670名學(xué)生進(jìn)行了大數(shù)據(jù)的訪談、問(wèn)卷和操作前測(cè)，確定學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)如下：

知識(shí)起點(diǎn)：學(xué)生對(duì)直觀的“長(zhǎng)短”、“大小”能清楚辨析，91.4%的學(xué)生能理解數(shù)學(xué)書的封面比練習(xí)本的封面大，75%的學(xué)生能認(rèn)識(shí)到封閉圖形才有大小，表明學(xué)生對(duì)“面積”的含義有一定的感悟。

經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)：“面”和“面積”是不同的概念，學(xué)生眼里“面”比“面積”更抽象，只有26.9%的學(xué)生能描述“什么是面”，卻有37.7%的學(xué)生能描述“什么是面積”。摸“面”時(shí)只是“點(diǎn)一點(diǎn)”的學(xué)生，經(jīng)由追問(wèn)則發(fā)現(xiàn)他們并不認(rèn)為“面”就是這個(gè)點(diǎn)，大意就是指“一個(gè)區(qū)域”——指認(rèn)操作盡管不完整，本質(zhì)上的認(rèn)知卻沒(méi)有偏差。但學(xué)生在摸面與周長(zhǎng)后用自己的語(yǔ)言表述“面在哪里，周長(zhǎng)在哪里”的時(shí)候，有72%的學(xué)生表達(dá)的意思是“周長(zhǎng)就是靠在外面的部分，面就是在里面的部分”。

情感態(tài)度起點(diǎn)：在說(shuō)說(shuō)你對(duì)“面”和“面積”的認(rèn)識(shí)時(shí)，學(xué)生把與“面”和“面積”相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)都予以了暴露，但僅有0.6%的學(xué)生摸了曲面，72.9%的學(xué)生摸了長(zhǎng)方形的面，說(shuō)明“長(zhǎng)方形的面”心理接納性最強(qiáng)。

可以發(fā)現(xiàn)，有大部分學(xué)生認(rèn)為周長(zhǎng)屬于表面的“外面”一部分，面積屬于表面的“里面”一部分，可見學(xué)生無(wú)法感知到兩者之間一維、二維的差異，并由此生成了周長(zhǎng)和面積混淆的根源。從抽象的一維到二維，對(duì)學(xué)生而言是一次認(rèn)知飛躍。如何讓學(xué)生自發(fā)地感悟兩維的差異，順利地從一維走到二維，就成了這一課教學(xué)需要解決的根本問(wèn)題。

一、“面”不離體，初悟“面”的二維性

（一）摸各類面，感受“規(guī)則物體—不規(guī)則物體”的“面”的共性

物體的表面是一個(gè)二維的圖形，學(xué)生能直觀地感覺到它所占的區(qū)域具有一定的大小，能發(fā)現(xiàn)不同書面的大小之分，會(huì)比較“黑板面比桌面大”。但是要回答什么是“面”的問(wèn)題，他們又無(wú)法應(yīng)答，因?yàn)樗麄兊恼J(rèn)識(shí)是零散的、模糊的、感性的，需要一個(gè)全面、體驗(yàn)、抽象的過(guò)程。

所以，課堂上教師還需準(zhǔn)備含曲面的物體和不規(guī)則形物體。先放手讓學(xué)生摸課桌上的面，發(fā)現(xiàn)“面”有水平的平平的，也有豎起來(lái)的平平的，有大也有小，就有利于突破“面”的水平固像，然后再讓學(xué)生感知曲面。在經(jīng)歷了這一系列的摸面活動(dòng)后，讓學(xué)生用自己的話說(shuō)說(shuō)什么是“面”。

生：我覺得面就是物體的表面，物體最上面的一層，有平的也有凹凹凸凸的。

生：我覺得面就像是物體最外面的衣服，像我們?nèi)说钠つw。

生：有各種各樣形狀的面，“面”把物體裹起來(lái)了。

生：面有大有小，有圓有方。

生：面是這樣摸過(guò)去整塊整塊的。

生：面有長(zhǎng)方形、正方形、圓形等各種各樣的形狀。

因?yàn)閷W(xué)生對(duì)“面”的認(rèn)知通常經(jīng)由對(duì)身邊常見物體表面的“摸一摸”形成，因此，要盡可能地提供豐富的直觀材料突破一些位置上、形狀上的認(rèn)知局限，避免產(chǎn)生“面是水平的”“面是方形的”等片面認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)面共有的特征。

（二）蒙眼摸面，感受“橫向到邊—縱向到底”的面的二維特征

在教師沒(méi)有指導(dǎo)之前，學(xué)生摸面基本都是用手指點(diǎn)一點(diǎn)，那么如何讓學(xué)生自發(fā)地經(jīng)由規(guī)范的摸面來(lái)表達(dá)自己指的是“一個(gè)區(qū)域”的本意從而跨向二維？如果把學(xué)生的“直觀感覺”蒙起來(lái)，讓學(xué)生主動(dòng)要求“我想把面摸完整”，那么學(xué)生就能更好地感知“體—面—線”的內(nèi)在序列，感受面的二維性。

生：長(zhǎng)方體、正方體。

師：它們身上的面是什么形狀，看清了？如果把你的眼睛蒙起來(lái)，讓你摸一個(gè)面，你能猜出摸的是哪個(gè)立體圖形嗎？摸的次數(shù)要盡可能少哦。誰(shuí)來(lái)試試？其余同學(xué)也有任務(wù)，要看清記住他是怎么摸的，摸了幾次。（學(xué)生一只手摸面）

生：（摸兩次）我知道了，是長(zhǎng)方體。

師：摸了兩次，成功了。我們把他摸的痕跡表示出來(lái)。（板貼：）還有不同的摸法嗎？請(qǐng)這一桌同學(xué)上來(lái)，一個(gè)摸一個(gè)表示出摸的痕跡。（板貼：）

師：剛才第一位同學(xué)是橫著摸豎著摸，第二位同學(xué)是橫著摸了兩次，我們仔細(xì)觀察他們摸面的痕跡，雖然摸法不同，但是他們都摸出長(zhǎng)方形的什么？

生：橫著摸兩次，長(zhǎng)摸出來(lái)了，寬第一次摸出一大半，第二次摸出一小半，寬也摸出來(lái)了。（）

師：說(shuō)得真有意思，第一次寬摸出了一大半，這個(gè)時(shí)候確定了哪一部分面的大?。浚ǖ糠郑┑诙螌捗隽艘恍“?，就確定了哪一部分的大??？（深色部分）兩次摸的面加起來(lái)，就確定了整個(gè)面的大小。

學(xué)生原本總是難以規(guī)范地摸出整個(gè)“二維”的面，常在內(nèi)部畫了個(gè)圈就算摸完，這是因?yàn)樗谝曈X上已經(jīng)看到了整個(gè)面?，F(xiàn)在蒙眼摸，學(xué)生為了感知的準(zhǔn)確性就自發(fā)地從長(zhǎng)、寬二維去摸，主動(dòng)地從一維走向了二維。教師再結(jié)合摸“面”的過(guò)程幫助學(xué)生對(duì)長(zhǎng)、寬進(jìn)行度量刻畫，初步感受面積的可加性，對(duì)面的二維性形成更清晰的認(rèn)識(shí)。

二、貫通三維，體會(huì)“面”的二維性

目之所及一個(gè)物體，應(yīng)該是先看見整個(gè)“體”再看見“面”最后才是“線”，可是學(xué)生是先測(cè)量周長(zhǎng)，再測(cè)量面積，最后測(cè)量體積，因?yàn)橐痪S、二維、三維，測(cè)量難度逐步遞增。認(rèn)識(shí)“面”的大小，是從一維測(cè)量拓展到二維測(cè)量的飛躍，可以借助學(xué)生的視覺經(jīng)驗(yàn)，去貫通一維、二維、三維。

（一）體上摸出面，體上摹出面——從三維到二維

面不離體，面可以從體上抽象出來(lái)。學(xué)生感受這樣一個(gè)過(guò)程，既能體會(huì)到面與體之間的聯(lián)系與區(qū)別，也有利于學(xué)生更好地理解“面”有別于“體”的二維特征。

師：你能不能想一個(gè)辦法，讓一個(gè)“面”走到我們的紙上來(lái)呢？

（學(xué)生拓、印面，展示交流作品“圓形”“硬幣拓印圓面”“長(zhǎng)方形”“三角形”“正方形”，分別猜猜說(shuō)說(shuō)這個(gè)“面”來(lái)自什么物體）

師：“面”可以在物體的表面，也可以是這樣的平面圖形。

（二）線圍出面積，線沒(méi)圍出面積——從一維到二維

物體的表面在客觀上都可以視作一個(gè)有周界的“封閉”圖形，所以在講平面圖形時(shí)要借助“封閉”讓學(xué)生正確理解面積的含義：面積是對(duì)一個(gè)二維圖形的表面進(jìn)行度量的結(jié)果，如果“表面”無(wú)法確定，那么就無(wú)法度量，也就沒(méi)有面積。

師：現(xiàn)在屏幕上有根線，長(zhǎng)為30厘米。我用這根線圍出一些平面圖形，它們有面積嗎？請(qǐng)用黃色表示出它們的面積。

師：都認(rèn)為第4個(gè)圖形沒(méi)有面積？你們是怎么想的？如果我想涂呢？（拿筆在實(shí)物投影上涂）

生：那就能一直涂下去了。

生：到底能涂多大的面積，根本不能確定，涂也涂不完。

生：只有封閉圖形才有確定的大小，才能涂完。

師：好，那你們就在已經(jīng)涂出面積的封閉圖形上用紅色筆涂出周長(zhǎng)，再分別摸一摸面積、指一指周長(zhǎng)給同桌看?，F(xiàn)在你覺得周長(zhǎng)、面積有什么不同？

生：周長(zhǎng)是一周的長(zhǎng)度，面積是里面的大小。

生：周長(zhǎng)在外面，面積在里面。

生：周長(zhǎng)都是30厘米，面積大小各不相同。

師：周長(zhǎng)是長(zhǎng)度，是測(cè)量圖形一周得到的具體長(zhǎng)度，這里是30厘米。而面積是整個(gè)面的大小。

課件直觀展示：

突出周長(zhǎng)是一維測(cè)量的結(jié)果，是測(cè)量封閉圖形外面一周得到的長(zhǎng)度，糾正學(xué)生腦海中“周長(zhǎng)是面的一部分”“周長(zhǎng)是面的外面部分”的一維二維混淆的根源性偏差。而用一維的線圍成二維的面，在封閉圖形中抽取出一維的周長(zhǎng)和二維的面積，都能加深學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積的維度感悟，對(duì)兩個(gè)概念的本質(zhì)會(huì)有更深的理解。

三、度量成積，理解“面”的二維性

人教版教材添加了“面積守恒”的知識(shí)點(diǎn)，并不僅僅是為了感知面積的大小“不變”，而是在“可加可減”的測(cè)量中認(rèn)識(shí)到面積的測(cè)量本質(zhì)。而在“面積”概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，感受面積與周長(zhǎng)的度量差異也有助于凸顯兩個(gè)概念之間的區(qū)別。

（一）借格子圖測(cè)量，利用大小的“塊狀測(cè)量”感受面的二維特征

在“認(rèn)識(shí)面積”一課的教學(xué)中，對(duì)于面積大小的比較，更多的只是直觀視覺上的判斷或是直接的比較，如果借用格子圖，既能為測(cè)量打下基礎(chǔ)，也能讓學(xué)生“一塊一塊”地?cái)?shù)出面積，即從二維的角度用簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)來(lái)表述面的大小，從而進(jìn)一步理解面積的含義。

師：周長(zhǎng)都是30厘米，面積大小各不相同，它們的面積會(huì)是多少呢？正方形的面積有多大？和幾個(gè)格子一樣大？你是怎么看出來(lái)的？能上來(lái)數(shù)一數(shù)嗎？

師：嗯，正方形的面積=9個(gè)格子的大小。那么，誰(shuí)的面積比9個(gè)格子的面積大？誰(shuí)比9個(gè)格子的面積??？這兩個(gè)圖形（師出示左圖）也想和長(zhǎng)方形比面積，誰(shuí)的面積大呢？和同桌說(shuō)一說(shuō)你是怎么想的。

一開始，課件上的正方形上并沒(méi)有格子線，要知道它有幾個(gè)格子那么大，對(duì)一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是有挑戰(zhàn)的。因此在一部分學(xué)生表達(dá)自己的觀點(diǎn)后，隨即出現(xiàn)格子線進(jìn)行輔助，使全部學(xué)生都能看出兩個(gè)圖形的大小。學(xué)生計(jì)數(shù)表述的過(guò)程，就是一個(gè)簡(jiǎn)單的測(cè)量過(guò)程。而面積相同、形狀不同的圖形的比較，則是讓學(xué)生在計(jì)數(shù)測(cè)量的同時(shí)，感受面積作為二維測(cè)量的結(jié)果是可加可減的，可以“塊狀”地分割累計(jì)。

（二）借釘子板拉伸，利用矩形的“二維擴(kuò)張”理解面的變化要素

學(xué)生后續(xù)要學(xué)習(xí)的平面圖形的面積計(jì)算，都會(huì)比較明顯地涉及面積的二維特性，那么在初始學(xué)習(xí)階段就可以借助直觀圖像讓學(xué)生對(duì)面積“變化”有更清晰的認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)面積變化的二維特性有更深的理解。

師：現(xiàn)在老師在釘子板上圍出這樣的一個(gè)長(zhǎng)方形（出示3×2的長(zhǎng)方形)，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積有多少個(gè)格子這么大？

師：現(xiàn)在要使這個(gè)長(zhǎng)方形的面積變大，你有哪些方法？（作品反饋）

生：可以把橡皮筋往右拉，面積就大了。

師：往右拉，長(zhǎng)方形的什么變長(zhǎng)了？

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)從3格變成4格了，變長(zhǎng)了，往左拉也可以。

生：增加的部分是一個(gè)長(zhǎng)是1，寬還是2的長(zhǎng)方形。

師：非常好。下一個(gè)同學(xué)能不能也這樣來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎么做的，面積大在哪兒？

生：我是長(zhǎng)不變，寬拉大了。增加的面積也是一個(gè)長(zhǎng)方形。

生：我是把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都變長(zhǎng)。增加的面積可以看作是兩個(gè)長(zhǎng)方形。

生：我也是把長(zhǎng)和寬變長(zhǎng)，長(zhǎng)方形面積變大了，變大的部分可以看作是4個(gè)長(zhǎng)方形。

借助彩色皮筋在釘子板上的簡(jiǎn)易操作，面積從“不變”走向“變化”。結(jié)合課件的直觀展示，抓住“面積增加在哪里”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“一個(gè)維度變化另一個(gè)維度不變（長(zhǎng)變寬不變）、兩個(gè)維度變化，增加的都是能確定二維的面”，使學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到面積變化的二維特性。

要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到周長(zhǎng)和面積都是度量的結(jié)果，它們之間有聯(lián)系又有區(qū)別，要讓學(xué)生對(duì)面的二維性形成深刻的認(rèn)知，認(rèn)識(shí)到面積是二維度量的結(jié)果，就必須充分去了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，尋找到學(xué)生出現(xiàn)概念混淆的根本原因，從而幫助學(xué)生從“一維周長(zhǎng)和二維面積都是面的一部分”的認(rèn)知誤區(qū)中走出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生從一維走向二維。

[1]嚴(yán)虹.“面積、體積的概念與單位”教學(xué)研究[M].北京：教育科學(xué)出版社，2014（1）.

[2]張紅.將“面積”化為學(xué)生自己的概念[J].小學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)版.2011（7）.

[3]王國(guó)元.基于學(xué)習(xí)起點(diǎn)，優(yōu)化學(xué)法指導(dǎo)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師.2014（5）.

[4]牛獻(xiàn)禮.在比較與辨析中建立概念——“認(rèn)識(shí)面積”教學(xué)[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2015（4）.

[5]季華，周旭貴.以活動(dòng)為基點(diǎn)讓學(xué)生多維度參與課堂——“認(rèn)識(shí)面積”教學(xué)[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2015（4）.

（浙江省奉化市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 315500）