□邢紅琴

歸納思維能力培養(yǎng)的三個階段

□邢紅琴

歸納思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要的作用，其思維水平的發(fā)展是一個不斷遞進(jìn)、連續(xù)建構(gòu)的過程。小學(xué)階段根據(jù)學(xué)生年齡特點在具體的教學(xué)活動中可利用思維活動經(jīng)驗的積累過程，分“啟蒙、發(fā)生、發(fā)展”三個階段逐步培養(yǎng)。啟蒙階段在觀察、操作中激活思維活動經(jīng)驗，喚醒歸納思維的意識；發(fā)生階段借助猜想、表達(dá)積累思維活動經(jīng)驗，夯實歸納思維的基礎(chǔ)；最后在檢驗、評估中應(yīng)用思維活動經(jīng)驗，形成歸納思維的基本模式。在循序漸進(jìn)的過程中幫學(xué)生積累思維經(jīng)驗，并由淺入深地促進(jìn)學(xué)生歸納思維的發(fā)展。

思維活動經(jīng)驗 歸納思維 三個階段

小學(xué)數(shù)學(xué)的各種概念，以及計算法則、計算公式、運算性質(zhì)等命題，絕大多數(shù)是通過較為豐富的具體實例，逐步抽象、概括得出的，在這個過程中歸納思維占據(jù)了主導(dǎo)地位。歸納思維是學(xué)生開展歸納推理的內(nèi)在思維特點，歸納推理的過程也是思維活動的過程?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）明確提出，歸納推理的學(xué)習(xí)應(yīng)該貫穿在整個小學(xué)階段的認(rèn)知活動中。雖然《課標(biāo)》在“學(xué)段目標(biāo)”的“數(shù)學(xué)思考”和“情感與態(tài)度”部分的表述中對歸納推理提出了不同層次的要求，提及了歸納推理培養(yǎng)的過程，也針對各個學(xué)段學(xué)生的年齡特點給出了教學(xué)建議。但是大部分教師對其目標(biāo)定位的理解還是比較模糊，對數(shù)學(xué)課程中關(guān)于歸納推理的要求沒有形成完整系統(tǒng)的認(rèn)識，因此在教學(xué)中便存在無序、隨意、有心無力的現(xiàn)象，導(dǎo)致將一些具有教育價值的教材內(nèi)容或有歸納功能的練習(xí)題退化成了一般的數(shù)學(xué)內(nèi)容講解和習(xí)題演練。怎樣訓(xùn)練學(xué)生的歸納思維從而促進(jìn)其歸納推理能力的形成呢？筆者以數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗的積累為視角在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開展了一系列的實踐與研究，并遵循由淺入深、由具體到抽象、從低級向高級的發(fā)展原則，將學(xué)生歸納思維的培養(yǎng)過程大致分成啟蒙階段、發(fā)生階段、發(fā)展階段，現(xiàn)結(jié)合不同階段的教學(xué)案例加以闡述與說明。

一、啟蒙階段——在觀察、操作中喚醒意識

【案例1】一年級下冊“找規(guī)律”

（說明：通過畫一畫、擺一擺活動學(xué)會觀察，積累思維活動經(jīng)驗，了解規(guī)律。）

1 .用一個○代表一個蘋果，用一個△代表一個梨，把它們畫在下面的空框里。2 .用6個白球和6個黑球，擺成一排，讓它們有規(guī)律。摘自：《小學(xué)思維訓(xùn)練1》（文匯出版社）

一年級的學(xué)生在生活中已經(jīng)有了關(guān)于歸納的生活閱歷和日常經(jīng)驗，這些生活經(jīng)驗對于歸納思維的培養(yǎng)是有利的，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。此時，學(xué)生是通過觀察對數(shù)學(xué)對象產(chǎn)生感性的認(rèn)識，但是他們往往對獲得的結(jié)論以及過程不能準(zhǔn)確地用語言、文字或者符號加以說明或者表達(dá)。教師要根據(jù)學(xué)生的年齡特征在數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生創(chuàng)造思維活動的機(jī)會，以實物、具體圖形、具體數(shù)量為載體，讓學(xué)生在這樣的活動中初步掌握觀察的方法，養(yǎng)成觀察的習(xí)慣，在觀察中思考，獲得學(xué)習(xí)歸納思維的啟蒙訓(xùn)練，并在動手操作的活動中初步培養(yǎng)歸納推理的意識。在案例1中，學(xué)生正是在觀察、操作的活動中，激活數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗，學(xué)會觀察的角度、順序、方法，進(jìn)而了解數(shù)學(xué)規(guī)律，形成觀察的意識。再如：一年級的學(xué)生在計算的過程中經(jīng)歷了大量類似于1+2=2+1的計算，已經(jīng)逐漸積累了“兩個數(shù)交換位置和相等”這樣的表層經(jīng)驗，只是還不會完整地進(jìn)行交換律的表征，因此我們可以在觀察的基礎(chǔ)上經(jīng)常開展一些具有規(guī)律性的演算歸納訓(xùn)練。如讓學(xué)生演算下面各題后，發(fā)現(xiàn)一種規(guī)律：7-7=□，6-6=□，5-5=□，…9-8=□，8-7=□，…2-1=□。計算教學(xué)從低年級的整數(shù)加減法到高年級的分?jǐn)?shù)乘除法，幾乎都是通過一系列的具體算例歸納計算方法的，只要我們在一年級開展類似觀察、操作的活動訓(xùn)練，就能激活學(xué)生思維經(jīng)驗，幫助他們有序地進(jìn)行思維，從而喚醒學(xué)生歸納思維的意識。

二、發(fā)生階段——在猜想、表達(dá)中夯實基礎(chǔ)

【案例2】二年級下冊“推理”

有語文、數(shù)學(xué)和品德與生活三本書，下面三人各拿一本，小紅說：“我拿的是語文書。”小麗說：“我拿的不是數(shù)學(xué)書?！蹦隳芘袛喑鲂偰玫氖鞘裁磿?？小麗呢？

（說明：會主動選擇有用信息進(jìn)行簡單的歸納和類比。）

師：從題目中，你知道了什么？要解決的問題是什么？“有語文、數(shù)學(xué)和品德與生活三本書，下面三人各拿一本”這句話是什么意思？

師：他們?nèi)朔謩e拿的是什么書呢？請同學(xué)們先想一想，然后把解決問題的過程用自己喜歡的方式記錄在紙上。完成后把你的想法在小組內(nèi)交流一下。

反饋：

1.語言表達(dá)：小紅拿的是語文書，那小麗和小剛拿的就是數(shù)學(xué)書和品德與生活書。小麗又說她沒拿數(shù)學(xué)書，她肯定拿的就是品德與生活書，剩下的小剛拿的就是數(shù)學(xué)書了。

2.連線表達(dá)：把人名和書名寫成兩行，再根據(jù)每一個條件分別連線（如右圖）。

3.列表表達(dá)：寫上三個名字，再根據(jù)推測在名字下方寫上相應(yīng)的書名（如右圖）。

【案例3】三年級下冊“筆算乘法”

算一算，想一想

3×3-2×4=；4×4-3×5=；5×5-4×6=

1.你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（相鄰三個整數(shù)組成的乘減算式，計算結(jié)果都是1）

2.按照你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫三個這樣的等式。（6× 6-5×7=1；7×7-6×8=1；8×8-7×9=1……）

3.你能不計算寫出下列結(jié)果嗎？25×25-24× 26=；98×98-97×99=

（說明：不但用歸納思維解決新問題，而且發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，這個結(jié)論可以提高計算技巧，激發(fā)求知欲。）

【案例4】四年級下冊“三角形內(nèi)角和實踐活動”

要求：我們知道三角形三個內(nèi)角之和是180°。自己想辦法探索一下四邊形的四個內(nèi)角之和是多少度?說說你是怎樣得出結(jié)論的。

（說明：能進(jìn)行有條理的思考，并對結(jié)論的合理性作出有說服力的說明。）

生：我畫了一個長方形，它的每一個角都是90°，四個角為360°。

生：我隨便畫了一個四邊形，量了一下四個角的度數(shù)，加起來正好是360°。

生：因為任何一個四邊形都可以分割成兩個三角形。而三角形的內(nèi)角和我們已經(jīng)驗證過是180°，因為兩個三角形的內(nèi)角和是360°，所以四邊形的內(nèi)角和是360°。

……

小學(xué)中段的學(xué)生正處于歸納思維的發(fā)生階段，教師要做到以下幾點：第一，善于發(fā)掘題目中蘊含的教育契機(jī)，用心設(shè)計教學(xué)，給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會進(jìn)行有根據(jù)、有條理的思考與表達(dá)，這也是與推理能力密切相關(guān)的思維習(xí)慣的培養(yǎng)。案例2中教師根據(jù)學(xué)生的年齡特征先引導(dǎo)學(xué)生提取有用信息，進(jìn)行簡單的推理，接著開放性地選取自己喜歡的方式對結(jié)論進(jìn)行表達(dá)，可以是口頭言語的數(shù)學(xué)表達(dá)，也可以是連線或表格等數(shù)學(xué)描述?？傊窃谳p松的氛圍中通過各類形式的表達(dá)積累思維活動經(jīng)驗。第二，要在這一階段鼓勵學(xué)生猜想。在案例3中教師結(jié)合三年級的筆算乘法的練習(xí)讓學(xué)生在計算中進(jìn)行對計算規(guī)律的基本認(rèn)識，并能提出一些簡單的猜想，會用自己的語言或者是數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表征。而案例4中學(xué)生的回答可以清晰地反映出有些孩子能得出正確的結(jié)論，但是往往不能對結(jié)論作出合理性的說明，說明學(xué)生的推理正處于混沌狀態(tài)，他們或者以個別代表一般，或者用直覺作根據(jù)，或者張冠李戴，缺乏推理的嚴(yán)密性。無論是學(xué)生隨心所欲提出的猜想抑或脫離數(shù)學(xué)事實提出的想法，教師都應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生以事實、經(jīng)驗為基礎(chǔ)，由個別到一般或由此及彼，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，大膽假設(shè)。在這一階段“猜想”與“表達(dá)”密不可分，學(xué)生可以在觀察、演算中進(jìn)行合理的猜想，并在表達(dá)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律特征。要引導(dǎo)學(xué)生完善推理的語言，理清推理的思路?？梢詮哪７麻_始，也可以從復(fù)述起步?？梢杂勺铋_始的“說完整”到“說準(zhǔn)確”，到最后要求“說簡單說清晰”。除此之外我們也可以在二、三、四年級的學(xué)習(xí)中結(jié)合數(shù)（萬以內(nèi)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)）、幾何圖形(簡單幾何體、常見平面圖形）的相關(guān)知識學(xué)習(xí)，通過操作、觀察，對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分析比較，發(fā)現(xiàn)事物的共同性與差異性，引導(dǎo)學(xué)生多多關(guān)注數(shù)量特征和圖形特征方面的探討。例如在學(xué)習(xí)“認(rèn)識角”后可以設(shè)計一組練習(xí)，認(rèn)認(rèn)“其中哪些角與下列角不是同一類”（如左圖），讓學(xué)生根據(jù)自己感官的知覺發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的表面特征或者表面的聯(lián)系，并且嘗試用適當(dāng)?shù)恼Z言、符號去表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律特征。實踐表明，加強猜想表達(dá)這樣的環(huán)節(jié)訓(xùn)練是可行而有效的，有了猜想與表達(dá)便是增加了思辨的過程，那么學(xué)生的歸納推理便不再是盲目的。在這一階段的各類訓(xùn)練中學(xué)生將積累大量的思維活動經(jīng)驗，夯實歸納思維的基礎(chǔ)。

三、發(fā)展階段——在檢驗、評估中形成模式

【案例5】五年級上冊“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)練習(xí)”

（說明：通過舉反例推翻結(jié)論，說明枚舉歸納所得結(jié)論不一定是正確的。）

師：你用大量的例子去說明一個猜想，的確是一種方法。還有誰也舉例了？（教師將學(xué)生列舉的數(shù)寫在黑板上）請你們觀察一下你們舉例的分?jǐn)?shù)，有什么想說的？

生：老師，我發(fā)現(xiàn)這些分?jǐn)?shù)都是真分?jǐn)?shù)，我覺得應(yīng)該舉一個假分?jǐn)?shù)試試。

師：你的想法非常有價值，要想說明她的結(jié)論對或錯，舉例的時候的確要考慮各類分?jǐn)?shù)才更嚴(yán)密。

師：剛才大家的說明過程非常寶貴，說明雖然有大量的舉例說明她的結(jié)論是對的，但是只要舉出一個反例就能將結(jié)論推翻。這個結(jié)論對真分?jǐn)?shù)是成立的，對假分?jǐn)?shù)不成立。

【案例6】六年級下冊“圓錐的體積”

（說明：在具體的教學(xué)任務(wù)中，提出猜想，應(yīng)用素材進(jìn)行驗證得出結(jié)論，掌握合情推理的基本方法和模式。）

1.提出任務(wù)：圓錐體積

2.提出猜想

猜想1：我們猜想圓錐的體積可能和圓柱的體積有關(guān)。猜想理由：圓柱與圓錐的底面都是圓形，側(cè)面都是一個曲面，而且圓柱能削成一個圓錐，它們很相似。

猜想2：我們研究的時候應(yīng)該用等底等高的圓柱和圓錐。因為圓柱的體積是由高和底面積決定的，圓錐的體積可能也是由底面積和高決定，用等底等高的圓柱與圓錐比較方便。

猜想3：兩者有什么關(guān)系呢？圓錐的體積肯定比等底等高的圓柱體積要小，會是二分之一嗎？

3.實驗驗證

驗證1：

材料：等底等高的實心圓柱、圓錐，長方體容器、水、尺子。

在長方體容器中倒入適量的水，然后放入圓柱，量出水面上升的高度是3厘米，然后再放入圓錐，上升的高度是1厘米，由此得出圓柱的體積是圓錐的3倍。

驗證2：

材料：同等材料等底等高的實心圓柱、圓錐，天平。

在天平左盤放上圓柱，右盤放上圓錐，當(dāng)放到第3個圓錐時天平平衡。由此證明圓柱的體積是圓錐的3倍。

驗證3：

材料：等底等高的空心圓柱、圓錐，細(xì)沙。

先在圓錐中倒?jié)M細(xì)沙，再倒入圓柱。這樣倒了3次，圓柱剛好倒?jié)M。證明以上結(jié)論的正確性。

在小學(xué)的五、六年級，學(xué)生經(jīng)過四年的學(xué)習(xí)已經(jīng)積累了大量的活動經(jīng)驗以及思維經(jīng)驗，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)任務(wù)，并結(jié)合數(shù)、形知識的進(jìn)一步擴(kuò)展，繼續(xù)深化觀察、分析、比較、分類及實驗等活動，幫助學(xué)生應(yīng)用以及掌握小學(xué)階段歸納推理的基本模式，即“從問題出發(fā)→提出猜想→實驗驗證（舉例驗證）→形成歸納→驗證推廣”。在這個階段學(xué)生不僅能對所獲得的結(jié)論(猜想)的正確性通過足夠多的、具有典型性的特例進(jìn)行實驗、計算檢驗并作出評估，也能對錯誤結(jié)論用反例確認(rèn)。通過錯誤猜想，使學(xué)生懂得歸納所得的結(jié)論具有或然性，從而明確檢驗的必要性，并能用反例推翻錯誤猜想。美國課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為:“在學(xué)習(xí)的過程中形成猜想并在經(jīng)驗的基礎(chǔ)上對猜想作出評估應(yīng)該是常規(guī)。學(xué)生應(yīng)該認(rèn)識到幾個例子說明猜想正確是不夠的，并認(rèn)識到可以用反例來反駁一個猜想。他們應(yīng)該學(xué)習(xí)通過考慮一系列例子，能夠?qū)σ话阈再|(zhì)以及他們發(fā)現(xiàn)的聯(lián)系進(jìn)行推理?！盵5]同時在授課內(nèi)容的選擇上既要結(jié)合正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，又要更多側(cè)重于數(shù)量之間、圖形之間以及數(shù)形之間的關(guān)系方面的探討。需要說明的是，在小學(xué)高年級蘊含著眾多演繹推理的教學(xué)契機(jī)，兩種推理形式相輔相成。我們要努力使學(xué)生既能發(fā)現(xiàn)結(jié)論,又能驗證結(jié)論,為進(jìn)入初中形成完整的數(shù)學(xué)推理能力做好鋪墊與銜接。

歸納思維的學(xué)習(xí)是貫穿整個小學(xué)階段的認(rèn)知活動。學(xué)生歸納思維的形成建立在實踐的基礎(chǔ)之上，更多地依賴于過程。而過程的教學(xué)在于“學(xué)生探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理的過程、反思的過程等”。在教學(xué)中我們要充分認(rèn)識和體會歸納思維水平的發(fā)展是一個不斷遞進(jìn)、連續(xù)建構(gòu)的過程。在啟蒙階段我們側(cè)重于直觀的、幾何形象的、數(shù)量相對較少的數(shù)學(xué)對象，關(guān)注對象外部特征、外部關(guān)系的內(nèi)容。發(fā)生階段則關(guān)注從直觀形象的狀態(tài)向本質(zhì)抽象水平的過渡。到了發(fā)展階段，則可選擇抽象的、數(shù)量相對較多的數(shù)學(xué)對象，側(cè)重于內(nèi)部特征與內(nèi)部關(guān)系的內(nèi)容，并注意探討數(shù)學(xué)對象與屬性之間的因果聯(lián)系。我們相信，只有讓學(xué)生經(jīng)歷用歸納思維解決問題的全過程，學(xué)生才能在循序漸進(jìn)中不斷積累思維活動經(jīng)驗，才能在知識形成過程中理解數(shù)學(xué)知識，最終發(fā)展歸納思維并形成歸納推理的能力。

[1]曹培英.“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（上）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（7～8）.

[2]曹培英.“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（下）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（9）.

[3]王瑾.小學(xué)數(shù)學(xué)課程中歸納推理的理論與實踐研究[D].東北師范大學(xué)，2011.

[4]史寧中.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考[J].數(shù)學(xué)通報，2007（5）.

（浙江省湖州市吳興區(qū)妙西學(xué)校 313000）