☉江蘇省南京市寧海中學(xué)分校　卜以樓

生長構(gòu)架：復(fù)習(xí)課的理念創(chuàng)新

☉江蘇省南京市寧海中學(xué)分校卜以樓

生長型構(gòu)架下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，一改慣用的“框圖+例題+練習(xí)”的單一做法，而是根據(jù)所要復(fù)習(xí)的知識內(nèi)容和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，堅持系統(tǒng)論理論，踐行“生長數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張，運用結(jié)構(gòu)化的思維方法，架設(shè)生長型路徑，開展探究性活動，形成求異思維的一種自我建構(gòu)的、有著新授課特質(zhì)的復(fù)習(xí)方法.這種復(fù)習(xí)課，學(xué)生將根據(jù)教師搭建的立體式、生長型構(gòu)架中的“梯子”，重新認(rèn)識所要復(fù)習(xí)的知識，并通過知識的生長過程，讓學(xué)生拾級而上，看清數(shù)學(xué)本質(zhì)，達(dá)到一定的認(rèn)知高度，形成“一覽眾山小”的體驗，切實提高問題解決的能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面就生長型復(fù)習(xí)課的教育情懷、教學(xué)原則及設(shè)計策略談幾點認(rèn)識.

一、生長型復(fù)習(xí)課的教育情懷

生長型復(fù)習(xí)課的情懷源于生命，立意基于生長，本質(zhì)體現(xiàn)發(fā)展.為此，生長型復(fù)習(xí)課的價值就在于尊重生命，放飛思維，收獲素養(yǎng).

1.讓復(fù)習(xí)課講述新故事

廣州的蘇德杰老師認(rèn)為，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課，就要向故事學(xué)過程.故事吸引孩子們，是因為它有發(fā)生發(fā)展的全過程.其中有順境，也不乏逆境，情節(jié)跌宕起伏.回到數(shù)學(xué)，就要展現(xiàn)思維的全過程，包括行得通和行不通的想法和做法.我們知道，新授課常常是圍繞一個探究內(nèi)容，展開“問題情境—模型解釋—拓展應(yīng)用”這個思維主線，講述由未知到已知的思維故事［1］，其中問題情境可算是思維故事的發(fā)生，模型解釋就是思維故事的高潮，拓展應(yīng)用相當(dāng)于思維故事的結(jié)束.在這個思維故事中，主題鮮明、經(jīng)過清晰、高潮壯觀、結(jié)局美好，所以能給學(xué)生以一種扣人心弦、振奮人心的思維向往.而復(fù)習(xí)課的內(nèi)容，對于絕大部分學(xué)生來說，內(nèi)容是已知的，方法是熟悉的，操作是重復(fù)的，不再具備神秘性，所以會產(chǎn)生審美疲勞.如果教師再一味地機(jī)械重復(fù)新授課的內(nèi)容，其復(fù)習(xí)效果可想而知.

解決上述問題，用生長型構(gòu)架來進(jìn)行復(fù)習(xí)課的教學(xué)就是一個不錯的選擇.例如，進(jìn)行“冪的運算”［2］復(fù)習(xí)時，可以緊緊圍繞“什么是冪”“研究冪的運算就是要研究冪的哪些運算”“如何來研究這些運算”“研究這些運算會給我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來什么樣的新視野”等主題進(jìn)行探究，講述數(shù)學(xué)思維故事.

2.讓復(fù)習(xí)課助力新思維

對于復(fù)習(xí)課，如果我們?nèi)匀挥眯率谡n呈現(xiàn)知識的那個視角將復(fù)習(xí)內(nèi)容再重新呈現(xiàn)一遍，那么對于喜歡求異創(chuàng)新的學(xué)生及對這部分知識方法掌握得比較好的學(xué)生，就缺少吸引力和新鮮感，這樣也勢必會影響復(fù)習(xí)效果和質(zhì)量.即使是對還沒有完全掌握這部分知識的學(xué)生來說，之所以這部分知識沒有完全掌握，固然有學(xué)生自身的原因，但是也有當(dāng)時教師運用的教學(xué)方法不適合這部分學(xué)生的緣故.為此，要重新審視新授課時的教學(xué)方法，分析新授這一知識時的教學(xué)要素，整合這部分教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)資源，重新選擇探究這些知識的視角，那么用生長型構(gòu)架進(jìn)行復(fù)習(xí)課的設(shè)計理念便應(yīng)運而生.

這個新理念，就是面對同一學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計出異于新授課營造的思維場景，構(gòu)勒出復(fù)習(xí)這一內(nèi)容的新思維氛圍，助力學(xué)生思維活動的展開，以培養(yǎng)學(xué)生思維的新穎性、靈活性和主動性.例如，在中考復(fù)習(xí)階段中，勾股定理的證明就可以讓學(xué)生經(jīng)歷以下三個思維方法感悟數(shù)學(xué)內(nèi)在的一致性、和諧性和樸素性.具體地講，第一種方法是構(gòu)造有效圖形，借助于“算兩次”的思想，證實勾股定理.這種方法，事實上就是新授課時證明方法的本質(zhì).第二種方法，可借助于直角三角形中的射影定理來證明之（證明過程略）.第三種方法，可運用圓的相關(guān)知識來證明勾股定理.即如果Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC、∠ABC、∠ABC所對的邊分別為a、b、c，那么不難得到，Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑則有

即a2+b2=c2.

3.讓復(fù)習(xí)課顯現(xiàn)新結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)化是能力化的前提之一，數(shù)學(xué)在某種程度上說就是一種結(jié)構(gòu)化的思想，可以這樣認(rèn)為，數(shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)還是結(jié)構(gòu).

學(xué)生平時學(xué)習(xí)的知識，都是些零散的知識.學(xué)習(xí)過程中，有相當(dāng)一部分學(xué)生對平時的零散知識掌握得還是不錯的，但是一需要將平時知識綜合起來，就顯得捉襟見肘、應(yīng)接不暇了.究其原因，可能是平時教學(xué)中忽視結(jié)構(gòu)化教學(xué)，削弱了學(xué)生對知識的結(jié)構(gòu)化能力.因此，適時地對知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化要成為一種教學(xué)常態(tài)，而生長型構(gòu)架便是結(jié)構(gòu)化知識的一種有效方法.生長型構(gòu)架下的復(fù)習(xí)課，從學(xué)科系統(tǒng)、學(xué)科結(jié)構(gòu)、知識網(wǎng)絡(luò)的角度，重新設(shè)計知識發(fā)生發(fā)展的過程，將這部分核心知識聚集到核心知識鏈中，讓學(xué)生看清知識的本來面貌，雖是學(xué)生已學(xué)過的知識，但是剖析的角度不同，研究的方法不同，學(xué)習(xí)的方式不同，活動的層次不同，必然能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，必然讓學(xué)生對復(fù)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生新鮮感.

結(jié)構(gòu)化知識有多種方法，課本的編排體系本身就是一種結(jié)構(gòu)化，一般情況下新授課已經(jīng)將這種結(jié)構(gòu)化的資源基本用完.為了讓學(xué)生再次生長，就有必要選擇新的教學(xué)載體來傳承復(fù)習(xí)內(nèi)容的新結(jié)構(gòu).例如，復(fù)習(xí)相似三角形這部分知識時，可以不再選擇相似三角形的“概念—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”這一基本的認(rèn)識視角，而是選擇相似形的系列“變式圖形”［3］的生長路徑，用這一新視角來認(rèn)識研究相似三角形及相似形，這樣的視角對所有學(xué)生認(rèn)識相似形都有幫助和提升，可以讓學(xué)生在這次復(fù)習(xí)中又一次成長.

二、生長型復(fù)習(xí)課的設(shè)計原則

生長型復(fù)習(xí)課是一種特殊意義下的教學(xué)行為，所以它的設(shè)計理應(yīng)遵循一般教學(xué)設(shè)計的原則，但還要兼顧下面四個設(shè)計原則.

1.要設(shè)計好生長空間

同生命生長空間一樣，探究活動也需要一定的思維生長空間.這個過程的形成，教師要根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容、學(xué)生實際、數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)，合理、有效、有度地整體構(gòu)架，形成一節(jié)復(fù)習(xí)課的基本立意，這個基本立意就成了復(fù)習(xí)課中學(xué)生思維的生長空間.這里的合理是指設(shè)計的思維過程要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生思維具有產(chǎn)生必然的傾向；有效是指學(xué)生終身發(fā)展所要具備的思維品質(zhì)和必備能力；有度就是要根據(jù)情況，設(shè)計思維空間的大小.空間太大，過于空泛，不接地氣，學(xué)生得不到實惠，反而架空了學(xué)生的思維；空間太小，思維發(fā)散力、穿透力不強(qiáng)，變成了機(jī)械重復(fù)，又回到一些復(fù)習(xí)課的老路上去了.因此，設(shè)計好生長空間是生長型復(fù)習(xí)課的根本.

2.要規(guī)劃好生長節(jié)點

我們在整體把握了生長空間后，就要關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的一個個節(jié)點，也就是思維的轉(zhuǎn)折點、變化點、發(fā)展點.這些關(guān)鍵點就像甘蔗一樣，它會留下一串串生長節(jié).從這個意義上說，形成生長節(jié)的過程，是一個“痛并快樂著”的過程.越過那些成長節(jié)點、思維點時總是痛，但那種痛感很快被隨之而來的成長、升騰的喜悅淹沒了，這就是數(shù)學(xué)思維的力量，也是生長的魅力.

具體到生長型復(fù)習(xí)課，一是要定位“生長的起點、終點”［4］.起點是學(xué)生思維的出發(fā)點，它是由學(xué)生現(xiàn)有的基礎(chǔ)和經(jīng)驗決定的，終點是思維的落腳點，它是由生長目標(biāo)、發(fā)展方向決定的.定位好這兩個問題，就解決了從什么地方起步及到什么地方去的問題.二是要明晰生長的主要節(jié)點.由起點向終點前行，可能有多種方法或多種路徑，但一定有不可逾越的那么幾個節(jié)點，這些節(jié)點就是思維過程中的生長節(jié).教師在設(shè)計復(fù)習(xí)課時，要對這些生長節(jié)做到心中有數(shù)、心中有責(zé).這些生長節(jié)是學(xué)生思維提升的標(biāo)志，也是學(xué)生經(jīng)驗遷移的基礎(chǔ)，因此，規(guī)劃好生長節(jié)點是生長型復(fù)習(xí)課的保證，教學(xué)中教師要定位好、設(shè)計好、把握好.

3.要把握好活動生成

上面兩點主要從“教”的角度來分析設(shè)計原則，而在實施過程中，一定要關(guān)注學(xué)生思維的生成，保護(hù)好學(xué)生的真實思維.當(dāng)學(xué)生的思維與教學(xué)預(yù)設(shè)有偏差時，教師要充分分析學(xué)生思維的合理性，保護(hù)好學(xué)生思維的真實性，在此基礎(chǔ)上與學(xué)生一起理性地分析、撥正思維的方向和層次，讓學(xué)生學(xué)會思維.當(dāng)學(xué)生的思維與教學(xué)預(yù)設(shè)相近時，要給時間讓學(xué)生把思維過程整理一下，要求學(xué)生重新敘述一遍，通過重新表達(dá)，發(fā)展學(xué)生優(yōu)化思維的能力.當(dāng)學(xué)生的思維與預(yù)設(shè)一致時，要反問或追問學(xué)生：“你是怎么想的”“你是怎么想到的”，避免“錯誤的思維導(dǎo)致正確的結(jié)論”這一“假思維”“偽思考”的現(xiàn)象發(fā)生.由此可見，把握好活動生成是生長型復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵，它是以人為本育人的根本體現(xiàn).

4.要謀劃好教學(xué)板書

學(xué)生思維的生長要靠學(xué)生思維的真實開展，也需要其他教學(xué)手段的呈現(xiàn)，用“雕塑式板書”［5］來呈現(xiàn)生長路徑、彰顯生長節(jié)點是再恰當(dāng)不過的了.因為“雕塑式”板書的時間節(jié)點一定能夠與學(xué)生思維生長的過程同步，而PPT是課前人為預(yù)設(shè)的，很難與學(xué)生的生成思維同步.再者用“雕塑式”板書的智慧藝術(shù)來展現(xiàn)復(fù)習(xí)知識的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)性的東西，靠放幻燈片也是不能實現(xiàn)的.因此，謀劃好教學(xué)板書是生長型復(fù)習(xí)課的重要手段，教師要精心設(shè)計，并注重有效呈現(xiàn).

三、生長型復(fù)習(xí)課的設(shè)計策略

根據(jù)生長型構(gòu)架下的復(fù)習(xí)理念與教學(xué)價值，我們可從生長知識、傳承思想、給力成長這三個層面來整體構(gòu)建復(fù)習(xí)課的構(gòu)架，即在以下三個方面謀篇布局.

1.用主題來生長知識

有學(xué)者認(rèn)為，教師業(yè)務(wù)素養(yǎng)主要取決于創(chuàng)造數(shù)學(xué)理解的能力.創(chuàng)造數(shù)學(xué)理解不僅僅是重走數(shù)學(xué)家們當(dāng)時發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的荊棘坎坷之路，而是要從當(dāng)代學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、心理、經(jīng)驗的現(xiàn)實出發(fā)，創(chuàng)造出具有鮮明數(shù)學(xué)本質(zhì)且適合當(dāng)代學(xué)生理解的教育形態(tài)的數(shù)學(xué).這種創(chuàng)造既具有數(shù)學(xué)家們當(dāng)時發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的火熱思考，又具備當(dāng)代人高效認(rèn)識事物規(guī)律的快速反應(yīng).就是說經(jīng)過教師創(chuàng)造性的“演變過”的數(shù)學(xué)，它既具有數(shù)學(xué)的獨特內(nèi)蘊，又具有強(qiáng)烈的思維過程，而這種思維過程又是以某一思維主題為鏈條，在數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)中不斷地發(fā)生、發(fā)展著，生長出一串串的數(shù)學(xué)知識、思維靈性和學(xué)科素養(yǎng).

我們知道，新授課是以某一知識點為主題的探究活動，它涉及的面可能有限，教師創(chuàng)造數(shù)學(xué)理解的空間可能受到一定的影響，所以，新授課呈現(xiàn)出的教學(xué)方法和形態(tài)基本上大同小異.正因為此，才有了現(xiàn)行的程序化的數(shù)學(xué)教材.但是，作為一個知識集成模塊的復(fù)習(xí)課，涉及的知識比新授課多得多，那么理應(yīng)有更大的空間來創(chuàng)造教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，來勾勒復(fù)習(xí)課的主題、主線，并在此主題上生長知識、編織結(jié)構(gòu)、發(fā)展能力.

例如，對于“增長率”的復(fù)習(xí)課［4］，我們可以將教材中關(guān)于增長率的模型集中起來，以下列話題為主題，讓學(xué)生經(jīng)歷在初中階段可以解決的數(shù)學(xué)模型.即：一個數(shù)量a，經(jīng)過一次增長后變成c，且增長率為x的數(shù)學(xué)模型a（1+x）=c；一個數(shù)量a，分別經(jīng)過兩次不同的增長后變成c，且兩次增長率分別為x、y的數(shù)學(xué)模型a（1+x）（1+y）=c，一個數(shù)量a，經(jīng)過兩次相同增長后變成c，且增長率都為x的數(shù)學(xué)模型a（1+x）2=c；兩個數(shù)量a、b，存在a·b=c的關(guān)系，并且a、b各經(jīng)過一次不同增長，增長率分別為x、y，此時c變成d的數(shù)學(xué)模型a（1+x）·b（1+y）=d；兩個數(shù)量a、b，存在a·b=c的關(guān)系，并且a、b各經(jīng)過一次相同增長，且增長率都為x，此時c變成d的數(shù)學(xué)模型a（1+x）·b（1+x）=d.當(dāng)學(xué)生感受到上述生長構(gòu)架下的具體知識時，只要有效地控制變量，就可以用初中數(shù)學(xué)知識來解決問題了.這樣的過程就是一個很明顯的用主題來提供生長知識的過程，也是一個激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧的過程.

2.用知識來積累思想

復(fù)習(xí)課中用知識來傳承思想，同新授課教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法一樣，往往處在復(fù)習(xí)思維的過程中，它是人們思維的暗線.可以這樣認(rèn)為，正是有了思維的過程，才會產(chǎn)生數(shù)學(xué)的思想方法.皮之不存，毛將焉附？所以說，用主題來生長知識尤為重要.

所要注意的是，教師要盡量把復(fù)習(xí)課精心設(shè)計的知識生長過程中的數(shù)學(xué)思想方法放大呈現(xiàn)，讓學(xué)生能回味反思，體悟思想，從更高層面上認(rèn)識問題的本質(zhì).例如，上例中，初中為什么較多地研究一個數(shù)量經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，而很少研究一個數(shù)量經(jīng)過兩次不同增長的增長問題？為什么不研究三個數(shù)量或更多數(shù)量各經(jīng)過一次增長的增長率問題？要解決上述疑問，沒有立意，沒有過程，沒有思想，從何而思？

3.用思想來給力成長

不可否認(rèn)，讓學(xué)生不斷發(fā)展是學(xué)科教學(xué)的根本追求，也應(yīng)是學(xué)科教學(xué)的一種常態(tài).而現(xiàn)在的復(fù)習(xí)課，常常在學(xué)生擁有的知識上打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，學(xué)生很難在這種復(fù)習(xí)課上再次進(jìn)步，再次發(fā)展.生長型構(gòu)架的復(fù)習(xí)課，便能突破這一教學(xué)瓶頸.這種教學(xué)方法，雖面對的是舊知識，但要重構(gòu)這些舊知識的新視野、新方法、新路徑、新思想，并從中積累新境界、新經(jīng)驗、新感受、新成長.我們有理由認(rèn)為，學(xué)生經(jīng)歷過這樣的復(fù)習(xí)過程，不發(fā)展、不成長、不提升是不可能的.

生長型構(gòu)架下的復(fù)習(xí)課，是一種理念，也是一種方法，但不是一種模式.教學(xué)有法，教無定法，教應(yīng)得法，讓我們數(shù)學(xué)教育人在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的教育大道上闊步前行！

1.卜以樓.生長型構(gòu)架下實數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（3）.

2.卜以樓.讓復(fù)習(xí)課留下一串串生長節(jié)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（11）.

3.卜以樓.生長鏈變式圖遷徙路［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（4，5）.

4.卜以樓.用生長型構(gòu)架進(jìn)行中考復(fù)習(xí)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中），2010（3）.

5.卜以樓.雕塑式板書下“有理數(shù)混合運算”的教學(xué)設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（4）.Z