☉浙江省寧波鄞州高級中學(xué) 葉琪飛

指導(dǎo)高中生數(shù)學(xué)解題策略的理論與實(shí)踐探討

☉浙江省寧波鄞州高級中學(xué) 葉琪飛

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對學(xué)生解題策略的教學(xué)能夠幫助學(xué)生更好地梳理解題思路，進(jìn)而更準(zhǔn)確地找到準(zhǔn)確答案.高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候只有將難題逐一解決之后才會有更大的信心攻克更難的題目，在現(xiàn)代化的教育手段下，需要對指導(dǎo)高中生數(shù)學(xué)解題策略給予足夠的重視.廣大高中數(shù)學(xué)教師需要為此付出辛勤的勞動，共同為提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)水平做貢獻(xiàn).

一、培養(yǎng)學(xué)生的解題策略意識

解題策略意識的培養(yǎng)是學(xué)生解決高中數(shù)學(xué)問題的第一步，也是最為關(guān)鍵的一步，其直接關(guān)乎學(xué)生解題能力的培養(yǎng)和提升，所以在平時(shí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需要注重培養(yǎng)和提升學(xué)生的解題策略意識，尤其是要注意在講課的時(shí)候?qū)⒉煌慕忸}方法傳授給學(xué)生，以此來促進(jìn)學(xué)生掌握適合自己的解題方法.與此同時(shí)，學(xué)生在解題過程中有時(shí)會容易形成思維定式，這對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常不利，所以教師在此過程中要加強(qiáng)自身的引導(dǎo)作用，具體就是在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)突出數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生梳理自身的解題策略意識.加之高中生由于數(shù)學(xué)知識有了一定的基礎(chǔ)，對一些基本的解題方法掌握了之后，只需要按照教師的要求結(jié)合例題進(jìn)行有效的訓(xùn)練，做到合理的變通，經(jīng)過反復(fù)的訓(xùn)練之后就能夠形成自己的解題策略意識.另外，良好解題策略意識的培養(yǎng)除需要加強(qiáng)教師的指導(dǎo)之外，還需要充分調(diào)動學(xué)生自身的自主性和能動性，通過學(xué)生在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中去進(jìn)行訓(xùn)練，從而可以借此幫助學(xué)生更好地形成科學(xué)、合理的解題策略意識.但是在學(xué)生進(jìn)行解題訓(xùn)練的過程中，教師同樣需要發(fā)揮自身的指導(dǎo)作用，避免學(xué)生陷入題海訓(xùn)練.比如，在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，教師需要充分發(fā)揮自身的指導(dǎo)作用，針對每道數(shù)學(xué)題的求解，都讓學(xué)生多嘗試一些新的解題方法，以便可以借助這種“一題多解”的解題訓(xùn)練方式來拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助他們形成健全、完善的解題策略意識，為后續(xù)的解題訓(xùn)練奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).

例如，分析函數(shù)f（x）=2x+4（x>0）與f（x）=2x-4（x<0）的奇偶性.

教師首先提問學(xué)生一個(gè)問題，判斷函數(shù)f（x）奇偶性的方法有那些？這相當(dāng)于對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)，幫助他們形成解題策略意識.學(xué)生會根據(jù)老師的問題進(jìn)行回答，在回答過程中找到正確的解題思路.有的學(xué)生會說，可以畫出函數(shù)圖像根據(jù)圖像判斷，然后教師就在黑板上畫出題目中兩個(gè)函數(shù)的圖像，接著讓學(xué)生回答具體怎么判斷.一名學(xué)生說，仔細(xì)觀察圖像之后發(fā)現(xiàn)圖像是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，所以就是奇函數(shù).但是會有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)圖像并不經(jīng)過（0，2）這一點(diǎn)，因此函數(shù)既不是關(guān)于原點(diǎn)對稱，也不是關(guān)于y軸對稱，所以原函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).經(jīng)過如此反復(fù)的訓(xùn)練不斷促進(jìn)學(xué)生解題策略意識的形成是一種有效的教學(xué)方法.尤其數(shù)學(xué)是一門注重實(shí)踐的學(xué)科，更需要教師引導(dǎo)學(xué)生在正確的解題策略下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，只有在教師對學(xué)生進(jìn)行解題意識的灌輸之后，學(xué)生才會在連續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成正確的數(shù)學(xué)解題策略意識.

二、確定正確的解題思路

待學(xué)生形成完善的解題意識之后，為了提升學(xué)生的解題能力，教師必須要幫助學(xué)生形成正確的解題思路，以便使學(xué)生可以快速找到數(shù)學(xué)問題的解題突破口，那么數(shù)學(xué)問題的求解也自然是水到渠成的.基于此，為了可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，教師平時(shí)的教學(xué)訓(xùn)練需要側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生形成正確的解題思路，使學(xué)生可以在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，快速而又準(zhǔn)確地找到問題的突破口，這樣就可以為提升學(xué)生的解題能力奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).實(shí)際上，一道數(shù)學(xué)題目中包含的條件必然與解題要求存在著一定的關(guān)聯(lián)，這種聯(lián)系由各類數(shù)學(xué)概念和定理作為紐帶貫穿而成.也就是說，尋找數(shù)學(xué)解題策略就是分析題目中存在著哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，需要運(yùn)用那些數(shù)學(xué)定理來將這些聯(lián)系貫穿起來.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生會經(jīng)常遇到此類問題，究其本質(zhì)就是因?yàn)檫@些聯(lián)系和對應(yīng)的數(shù)學(xué)定理存在一致性.因此教師要指導(dǎo)學(xué)生確定正確的解題思路，一邊更快地確定解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的策略，從而可以達(dá)到快速解題的目的.另外，為了可以幫助學(xué)生形成正確的解題思路，教師在平日的教學(xué)中要加強(qiáng)自身的指導(dǎo)作用，親自為學(xué)生示范各種不同類型數(shù)學(xué)題目的詳細(xì)解題思路.比如，針對涉及社會生活實(shí)際的高中數(shù)學(xué)題目，教師需要先結(jié)合社會生活實(shí)際情況及題目的已知條件來歸納出其中所涉及的數(shù)學(xué)模型及相關(guān)知識，接著需要學(xué)生運(yùn)用相關(guān)方面的數(shù)學(xué)知識及解題方法來求解相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到求解數(shù)學(xué)問題的目的.但是為了確保學(xué)生形成正確的解題思路，教師同樣需要引導(dǎo)學(xué)生借助科學(xué)、合理的反復(fù)教學(xué)訓(xùn)練來達(dá)到形成正確解題思路的目的.

例1方程x2+（a-2）x-a-2=0有兩個(gè)根x1和x2，并且點(diǎn)P（x1，x2）在圓x2+y2=4上，求a的值.

分析：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)題目中包含的主要條件為：點(diǎn)P在圓上，也就是說P點(diǎn)的坐標(biāo)符合圓的方程x2+y2= 4；x1和x2為方程的兩個(gè)根，并且滿足圓的方程.但是依靠這兩個(gè)表面上的條件并不能夠解答題目，因此需要去尋找題目中的隱含條件.我們都知道的是一元二次方程有兩個(gè)根，并且一元二次方程的圖像是一條拋物線，當(dāng)有兩個(gè)根的時(shí)候，圖像與x軸有交點(diǎn)（x1，0）和（x2，0），這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.所以隱含條件就是x1+ x2=a-2，然后再讓學(xué)生根據(jù)這三個(gè)條件去解答題目.這樣就是幫助學(xué)生確定解題思路，從而實(shí)現(xiàn)指導(dǎo)學(xué)生解題策略的目的.正確的解題還要求教師自身具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠在課堂上迅速反應(yīng)出題目的各類包含信息，因此需要教師自身首先做足準(zhǔn)備工作，以便更好地對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo).

三、豐富學(xué)生的解題策略

教學(xué)研究表明，豐富的解題策略是提升學(xué)生解題能力的重要條件，所以為了可以更好地提升學(xué)生的解題能力，教師需要在引導(dǎo)學(xué)生形成正確的解題意識和解題思路的基礎(chǔ)上，豐富學(xué)生的解題策略，指導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐學(xué)習(xí)來提升學(xué)生的解題能力，尤其是要幫助學(xué)生可以合理運(yùn)用解題策略來求解自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所遇到的各種問題，否則僅僅有解題思路和解題意識，而學(xué)生不具備解題策略和方法，那么也無法達(dá)到求解數(shù)學(xué)問題的目的.因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)及解題訓(xùn)練過程中，教師需要將相應(yīng)的解題對策貫徹給學(xué)生，幫助學(xué)生了解和掌握各種不同的解題策略，以便可以更好地達(dá)到求解數(shù)學(xué)問題的目的.而在高中數(shù)學(xué)問題求解的過程中，常用的解題策略有類比與猜想策略、假設(shè)策略、圖形結(jié)合策略等.對其中的類比與猜想策略而言，需要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察力的培養(yǎng)來引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方面考慮問題，使學(xué)生形成一種科學(xué)、合理的數(shù)學(xué)解題思維.而類比則是引導(dǎo)學(xué)生將已經(jīng)了解和掌握的解題方法應(yīng)用于相似實(shí)際問題的求解中來，使他們可以從中找到問題求解的重要規(guī)律，從而達(dá)到求解數(shù)學(xué)問題的目的.另外，在數(shù)學(xué)問題求解的過程中，除了需要學(xué)生掌握必要的解題方法之外，還必須要加強(qiáng)自身在解題過程中的自主能動性，避免出現(xiàn)輕信、盲從等隨大流的情況，以便借助合理的解題對策來提升學(xué)生的解題能力.

例2已知a、b、c>0，且a2+2ab+2ac+4bc=12，那么a+ b+c的最小值為_________.

分析：該題是一道典型的采用均值不等式來求解最小值的數(shù)學(xué)題目，但是實(shí)際的變形過程比較繁雜，無法將已知條件化解為特定的結(jié)構(gòu)，但是卻可以通過采用類比的思想，將其轉(zhuǎn)化成與未知條件有關(guān)的結(jié)構(gòu)形式來達(dá)到求解的目的，具體的解法如下：

解：由于a、b、c>0，12=a2+2ab+2ac+4bc≤a2+2ab+2ac+ 2bc+b2+c2=（a+b+c）2，所以a+b+c≥

四、訓(xùn)練學(xué)生的審題能力與糾錯(cuò)能力

工欲善其器，必先利其器.這句話放在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就是說要想準(zhǔn)確地解答一道題，一定要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識作為基礎(chǔ)，并且要對題目全面了解.而良好的身體能力和糾錯(cuò)能力則是提升學(xué)生解題能力的重要保障.一方面，針對審題能力而言.實(shí)際上，審題是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的第一步，其可以使學(xué)生通過對有關(guān)的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行詳細(xì)審查來確定求解數(shù)學(xué)題目的各種重要信息.可以說，身體是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，直接關(guān)乎解題的整體效果.與此同時(shí)，審題可以幫助學(xué)生透徹地理解題意，明白題目的結(jié)構(gòu)及問題需要最后的解答是什么.審題還可以幫助發(fā)現(xiàn)隱含條件，因?yàn)樵S多數(shù)學(xué)題目中都包含一定的隱含條件，對解題起著關(guān)鍵作用.從一定程度上說，提高學(xué)生的審題能力就是提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含條件的能力，所以教師在指導(dǎo)高中生解題策略的過程中需要根據(jù)自身的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)將一些隱含條件的信號傳授給學(xué)生，對學(xué)生進(jìn)行正確的指導(dǎo)，并且需要在實(shí)際的解題訓(xùn)練中來幫助學(xué)生逐步培養(yǎng)和提升他們的審題能力，使他們可以針對不同類型的數(shù)學(xué)問題形成正確的解題意識，并要借此來為后續(xù)的解題訓(xùn)練提供良好的條件.比如，在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生善于觀察問題的求解及其應(yīng)用，借助觀察來幫助學(xué)生歸納和總結(jié)各種類型數(shù)學(xué)問題的求解來幫助學(xué)生可以形成健全的觀察力和洞察力，這實(shí)際上就是培養(yǎng)和提升學(xué)生審題能力的重要途徑.另一方面，除審題能力在幫助學(xué)生解題方面具有至關(guān)重要的作用外，良好的糾錯(cuò)能力同樣是學(xué)生開展解題過程中不可或缺的一種解題素質(zhì)和能力.通過糾錯(cuò)能力的培養(yǎng)和提升，學(xué)生可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己在解題過程中存在的各種缺點(diǎn)和不足，以便可以在下次解題過程中及時(shí)進(jìn)行修改和更正，避免再次在解題的過程中出現(xiàn)解題差誤，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

例3已知方程（3a-1）x2-5x+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不同，確定參數(shù)a的取值范圍.

分析：方程是一元二次方程，并且是一個(gè)關(guān)于a的關(guān)系式，因此可以確定二次項(xiàng)的系數(shù)不為零，也就是3a-1≠0.這個(gè)隱含條件恰恰是解題的關(guān)鍵，需要同學(xué)們經(jīng)過仔細(xì)審題，思考題目中的每一句話來發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系和線索.另外，對錯(cuò)題的分析也可以幫助學(xué)生形成自己的解題策略.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大量的數(shù)學(xué)知識不斷地灌輸給學(xué)生，他們的大腦承擔(dān)了大量的信息.因此就難免會出現(xiàn)過而不及的現(xiàn)象.對此，做題的數(shù)量是一方面，更重要的是做題的質(zhì)量.學(xué)生每做一道題，要經(jīng)過多個(gè)步驟進(jìn)行消化吸收，才能形成自己的解題策略，并在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對題目的解答更順利.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對于學(xué)生的高中學(xué)習(xí)及高考有著重要的影響.而如何有效指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題策略直接關(guān)系著學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的提升.因此教師需要在高中剛開始的時(shí)候就為學(xué)生灌輸數(shù)學(xué)思想，形成正確的解題思路和良好的解題習(xí)慣.久而久之通過不斷的訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)解題策略的建立，讓高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路上具備堅(jiān)實(shí)的解題能力.