☉江蘇省儀征中學(xué) 鄧迎春

☉南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué) 張曉飛

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)背景下不等式證明策略探究

☉江蘇省儀征中學(xué) 鄧迎春

☉南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué) 張曉飛

函數(shù)與不等式證明相結(jié)合的綜合問(wèn)題在近幾年的高考試卷中大量出現(xiàn)，且常以壓軸題的形式出現(xiàn)，對(duì)考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力提出了更高的要求.通過(guò)對(duì)此類問(wèn)題的分析，不難發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的求解往往都需要適當(dāng)構(gòu)造“輔助函數(shù)”，通過(guò)研究輔助函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來(lái)實(shí)現(xiàn)解題的目的.但試題的命制過(guò)程中，命題者往往在所給函數(shù)與所證不等式關(guān)系的確定上設(shè)置障礙，使得原函數(shù)的性質(zhì)不易得到.而對(duì)學(xué)生來(lái)講，求解這類題目的關(guān)鍵則是對(duì)函數(shù)及所證的不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化變形，從而找到解題的思路.

一、標(biāo)準(zhǔn)解答

（1）求函數(shù)f（x）的最大值；

（2）證明：當(dāng)k∈N*且k≥2時(shí)＜lnk.

本題第（1）問(wèn)較為常規(guī)，利用導(dǎo)數(shù)即可順利求解.現(xiàn)將標(biāo)題答案展示如下：

解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）.

所以，當(dāng)k∈N*且k≥2時(shí)，

所以，當(dāng)k∈N*且k≥2時(shí)

學(xué)生看到第（2）問(wèn)時(shí)，不知從何入手.甚至在看到標(biāo)準(zhǔn)答案后仍感一頭霧水.本題設(shè)置兩問(wèn)，這兩問(wèn)之間必定存在某種關(guān)聯(lián).因此問(wèn)題求解的關(guān)鍵是探究出所證不等式與已知函數(shù)之間的關(guān)系，但本題二者之間的關(guān)系比較隱含，需要我們將函數(shù)或不等式進(jìn)行等價(jià)變形來(lái)尋找關(guān)聯(lián).具體探究如下.

二、策略探究

1.執(zhí)果索因，探究不等式成立條件

現(xiàn)以不等式的右半部的證明為例進(jìn)行分析如下：

2.特殊化，搭建橋梁關(guān)鍵一步

所以當(dāng)k∈N*且k≥2時(shí)

3.左右逢源，實(shí)現(xiàn)函數(shù)構(gòu)造轉(zhuǎn)化

所以，當(dāng)k∈N*且k≥2時(shí)，ln

4.由因?qū)Ч鞔_函數(shù)轉(zhuǎn)化方向

若從高視角審視問(wèn)題，題目中設(shè)置兩問(wèn)，理論上來(lái)講這兩問(wèn)之間必然存在某種聯(lián)系.

一般地，在利用第（1）問(wèn)的結(jié)論來(lái)求解第（2）問(wèn)時(shí)，需要根據(jù)第（2）問(wèn)的結(jié)構(gòu)特征對(duì)第（1）問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中要注意結(jié)構(gòu)上的差異，盡量求同存異，一步步向目標(biāo)靠攏.比如本例，也可取a＝2，則由第（1）問(wèn)得到ln2x＜2x-1，那么對(duì)于，就要令2x-1＝來(lái)進(jìn)行求解.

三、小試牛刀

（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）設(shè)m，n∈R+，且m≠n，求證：

本題第（1）問(wèn)，利用導(dǎo)數(shù)法直接求解如下：

因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立.

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由x2+（2-2a）x+1≥0，得2a-2≤x+

由（1）知g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又x＞1，所以h（x）＞h（1）＝0，即

問(wèn)題得證.

總之，通過(guò)對(duì)上述兩例的探究，不難發(fā)現(xiàn)，高考對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式綜合問(wèn)題的考查，既注重基礎(chǔ)，又重視能力.因此，訓(xùn)練中要重視基本題及其常用解題方法的訓(xùn)練，方能以不變應(yīng)萬(wàn)變.F