樊新海， 張傳清， 邱綿浩， 孫國(guó)強(qiáng)

(裝甲兵工程學(xué)院機(jī)械工程系， 北京 100072)

基于指數(shù)脈沖函數(shù)復(fù)調(diào)制的濾波器組設(shè)計(jì)

樊新海， 張傳清， 邱綿浩， 孫國(guó)強(qiáng)

(裝甲兵工程學(xué)院機(jī)械工程系， 北京 100072)

針對(duì)數(shù)字信號(hào)處理中濾波器組的設(shè)計(jì)問題，研究了指數(shù)脈沖函數(shù)的時(shí)域、頻域特點(diǎn)，通過對(duì)指數(shù)脈沖函數(shù)進(jìn)行修正，得到了易于應(yīng)用的時(shí)域表達(dá)式，給出了一種通過指定各子濾波器的中心頻率和帶寬，利用復(fù)調(diào)制手段設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器組的方法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了其有效性和實(shí)用性。

信號(hào)處理； 數(shù)字濾波器組設(shè)計(jì)； 指數(shù)脈沖函數(shù)； 復(fù)調(diào)制

在復(fù)雜信號(hào)處理中，常把信號(hào)分解為特定頻帶的子帶信號(hào)，但由于各子帶信號(hào)所包含信息的重要程度不同，因此對(duì)這些子帶信號(hào)進(jìn)行深入分析是一種有效的信號(hào)處理手段[1]。此時(shí)，需要設(shè)計(jì)濾波器組，并對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，如：通過設(shè)計(jì)Gammatone濾波器組，在語音信號(hào)處理中可以模擬人耳耳蝸基底膜的分頻作用[2-3]，在振動(dòng)信號(hào)處理中可以有效地提取齒輪系統(tǒng)側(cè)隙誘發(fā)的機(jī)械振動(dòng)沖擊特征[4]。筆者對(duì)指數(shù)脈沖函數(shù)的時(shí)域、頻域特點(diǎn)進(jìn)行研究，通過修正指數(shù)脈沖函數(shù)得到更加便于應(yīng)用的時(shí)域表達(dá)式，進(jìn)而給出一種利用復(fù)調(diào)制和沖激響應(yīng)不變法快速設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器組的方法。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 指數(shù)脈沖函數(shù)

因果的指數(shù)脈沖函數(shù)表達(dá)式為

f(t)=tne-atu(t)，a>0，n∈N，

(1)

式中：u(t)為單位階躍函數(shù)。由于因果信號(hào)在t<0時(shí)信號(hào)取值為0，而本文只研究t>0的情況，因此在后文的因果信號(hào)公式中均略去u(t)。

合理選擇n和a，可使得f(t)在時(shí)域或頻域具有良好的集中性。f(t)的傅里葉變換為

(2)

其模為

(3)

1.2 指數(shù)脈沖函數(shù)的修正

為了應(yīng)用方便，采用Fmax對(duì)f(t)進(jìn)行修正，將式(1)改寫為

f(t)=an+1tne-at/n!，a>0，n∈N，

(4)

相應(yīng)地，式(2)、(3)分別變?yōu)?/p>

(5)

(6)

這樣可保證在Ω=0處|F(Ω)|的最大值Fmax=1。

由圖1、3可見：f(t)關(guān)于峰值點(diǎn)是非對(duì)稱的，具有先單調(diào)快速增加到峰值后又單調(diào)緩慢遞減的波形特點(diǎn)，與具有一定持續(xù)時(shí)間和強(qiáng)度的脈沖信號(hào)非常相似，故常用于模擬脈沖信號(hào)；理論上，f(t)是無限長(zhǎng)的，只有當(dāng)t→∞時(shí)，才能使f(t)→0，但當(dāng)f(t)很小時(shí)，就可近似認(rèn)為f(t)=0；減小n或增大a可以增大f(t)的峰值，縮短達(dá)到峰值的時(shí)間和脈沖持續(xù)時(shí)間，提高時(shí)域集中性。

圖1 不同n時(shí)f(t)的波形(a=1)

圖2 不同n時(shí)的波形(a=1)

圖3 不同a時(shí)f(t)的波形(n=3)

圖4 不同a時(shí)的波形(n=3)

由圖2、4可見：f(t)的頻率成分主要集中在低頻段，如果把f(t)看作是一濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)，則該濾波器具有低通特性；增大n或減小a可以減小頻域帶寬，提高頻域集中性。f(t)的時(shí)寬和頻寬同樣滿足Heisenberg不定原理，不可能同時(shí)達(dá)到最小。

在a一定的情況下，n過大時(shí)，時(shí)寬較大；反之，頻寬較大。綜合來看，n=3較為理想，故本文取n=3，此時(shí)式(4)變?yōu)?/p>

f(t)=a4t3e-at/6，a>0，

(7)

相應(yīng)地，式(5)、(6)分別變?yōu)?/p>

(8)

(9)

Ωc=(21/4-1)1/2a=0.435a，

(10)

f(t)=0.291B4t3e-1.15Bt，B>0，

(11)

使得指數(shù)脈沖函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式完全取決于其頻域-3dB帶寬B。相應(yīng)地，式(8)、(9)分別變?yōu)?/p>

(12)

(13)

2 設(shè)計(jì)原理

2.1 復(fù)調(diào)制移頻

將式(11)與一復(fù)正弦函數(shù)ejΩ0t相乘，記為

g(t)=f(t)ejΩ0t=0.291B4t3e-1.15BtejΩ0t，

(14)

當(dāng)然，也可用cos(Ω0t)進(jìn)行余弦調(diào)制[5]。由傅里葉變換的頻移特性可知：時(shí)域上的復(fù)調(diào)制對(duì)應(yīng)頻域移位。由式(12)可直接得到g(t)的傅里葉變換為

(15)

其模為

(16)

相對(duì)于F(Ω)，G(Ω)頻譜的形狀不變，但中心頻率由0變?yōu)棣?，相當(dāng)于將F(Ω)平移至Ω0處，使G(Ω)具有帶通特性。因此，g(t)可看作中心頻率為Ω0、通帶為(Ω0-Ωc，Ω0+Ωc)的帶通濾波器。當(dāng)Ω0=10rad/s、B=2rad/s時(shí)，g(t)的實(shí)部gR(t)、虛部gI(t)和|G(Ω)|的波形分別如圖5-7所示。

圖5 gR(t)的波形

圖6 gI(t)的波形

圖的波形

2.2 濾波器組構(gòu)建

將式(14)改寫成

(17)

可得到一個(gè)由K個(gè)子濾波器組成，中心頻率和帶寬分別為Ωk、Bk的濾波器組，在信號(hào)處理中用于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜信號(hào)的子帶分解。如果保持Bk不變，則可實(shí)現(xiàn)恒帶寬濾波器組的設(shè)計(jì)；如果使Bk和Ωk之間存在某種特定的關(guān)系(如恒帶寬比)，則可設(shè)計(jì)特殊用途的濾波器組，甚至用來設(shè)計(jì)梳狀濾波器。

3 實(shí)現(xiàn)方法

gk(t)可近似為有限帶寬、因果的IIR濾波器，其數(shù)字實(shí)現(xiàn)方法可利用沖激響應(yīng)不變法：

(18)

式中：Ts為采樣時(shí)間間隔。

3.1 具體步驟

1)給定設(shè)計(jì)參數(shù)：子濾波器的個(gè)數(shù)K；采樣頻率fs，各子濾波器的中心頻率fk和帶寬bk(單位均為Hz)。由fk和bk分別得到中心頻率Ωk=2πfk和帶寬Bk=2πbk，k=1，2，…，K。

2)時(shí)間變量離散：給定濾波器的長(zhǎng)度N，Ts=1/fs，t=nTs，n=0，1，…，N-1。

3)計(jì)算濾波器組各子濾波器的包絡(luò)fk(n)、實(shí)部hR,k(n)和虛部hI,k(n)：

可見：基于指數(shù)脈沖函數(shù)復(fù)調(diào)制的濾波器組設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單快捷，計(jì)算量小，非常適用于濾波器組需要多次改變中心頻率和帶寬進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的場(chǎng)合。

3.2 注意事項(xiàng)

1)hk(n)是復(fù)解析的，如果使用實(shí)濾波器，可只計(jì)算hR,k(n)，但系數(shù)要乘以2，以保證實(shí)濾波器的幅頻特性通帶幅值為1。

2)當(dāng)fs一定時(shí)，N決定了濾波器的長(zhǎng)度，可事先給定一個(gè)較小的閾值，N的取值要保證fk(N)小于該閾值，以使fk(n)有充分的衰減。

3)由于hR,k(n)、hI,k(n)的外形包絡(luò)fk(n)關(guān)于極大值點(diǎn)是非對(duì)稱的，利用卷積運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波處理時(shí)，為了使輸出信號(hào)y(n)和輸入信號(hào)x(n)的長(zhǎng)度相同，需要計(jì)算fk(n)取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的位置，以3fs/(1.15Bk)取整后的取值為起點(diǎn)，從y(n)截取與x(n)相同長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)即可。

3.3 設(shè)計(jì)實(shí)例

圖8 恒帶寬濾波器組各子濾波器的實(shí)系數(shù)

圖9 恒帶寬濾波器組的幅頻特性

圖10 恒帶寬比濾波器組各子濾波器的實(shí)系數(shù)

圖11 恒帶寬比濾波器組的幅頻特性

由圖8-11可見：恒帶寬濾波器組由于各子濾波器帶寬相同，各子濾波器實(shí)系數(shù)的外形包絡(luò)也相同；而恒帶寬比濾波器組由于各子濾波器帶寬不同，各子濾波器實(shí)系數(shù)的外形包絡(luò)也不同。

4 結(jié)論

1)指數(shù)脈沖函數(shù)具有簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，合理選擇參數(shù)n和a的取值，可使之在時(shí)域或頻域具有較好的集中性。

2)取n=3，a=1.15B，經(jīng)過修正后得到的指數(shù)脈沖函數(shù)時(shí)域表達(dá)式完全取決于其頻域-3dB帶寬，參數(shù)物理意義明確，更加便于應(yīng)用。

3)濾波器的長(zhǎng)度N取值要足夠大，以保證濾波器系數(shù)有充分的衰減。

4)設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單易行，只需給定各子濾波器的中心頻率和帶寬，即可設(shè)計(jì)不同用途的濾波器組。

[1] 趙越,趙曉暉,董倩.基于子帶分解的自適應(yīng)回聲抵消算法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào),2009,39(1):198-203.

[2] 陳世雄,宮琴,金慧君.用Gammatone濾波器組仿真人耳基底膜特性[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào),2008,48(6):1044-1048.

[3] 胡峰松,曹孝玉.基于Gammatone濾波器的聽覺特征提取[J].計(jì)算工程,2012,38(21):168-170.

[4] 高洪波,李允公,于良會(huì),等.基于Gammatone濾波器組的齒輪系統(tǒng)側(cè)隙誘發(fā)沖擊特征[J].機(jī)械傳動(dòng),2015,39(3):23-26.

[5] 樊新海,劉相波,張麗霞,等.基于組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)[J].裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報(bào),2014,28(5):57-60.

(責(zé)任編輯: 尚彩娟)

Filter Bank Design Based on Complex Modulation of Exponential Pulse Function

FAN Xin-hai， ZHANG Chuan-qing, QIU Mian-hao， SUN Guo-qiang

(Department of Mechanical Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

In view of the problem of filter bank design in digital signal processing, characteristics in time domain and frequency domain of exponential pulse function are studied and wieldy expression of time domain is gained after modifying exponential pulse function. Then a method of digital filter bank design is presented using complex modulation by appointing the center frequency and bandwidth of each sub filter, and its validity and practicability are verified by examples.

signal processing; digital filter bank design; exponential pulse function; complex modulation

2016-06-20

樊新海(1973-)，男，副教授，博士。

TN713

：ADOI：10.3969/j.issn.1672-1497.2016.06.014

1672-1497(2016)06-0075-04