彭知南，朱培勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

關(guān)于S-亞緊空間的一些結(jié)果

彭知南，朱培勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

對(duì)S－亞緊空間的一些性質(zhì)進(jìn)行研究，得到如下一些結(jié)果:(1)拓?fù)淇臻gX是S－亞緊的當(dāng)且僅當(dāng)X的每一個(gè)定向開(kāi)覆蓋都有點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì).(2)設(shè)X，Y是拓?fù)淇臻g，f:X→Y是完備的優(yōu)柔映射.如果Y是S－亞緊的，則X也是S－亞緊的.(3)設(shè)X是一個(gè)S－亞緊空間，如果Y是緊空間，則X×Y也是S－亞緊空間.

S－亞緊空間；完備映射；優(yōu)柔映射；定向開(kāi)覆蓋；點(diǎn)有限半開(kāi)加細(xì)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

1963年，Levine.N引入半開(kāi)集的概念[1]，特別是半拓?fù)湫再|(zhì)和S-閉空間的引入，使得半開(kāi)集理論成為近代一般拓?fù)鋵W(xué)中較為活躍的專題。近年來(lái)，利用半開(kāi)集，從半覆蓋，類比緊性，出現(xiàn)了S-緊性.2006年，K.Y.AL-ZOUBI[2]引入了S-仿緊空間的概念并且對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了研究；2014年，文獻(xiàn)[3]在S-仿緊空間的基礎(chǔ)上提出了S-亞緊空間的概念，并且得到了一部分相關(guān)的性質(zhì)，但沒(méi)有給出在一般拓?fù)淇臻g下S-亞緊的等價(jià)刻畫(huà)。受這些啟發(fā)，本文對(duì)S-亞緊空間作了進(jìn)一步研究，給出了S-亞緊空間的一個(gè)等價(jià)刻畫(huà)，并且將S-仿緊空間的一些性質(zhì)有效的推廣到S-亞緊空間上，并討論它的性質(zhì)，得到了一些結(jié)果.

設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，集合A是X的子集，為了方便，本文用int(A)、cl(A)分別表示A的內(nèi)部與閉包，用SO(X)表示由X中所有的半開(kāi)集構(gòu)成的集族，并且?表示空集，N表示自然數(shù)集.

定義1 X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，集合A是X的一個(gè)子集，集合A稱為半開(kāi)集，如果在X中存在開(kāi)集U，使得U?A?cl(U)[1].

由上定義不難得到:A為半開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)A?cl(int(A)).

定義2 設(shè)ξ，η是X的子集族:

(1)η是ξ的部分加細(xì)，若?B∈η，?A∈ξ，使得B?A；

(2)η是ξ的加細(xì)，如果η是ξ的部分加細(xì)且∪η＝∪ξ[4]；

(3)設(shè)ξ＝{Aα｜α∈Λ}，稱η在點(diǎn)x∈X是點(diǎn)有限的，若{α∈Λ｜x∈Aα}是有限的；

(4)稱ξ在X上是點(diǎn)有限的，如果ξ在每一個(gè)點(diǎn)x∈X是點(diǎn)有限的.

定義3 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，X稱為S-亞緊空間，如果X的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都有一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)[3].

定義4 設(shè)(X，T)，(Y，M)都是拓?fù)淇臻g，f:X→Y是一個(gè)映射:

(1)f稱為完備(Perfect)的映射[5]，如果f是一個(gè)連續(xù)閉映射，并且對(duì)于任意的y∈Y，有f－1(y)是X的緊子集；

(2)f稱為優(yōu)柔映射[6]，如果對(duì)于任意的G∈SO(Y，M)，有f－1(G)∈SO(X，T).

引理5 設(shè)A是拓?fù)淇臻g上的開(kāi)集，V∈SO(X，T)，則A∩V∈SO(X，T)[6].

定義6 設(shè)X為拓?fù)淇臻g，U為X的一個(gè)覆蓋，稱U為X的一個(gè)定向覆蓋，如果任意的有限子集族V?U，有∪V∈U[7].

拓?fù)淇臻gX稱為是T2空間[7]，若X中任意兩個(gè)不同點(diǎn)x與y，存在U∈U(x)，存在V∈U(y)，使得U∩V＝φ.此外，本文所涉及到的其他概念和符號(hào)，如果沒(méi)有特別聲明都來(lái)自于文獻(xiàn)[4]與文獻(xiàn)[7-17].

2 主要結(jié)果及證明

首先，在之前一些學(xué)者對(duì)仿緊、亞緊，S-仿緊、S-亞緊等空間的刻畫(huà)性質(zhì)廣泛研究的基礎(chǔ)上，類似地，給出S-亞緊空間的一個(gè)刻畫(huà)，性質(zhì)如下:

定理1 一個(gè)拓?fù)淇臻gX是S-亞緊的當(dāng)且僅當(dāng)X的每一個(gè)定向開(kāi)覆蓋都有點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì).

證明 (充分性)設(shè)U＝{Uα｜α∈Λ}為X的一開(kāi)覆蓋，UF＝{∪α∈σUα｜σ∈[Λ]＜ω}，其中[Λ]＜ω表示Λ的所有有限子集的集族，則UF是X的定向開(kāi)覆蓋.由已知，UF有一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)V＝{Vσ｜σ∈[Λ]＜ω}，合于σ∈[Λ]＜ω有Vσ?∪α∈σUα.

是U的一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì).

事實(shí)上，任意的σ∈[Λ]＜ω，α∈σ，因?yàn)閂σ∩Uα?Uα，并且

所以，H是X的一個(gè)覆蓋.又因?yàn)閂σ，Uα都是半開(kāi)集，由上面引理5，Vσ∩Uα是一個(gè)半開(kāi)集，從而H是U的半開(kāi)加細(xì).

事實(shí)上，對(duì)于任意的α∈Λ且Vσ∩Uα∈(H)x，則x∈Vσ∩Uα且α∈σ，因?yàn)閤∈Vσ故存在i0(1≤i0≤k)有σ＝σi0，所以，α∈σ＝σi0?∪ki＝1σi.從而，(*)式得證.

(必要性)由定義可直接得到.□

再者，對(duì)于S-仿緊空間，具有完備映射下逆保持的性質(zhì)，同樣，在S-亞緊空間中也得到了類似的性質(zhì)如下:

定理2 設(shè)X，Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y是完備(perfect)的優(yōu)柔映射.如果Y是S-亞緊的，則X也是S-亞緊的.(即在完備映射下S-亞緊是逆保持的)

證明 設(shè)U為X的任一定向開(kāi)覆蓋，由已知，任意的y∈Y，有f－1(y)是X的緊子集，從而f－1(y)?X＝∪U，所以，存在又因?yàn)閁是定向的，所以，

即，存在U∈U使得f－1(y)?U.

由文獻(xiàn)[5]中的定理[Theorem 1.4.13]，存在開(kāi)集Vy∈U(y)，使得f－1(Vy)?U，再由Y的S-亞緊性，Y的開(kāi)覆蓋

事實(shí)上，任意的x∈X，記y＝f(x)∈Y，因?yàn)閃是點(diǎn)有限的，有Δ＝{t∈T｜y∈Wt}為非空有限集，又因?yàn)閥∈Wt，則x∈f－1(y)?f－1(Wt)，并且

因此，{t∈T｜x∈f－1(Wt)}是非空有限集.從而，H是點(diǎn)有限的.

此外，對(duì)于任意的t∈T，因?yàn)閃是{Vy｜y∈Y}的加細(xì)，則存在yt∈Y，有Wt?Vyt.由Vyt的取法，存在U∈U使得f－1(Vyt)?U，故f－1(Wt)?f－1(Vyt)?U.即W是U的部分加細(xì).又因?yàn)椤菻，從而W是U的一個(gè)加細(xì).

由于f:X→Y是優(yōu)柔映射，所以，f－1(Wt)為X中的半開(kāi)集。

從而，U有一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)H＝{f－1(Wt)｜t∈T }.再由定理1可得，X是S-亞緊的.□

另外，在一般拓?fù)淇臻g中，如仿緊空間、S-仿緊空間中，都有很好的乘積性質(zhì)，利用上面的定理2，我們可以得到下面乘積性結(jié)論是成立的:

推論3 設(shè)X是一個(gè)S-亞緊空間，如果Y是緊空間，則X×Y也是S-亞緊空間.

證明設(shè)PX:X×Y→X是投影映射，因?yàn)?，投影映射是連續(xù)映射，再由定理2，所以下面只需證明:投影映射PX是一個(gè)完備的優(yōu)柔映射.

事實(shí)上，對(duì)于任意的A∈SO(X)，存在X中的開(kāi)集G，使得G?A?，則

即，存在X×Y中的開(kāi)集O＝G×Y，使得θ?Px－1(A)＝A×Y?.因此，

再由文獻(xiàn)[5]中的定理[Theorem 3.7.1]，PX還是一個(gè)完備映射.

所以，PX:X×Y→X是一個(gè)完備優(yōu)柔映射.由定理2 X×Y是一個(gè)S-亞緊空間.□

進(jìn)一步地，為了得到后面的結(jié)果定理5，先給出如下引理:

引理4 Y是拓?fù)淇臻gX的開(kāi)子空間，A是Y的半開(kāi)集，當(dāng)且僅當(dāng)存在X中的半開(kāi)集A′，使得A＝A′∩Y[16].

定理5 設(shè)X是一個(gè)S-亞緊空間，Y是X的開(kāi)子空間且Y是半閉集，則Y是一個(gè)S-亞緊空間.

證明 設(shè)V＝{Vλ｜λ∈Λ}是X的子空間Y的定向開(kāi)覆蓋，由于存在X的半開(kāi)集族U＝{Uλ｜λ∈Λ}，使得Vλ＝Y(jié)∩Uλ(由引理5的必要性可得)，又由于Y是半閉集，故X－Y及U＝{Uλ｜λ∈Λ}組成X的半開(kāi)覆蓋。既然X是一個(gè)S-亞緊空間，則存在一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)W＝{Wt｜t∈Γ}.于是，{Y∩Wt｜t∈Γ}是{Vλ｜λ∈Λ}的Y的點(diǎn)有限半開(kāi)加細(xì)(由引理5的充分性可得)。再由定理1，所以，Y是一個(gè)S-亞緊空間?！?/p>

強(qiáng)(次強(qiáng))連續(xù)、強(qiáng)(次強(qiáng))半開(kāi)、強(qiáng)(次強(qiáng))同胚映射的概念見(jiàn)文獻(xiàn)[17].

定理6 設(shè)f是S-亞緊空間X到拓?fù)淇臻gY上的一一的、半連續(xù)、次強(qiáng)半開(kāi)的映射，則Y為S-亞緊空間.

證明 設(shè)B為Y的任意的定向開(kāi)復(fù)蓋，對(duì)于B∈B，由f是半連續(xù)的，f－1(B)為X中的半開(kāi)集，則A＝{f－1(B)｜B∈B}是X的開(kāi)復(fù)蓋。于是存在A1為X的點(diǎn)有限的半開(kāi)復(fù)蓋，且為A的加細(xì)。令B1＝{f(A)｜A∈A1}.因f為半開(kāi)的，f(A)為Y中的半開(kāi)集，下證{f(A)｜A∈A1}為Y中的點(diǎn)有限族。?y∈Y，因f是X到拓?fù)淇臻gY上的映射，?x∈X，使f(x)＝y(tǒng)，由A1為點(diǎn)有限族，故存在包含x的開(kāi)集U與A1中至多有限個(gè)元素相交，對(duì)于A∈A1，如果A∩U＝?，由于f為一一的，f(A)∩f(U)＝f(A∩U)＝?。再因f為開(kāi)的，所以，在Y中有包含f(x)的開(kāi)集f(U)至多與{f(A)｜A∈A1}中有限個(gè)元素相交.這樣，B1＝{f(A)｜A∈A1}為Y的點(diǎn)有限的半開(kāi)復(fù)蓋，且為B的加細(xì)。故Y為S-亞緊空間?！?/p>

由于次強(qiáng)連續(xù)映射是半連續(xù)的，不難得到如下結(jié)果:

推論7 S-亞緊性是次強(qiáng)同胚映射下的不變性質(zhì).

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(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽(yáng)，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Some results on the S-metacompact space

PENG Zhi-nan，ZHU Pei-yong
(School of Mathematical Sciences，UESTC，Chengdu 611731，P.R.C.)

Some properties of the S-metacompact space are studied.The results are obtained as follows:(1)The topological space X is S-metacompact，if and only if each directed open cover of X has a point finite semi-open refinement.(2)Suppose that X，Y are topological space，f:X?Y is perfect irresolute mapping，if Y is S-metacompact，such that X is S-matecompact.(3)Suppose Y is an S-matecompact space，if Y is a compact space，then X×Y is also an S-matecompact space.

S-matacompact space；perfect mapping；irresolute mapping；directed open cover；point finite semi-open refinement

O189

A

2095-4271(2016)06-0692-04

10.11920/xnmdzk.2016.06.017

2015-10-19

彭知南(1991-)，男，漢族，碩士研究生.Email:pengzhinan5872＠163.com.

朱培勇(1956-)，男，四川自貢人，教授，博導(dǎo).研究方向:拓?fù)鋵W(xué)與混沌理論研究.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11501391)