計(jì) 偉，張珺銘

(貴州建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽 551400)

GF-空間上Nash平衡的存在性結(jié)果

計(jì) 偉，張珺銘

(貴州建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽 551400)

在抽象凸空間中，給出GF-空間和強(qiáng)Fan-Browder不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的定義，并且在GF-空間中，應(yīng)用抽象函數(shù)代替實(shí)值函數(shù)作為博弈支付函數(shù)，構(gòu)造GF-空間中博弈模型，應(yīng)用強(qiáng)Fan-Browder不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)證明GF-空間上博弈模型Nash均衡點(diǎn)的存在性.同時(shí)也證明了在度量空間和緊拓?fù)淇臻g上的閉值KKM映射具有有限交性質(zhì).

GF－空間；Nash平衡點(diǎn)；不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)；博弈模型

1944年，von Neumann和Morgenstern合作出版了《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》一書，宣告博弈論正式誕生. 1950年，Nash應(yīng)用集值映射的Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明了n人博弈均衡點(diǎn)的存在性，1951年，他又應(yīng)用連續(xù)映射的Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理證明了非合作博弈均衡點(diǎn)的存在性.之后，博弈論的研究非?；钴S，取得了許多重要成果，并且先后在1994年、1996年、2001年、2005年、2007年和2012年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了從事博弈論研究和應(yīng)用的學(xué)者.可以說，博弈思想與方法的應(yīng)用廣泛而深刻，因?yàn)樗橄蟮胤治隽死鏇_突問題，而且成為經(jīng)濟(jì)學(xué)、人文科學(xué)、社會(huì)科學(xué)普遍認(rèn)可的、充滿生機(jī)活力的工具和語言，同時(shí)也展示了數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)、人文科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的交叉與融合[1－7].

1 預(yù)備知識(shí)

首先，介紹如下引理.

引理1.1 設(shè)Y為線性拓?fù)淇臻g中的某一列緊凸子集，Δn＝e0e1…en為一標(biāo)準(zhǔn)單純型，p:Y→Δn為連續(xù)的單純型映射，F(xiàn):Δn→2Y上半連續(xù)且非空閉凸值，則p°F:Δn→2Δn存在不動(dòng)點(diǎn).

定義1.1 設(shè)Y為拓?fù)淇臻g，Δn＝e0e1…en為一標(biāo)準(zhǔn)單純型，F(xiàn):Δn→2Y，如果對(duì)每一連續(xù)的單純型映射p:Y→Δn，:Δn→2Δn在單純型Δn中具有不動(dòng)點(diǎn)，則稱F關(guān)于單純型映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì).

由引理1.1及定義1.1，若Y為線性拓?fù)淇臻g中的某一列緊凸子集，則任意上半連續(xù)、非空閉凸值映射F:Δn→2Y關(guān)于任一單純型映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì).

則稱(Y，C)為GF－空間.

由引理1.1及定義1.2，可推出如下結(jié)論[8－12].

命題1.1 若Y為賦范空間的某一緊凸子集，C為Y上的某一抽象凸結(jié)構(gòu)，q:Δn→2Y上半連續(xù)、非空閉凸值，且滿足:

則(Y，C)為GF－空間.

定義1.3 設(shè)(Y，C)為抽象凸空間且Y為拓?fù)淇臻g，稱Y具有Fan－Browder不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，如果對(duì)任意的非空凸值且開逆值的映射F:Y→2Y，F(xiàn)在Y中存在不動(dòng)點(diǎn).

定義1.4 設(shè)X是一個(gè)Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，C是X中的非空子集，如果對(duì)任意的x∈C，對(duì)任意的λ＞0，都有λx∈C，則稱C是X中的一個(gè)錐，此時(shí)必有λC＝C.如果錐C是閉集，則稱C是閉錐，此時(shí)必有0∈C.如果錐C是凸集，則稱C是凸錐，此時(shí)必有C＋C＝C.如果C是錐，且對(duì)任意的x∈C{0}，必有－x?C，則稱C是尖錐.

定義1.5 設(shè)X，Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，K是X中的一個(gè)非空子集，集值映射F:K→P0(Y)，x∈K，若對(duì)任何Y中的開鄰域G，滿足G?F(x)，都存在x在X中的開鄰域O(x)，使得對(duì)任意的x'∈O(x)都有F(x')?G，則稱F在x處是上半連續(xù)的，如果F在K上每一點(diǎn)均是上半連續(xù)的，則稱F在K上是上半連續(xù)的；若對(duì)任何Y中的開鄰域G，滿足G∩F(x)≠?，都存在x在X中的開鄰域O(x)，使得對(duì)任意的x'∈O(x)都有F(x')∩G≠?，則稱F在x處是下半連續(xù)的；如果F在K上每一點(diǎn)均是下半連續(xù)的，則稱F在K上是下半連續(xù)；

若F在x處既上半連續(xù)又下半連續(xù)，則稱F在x處是連續(xù)的，如果F在K上每一點(diǎn)均是連續(xù)的，則稱F在K上是連續(xù)的[13－15].

2 主要結(jié)論

定理2.1 設(shè)(Y，C)為GF－空間，Y為度量空間，F(xiàn):Y→2Y為一閉值的KKM映射，則{F(y):y∈Y}具有有限交性質(zhì).

證明:用反證法.設(shè)F:Y→2Y為一閉值的KKM映射，若{F(y):y∈Y}不具有有限交性質(zhì)，則存在某一有限集于是作單位分解如下:

由(Y，C)為GF－空間，于是存在q:Δn→2Y關(guān)于單純型映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，且滿足:

因?yàn)榫o空間的開覆蓋一定存在單位分解，因此定理2.1中Y為度量空間，也可以改為緊拓?fù)淇臻g，即有下述結(jié)果.

定理2.2 設(shè)(Y，C)為GF－空間，Y為緊拓?fù)淇臻g，F(xiàn):Y→2Y為一閉值的KKM映射，則{F(y):y∈Y}具有有限交性質(zhì).

定義2.3 設(shè)(Y，C)為抽象凸空間且Y為拓?fù)淇臻g，稱Y具有強(qiáng)Fan－Browder不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，如果對(duì)任意的非空弱凸值且開逆值的映射F:Y→2Y，F(xiàn)在Y中存在不動(dòng)點(diǎn).

由定理2.2，可得如下結(jié)論.

定理2.3 設(shè)(Y，C)為GF－空間，且Y為緊拓?fù)淇臻g，則Y具有具有強(qiáng)Fan－Browder不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì).

下面給出引理2.1的一個(gè)推廣結(jié)果(參見文獻(xiàn)[10]引理2.9.3).

引理2.2 設(shè)Y為緊拓?fù)淇臻g，Δn＝e0e1…en為一標(biāo)準(zhǔn)單純型，p:Y→2Δn連續(xù)的單純型映射，F(xiàn):Δn→2Y上半連續(xù)且非空緊可縮值的(即對(duì)每一y∈Y，F(xiàn)(y)是一緊可縮的集合)，則p°F:Δn→2Δn存在不動(dòng)點(diǎn).

由引理2.2及定義2.2，可推出如下結(jié)論.

命題2.2 設(shè)(Y，C)為抽象凸空間且Y為緊拓?fù)淇臻g，對(duì)每個(gè)有限集e0e1…en為一標(biāo)準(zhǔn)單純型，若存在q:Δn→2Y上半連續(xù)、非空閉凸值，且滿足:

則(Y，C)為GF－空間.

為了方便討論，我們把滿足上述條件的GF－空間定義為GF0-空間.

則稱(Y，C)為GF0－空間.

對(duì)于抽象凸空間來說，下述命題及其證明將說明上半連續(xù)集值映射比較容易構(gòu)造.

命題2.3 設(shè)(Y，C)是一個(gè)抽象凸空間，對(duì)每一個(gè)有限集標(biāo)準(zhǔn)單純型，定義q:Δn→2Y如下:

則q:Δn→2Y上半連續(xù)、非空凸值，且滿足:

下面考慮如下博弈模型:

設(shè)E為Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，C為E中某一個(gè)閉凸尖錐.

(1)設(shè)N＝{1，2，…，n}為局中人集合；

(2)對(duì)任意?，局中人i的策略集為Xi，×為策略組合空間，其中(Xi，C)、(X，C)為GF－空間；

(3)對(duì)局中人X，定義向量值支付函數(shù)為映射fi:

則稱x*∈x為博弈Γ的Nash平衡點(diǎn).

下面給出GF－空間中Nash平衡的存在性結(jié)果.

定理2.4 設(shè)博弈為Γ＝{N；X；E，C；f1，f2，…，fn}，且滿足:

(1)對(duì)任意的i∈N，Xi是緊GF－凸集；

(2)對(duì)任意的i∈N，fi在X上上半連續(xù)；

(3)對(duì)任意的i∈N，對(duì)任意xi∈Xi，fi(xi，x－i)在X－i上是下半連續(xù)的；

(4)對(duì)任意的i∈N，對(duì)任意x－i∈X－i，xi→fi(xi，x－i)在Xi上是GF－擬凹.

則:博弈Γ存在Nash平衡點(diǎn).

[1]NEUMANN J VON，MORGENSTERN.博弈論與經(jīng)濟(jì)行為[M].王文玉，譯.北京:生活·讀書·新知三聯(lián)書店，2004.

[2]NATH J.Equilibrium points in N-person games[J].proceedings of the National Academic of Sciences，USA，1950，36:48-49.

[3]NATH J.Non cooperative Games[J].Annals of Math，1951，54:286-295.

[4]俞建.博弈論與非線性分析續(xù)論[M].北京:科學(xué)出版社，2011.

[5]俞建.博弈論選講[M].北京:科學(xué)出版社，2014.

[6]BLACKWELL D.An Analog of the Minimax Theorem for Vector payoffs [J].Pac J Math，1956，6:1-8.

[7]XIANG S W，Yang H，Some properties of abstract convexity structures on topological spaces[J].Nonlinear Analysis，2007，67:803-808.

[8]XIANG S W，XIA S Y，CHEN J.KKM lemmas and minimax inequality theorems in abstract convexity spaces[J].Fixed point theory and application，2013，209(12):19-21.

[9]JIA W S，XIANG S W，HE J H，et al.Existence and stability of weakly Pareto-Nash equilibrium for generalized multiobjective multi-leader–follower games[J].Journal of Global Optimization，2015，61(2):19-22.

[10]YUAN X Z.KKM Theory and Application in Nonlinear Analysis[M]. New York:Marcel Dekker Inc，1999.

[11]俞建，袁先智.樊畿不等式及其在博弈論中的應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2015，1:59-68.

[12]PARK S.A genesis of general KKM theorems for abstract convex spaces[J].J Nonlinear Anal Optim，2011，2(1):121-132.

[13]計(jì)偉，不具支付函數(shù)的博弈平衡研究[D].貴陽:貴州大學(xué)，2012.

[14]SULIMAN AL-HOMIDAN，QAMRUL HASAN ANSARI.fixd point theorems on product topological semilattice spaces，generalized abstract economies and systems of generalized vector quasi-equilibrum problems [J].Taiwanese joural of mathematics，1996，25:291-306.

[15]俞建.博弈論與非線性分析[M].北京:科學(xué)出版社，2008.

(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Result of Nash equilibrium existence in GF-space

JI Wei，ZHANG Jun-ming
(Guizhou Polytechnic of Construction，Guiyang 551400，P.R.C.)

In the abstract convex space，the definitions of GF－space and property of strong Fan-Browder fixed point are given. And in GF－space，real value function is used，instead of abstract function，as game pay function to construct game model in GF space.The property of Strong Fan-Browder fixed point is used to prove the existence of Nash Equilibrium Point of game model in GF-Space and the property of finite commutation of the closed KKM mapping is proved in metric space and compact space.

GF－space；Nash equilibrium；property of fixed point；game model

O225

A

2095-4271(2016)06-0688-04

10.11920/xnmdzk.2016.06.016

2016-04-17

計(jì)偉(1984-)，男，漢族，貴州遵義人，助教.研究方向:博弈論與非線性分析、最優(yōu)化理論與方法研究.E-mail:jiwei10000＠126.com