郝潤(rùn)霞,袁帥,趙根田

內(nèi)蒙古科技大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院,內(nèi)蒙古包頭014010

基于離散變量GA-APSO算法的鋼結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析

郝潤(rùn)霞,袁帥*,趙根田

內(nèi)蒙古科技大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院,內(nèi)蒙古包頭014010

本文針對(duì)遺傳算法和粒子群算法收斂早熟、局部搜索能力差等缺點(diǎn)，在改進(jìn)速度與位置更新算子函數(shù)的粒子群算法的基礎(chǔ)上，插入了遺傳算法的交叉和變異算子，提出了一種新的啟發(fā)式現(xiàn)代混合算法——遺傳-加速粒子群混合算法(GA-APSO)。該算法可以很好的跳出局部最優(yōu)，擴(kuò)大搜索域范圍，提高收斂速度進(jìn)而得到更合理的最優(yōu)解。并基于離散變量將映射函數(shù)插入GA-APSO算法中，衍生出一種基于離散變量的GA-APSO算法，以一榀框架為算例通過(guò)與基于離散變量的APSO算法進(jìn)行對(duì)比分析，證明了該衍生算法對(duì)于檢索截面數(shù)據(jù)庫(kù)中型鋼規(guī)格自動(dòng)選取具有一定的適用性。

GA-APSO算法;鋼結(jié)構(gòu);優(yōu)化設(shè)計(jì)

當(dāng)下的科學(xué)技術(shù)處于一個(gè)相互交叉、滲透和影響的時(shí)代。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)規(guī)劃和運(yùn)籌學(xué)一直是非?；钴S的領(lǐng)域。它們能與實(shí)際工程問(wèn)題聯(lián)系到一起通過(guò)計(jì)算機(jī)達(dá)到多學(xué)科相互聯(lián)系的目的。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的產(chǎn)生與發(fā)展正是將工程、力學(xué)、數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用等領(lǐng)域交叉結(jié)合的產(chǎn)物。鋼框架結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)越來(lái)越受到研究人員的重視，在過(guò)去的幾十年里國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者將不同的優(yōu)化技術(shù)和算法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化中。鋼框架結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的是在保證滿足相關(guān)規(guī)范的約束下，以改變鋼構(gòu)件截面尺寸的方式使得鋼框架的整體自重達(dá)到最輕，從而擁有更好的經(jīng)濟(jì)性。

其中粒子群算法(Particle Swarm Optimization)[1]是Kennedy和Eberhart在1995年提出的一種啟發(fā)式智能優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[2]提出了一種連續(xù)變量的加速粒子群算法(Acceleration based Particle Swarm Optimization)，該算法相比傳統(tǒng)的粒子群算法，具有收斂快、不容易早熟等特點(diǎn)[3]。但是在實(shí)際的工程優(yōu)化問(wèn)題中往往伴隨著設(shè)計(jì)變量離散性、約束條件非線性、不可微性等等，這些特性決定了工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題上的復(fù)雜性[4]。本文將加速粒子群算法和另一種啟發(fā)式算法——遺傳算法（Genetic Algorithms）[5]相結(jié)合，提出一種混合算法：即粒子群遺傳混合算法（GA-APSO Algorithms）。它在APSO算法的基礎(chǔ)上，插入了GA算法的交叉和變異算子提高了粒子群算法的全局搜索性能；通過(guò)對(duì)APSO算法的速度更新公式的改進(jìn)提高算法的收斂速度；并且通過(guò)將離散變量映射成連續(xù)函數(shù)的方法，使其可以與數(shù)據(jù)庫(kù)中的截面尺寸進(jìn)行匹配從而達(dá)到在優(yōu)化設(shè)計(jì)中快速自選最優(yōu)截面的目的。

1 離散變量的GA-APSO混合算法

1.1 GA-APSO混合算法的基本原理

遺傳-粒子群混合算法（GA-APSO）在APSO算法的基礎(chǔ)上保留了粒子群算法的搜索速度快、算法簡(jiǎn)單和適用于實(shí)值型問(wèn)題處理等優(yōu)點(diǎn)；插入了遺傳算法中的交叉和變異算子增加了算法的搜索能力，進(jìn)一步提高了種群的多樣性，從而減小了兩種算法共有的早熟等問(wèn)題出現(xiàn)的概率。其基本流程如下:

步驟1：根據(jù)式（1）初始化一個(gè)規(guī)模為n的粒子群，設(shè)定其為初始粒子群。

式中n為粒子群中粒子的個(gè)數(shù)；Ub(i)、Lb(i)為每個(gè)粒子中第i個(gè)個(gè)體的上下限值；rand(1)為服從[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

步驟2：根據(jù)式（2）罰函數(shù)[6]公式對(duì)每個(gè)粒子的適應(yīng)度值進(jìn)行計(jì)算。

式中F(x,M)為罰函數(shù)，M為罰因子，為一正常數(shù)；Wb(x)為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)；g(x)為優(yōu)化問(wèn)題的不等式約束條件。

步驟3：對(duì)每個(gè)粒子將其適應(yīng)度值和其目前的最佳位置pbesti的適應(yīng)度值進(jìn)行比較，若較小，則將其作為目前最佳位置。

步驟4：對(duì)每個(gè)粒子將其適應(yīng)度值和其全搜索空間的最佳位置gbesti的適應(yīng)度值作比較，若較小，則將其作為全搜索空間最佳位置。

步驟5：根據(jù)式（3）和式（4）分別對(duì)粒子的位置和速度進(jìn)行更新。

其中c1和c2為學(xué)習(xí)因子一般取2，r1和r2為相互獨(dú)立的偽隨機(jī)數(shù)，服從[0,1]上的均勻分布，x為壓縮系數(shù)；ω和Φ為權(quán)重系數(shù)；fmax、fmin和favg分別為粒子解的最大、最小和平均值。

步驟6：對(duì)更新后的粒子群進(jìn)行交叉重組和變異處理。

步驟7：對(duì)變異后的粒子種群進(jìn)行適應(yīng)度計(jì)算，取得局部最佳位置pbest和目前最佳位置gbest，若gbest滿足終止條件則輸出解fitness；返回步驟5。

1.2 離散變量的GA-APSO算法

雖然連續(xù)型GA-APSO混合算法可以使用在大多數(shù)的工程優(yōu)化問(wèn)題中。但是還有一些工程的設(shè)計(jì)變量是離散型的，如在框架結(jié)構(gòu)中使用熱軋型鋼，這就需要優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量的解與型鋼庫(kù)里的型號(hào)進(jìn)行對(duì)應(yīng)。而這種情況是連續(xù)型GA-APSO算法所不能實(shí)現(xiàn)的，于是在連續(xù)性的GA-APSO算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)得到了離散變量型的GA-APSO算法。

文獻(xiàn)[7]對(duì)文獻(xiàn)[8]的方法針對(duì)等步長(zhǎng)的離散變量問(wèn)題進(jìn)行了改進(jìn)，即將連續(xù)設(shè)計(jì)變量取為最接近的等步長(zhǎng)離散變量，表達(dá)式如下：

然后將每一個(gè)設(shè)計(jì)變量同給定的取值進(jìn)行比較，取其最為接近的變量為該變量的給定離散變量。該方法對(duì)于連續(xù)等步長(zhǎng)的獨(dú)立的離散變量問(wèn)題擁有很好的使用性。

但是對(duì)于給定的數(shù)據(jù)庫(kù)中的離散變量的組合是無(wú)規(guī)律的，這就需要對(duì)優(yōu)化出來(lái)的離散變量進(jìn)行映射函數(shù)處理。由于本文是鋼框架，對(duì)于其結(jié)構(gòu)的特性，采用主控變量，對(duì)于鋼框梁而言以強(qiáng)軸慣性矩為主控變量；對(duì)以鋼框柱來(lái)說(shuō)，將柱截面的截面面積作為主控變量；針對(duì)鋼框梁和鋼框柱分別編寫兩組映射函數(shù)，具體表達(dá)式如下：

離散變量的GA-PSO算法的步驟如下：

步驟1：初始化一個(gè)規(guī)模為pop的粒子群，設(shè)定初始位置和初始速度；

步驟2：對(duì)每個(gè)粒子進(jìn)行適應(yīng)度值的計(jì)算；

步驟3：對(duì)每個(gè)粒子將其適應(yīng)度值和其目前的最佳位置pbesti的適應(yīng)度值進(jìn)行比較，若較小，則將其作為目前最佳位置；

步驟4：對(duì)每個(gè)粒子將其適應(yīng)度值和其全搜索空間的最佳位置gbesti的適應(yīng)度值作比較，若較小，則將其作為全搜索空間最佳位置；

步驟5：根據(jù)式（3）和式（4）分別對(duì)粒子的位置和速度進(jìn)行更新；

步驟6：對(duì)更新后的粒子群隨機(jī)進(jìn)行交叉重組和變異處理從而產(chǎn)生新的種群；

步驟7：根據(jù)式（10）對(duì)變異后的粒子群的進(jìn)行變量離散和數(shù)據(jù)庫(kù)匹配；

步驟8：對(duì)匹配后的粒子群的每個(gè)粒子進(jìn)行適應(yīng)度計(jì)算，若滿足終止條件則輸出解fitness，否則進(jìn)行步驟5。

離散變量GA-PSO算法的流程圖見(jiàn)圖1。

將變量離散化的函數(shù)用于GA-PSO算法的求解適應(yīng)度函數(shù)值之前，以保證離散后的變量能滿足約束條件的要求；這種取值方法不是向上取整,而是將其直接與離散值進(jìn)行靠攏,更有利于更快地得出問(wèn)題的解；該方法不存在匹配后不滿足約束條件的情況，避免了驗(yàn)算約束條件再匹配的復(fù)雜計(jì)算循環(huán)。

圖1 基于離散變量的GA-PSO算法流程圖Fig.1 The process of GA-PSO algorithm with discrete variables

2 鋼結(jié)構(gòu)優(yōu)化算例

本章使用離散變量的GA-PSO算法工具箱對(duì)兩個(gè)算例進(jìn)行優(yōu)化分析，本算例中所使用的型鋼數(shù)據(jù)庫(kù)為SAP2000v15中中國(guó)規(guī)范的GB、JG涉及熱軋H型鋼共計(jì)60種尺寸，并將優(yōu)化后的結(jié)果與基于離散變量的APSO優(yōu)化算法優(yōu)化后的用鋼量進(jìn)行對(duì)比。

2.1 優(yōu)化計(jì)算數(shù)學(xué)模型

對(duì)于非線性約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模[9]型可表示為：

式中：f(x)為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，在解鋼結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中往往是構(gòu)件的截面面積、用鋼量、總造價(jià)等；x為設(shè)計(jì)變量，一般為結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面尺寸；gj(x)和hi(x)分別為不等式約束條件和等式約束條件。

根據(jù)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50017-2003)[10]得到鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件的目標(biāo)函數(shù)和約束條件[11]如下：

式中Wb鋼構(gòu)件的總重量；DS鋼材密度；Vbi鋼構(gòu)件的體積；fbi鋼構(gòu)件i在最不利荷載工況下的計(jì)算應(yīng)力；f相應(yīng)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；vbi鋼構(gòu)件i在最不利荷載工況下的計(jì)算撓度；[v]設(shè)計(jì)撓度限值；φ0構(gòu)件的整體穩(wěn)定系數(shù)；b1翼緣板外伸寬度；t1翼緣板厚度；h0截面高度；tw腹板厚度；T根據(jù)不同情況[3]所取得局部穩(wěn)定系數(shù)。

3 算例1

如圖2所示，該算例為5層單榀框架；軸距5 m；層高2.6 m；樓面恒載30 kN/m；梁柱采用Q345B級(jí)鋼；樓面活載6.25 kN/m；屋面恒載35 kN/m；屋面活載5 kN/m；荷載組合1.2恒+1.4活。模型由SAP2000建模并賦值計(jì)算，梁柱的最大內(nèi)力見(jiàn)表1；SAP和優(yōu)化工具箱優(yōu)化后的尺寸見(jiàn)表2。

表1 構(gòu)件最大內(nèi)力Table 1 The maximum internal force

表2 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 2 Contrast after optimization

由表2可知，基于離散變量的GA-APSO優(yōu)化工具箱求解得到的截面尺寸的應(yīng)力比比離散變量的APSO算法所得到的穩(wěn)定應(yīng)力比要小，這是因?yàn)樵谛弯撔吞?hào)改變的情況下結(jié)構(gòu)自重有所變化而導(dǎo)致的；通過(guò)總重量，證明離散變量的GA-APSO優(yōu)化工具箱的解的截面屬性利用的更充分；由圖3可知離散變量的GA-APSO工具箱計(jì)算出的算例的總用鋼量為2.7 t，離散變量的APSO算法計(jì)算的總用鋼量為4.4 t，節(jié)省了1.7 t。由此可得，基于離散變量的GA-APSO優(yōu)化工具箱優(yōu)化效率高、適用性強(qiáng)，能滿足實(shí)際工程中的使用。

圖2 一榀框架示意圖Fig.2Aschematic framework

圖3 適應(yīng)度曲線Fig.3 The curves of suitability

4 算例2

本工程為文獻(xiàn)[12]中某辦公樓算例，地上三層，底層高4.5 m，二層三層均為4 m。工程所在地區(qū)基本風(fēng)壓0.55 kN/m2，B類，基本雪壓0.25 kN/m2，抗震設(shè)防烈度8度（0.20 g），II類。框架平面及橫向框架立面示意圖如圖4和圖5所示。

圖4 平面示意圖Fig.4 The flat schematic plan

圖5 立面示意圖Fig.5 The schematic elevation plan

表3 構(gòu)件內(nèi)力Table 3 Internal forces of components

表4 優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比Table 4 Contrast before and after optimization

從表3可以看出：在滿足工程約束條件的前提下，GA-APSO算法得到了較為理想的截面選型結(jié)果，其中GKL的截面優(yōu)化率達(dá)到18.7%，GKZ為22.2%；并且應(yīng)力比增大提高了截面的使用率。

從上面兩個(gè)優(yōu)化算例的計(jì)算結(jié)果可得，離散變量下的GA-APSO算法具有一定的實(shí)用性，并且優(yōu)化性能較為優(yōu)良。

5 結(jié)論

（1）本文通過(guò)智能算法的特性將遺傳算法（GA）中的交叉、變異算子編入加速粒子群算法（APSO）中改進(jìn)了PSO算法易早熟收斂的缺陷，并加入了主控變量這一概念將種群中的個(gè)體得以與截面數(shù)據(jù)庫(kù)中的設(shè)計(jì)變量一一對(duì)應(yīng)，大大增加了工程的實(shí)用性。

（2）本文通過(guò)兩個(gè)算例證明，離散變量的GA-APSO算法較APSO算法的優(yōu)化效率更高，在滿足工程約束條件的前提下較大的優(yōu)化截面尺寸提高截面的使用率。

（3）通過(guò)算例的計(jì)算結(jié)果可得出離散變量的GA-APSO算法，可用于實(shí)際工程。

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The Optimal Analysis on Steel Structure Based on GA-APSO Algorithm with Discrete Variables

HAO Run-xia,YUAN Shuai*,ZHAO Gen-tian
College of Architecture and Civil Engineering/Inner Mongolia University of Science and Technology,Baotou 014010,China

To overcome the shortcomings of“Premature Convergence"and poor local search ability in Genetic Algo rithm and Particle Swarm Optimization Algorithm,this paper proposed a new heuristic modern hybrid algorithm—G enetic-Accelerating Particle Swarm Optimization Algorithm(GA-APSO)by inserting the cross and mutation operat or of Genetic Algorithm based on Particle Swarm Optimization Algorithm improved speed and position update oper ator functions.The algorithm could expand the scope of the search field to improve convergence speed so that mo re reasonable optimal solution was obtained.Furthermore,GA-APSO algorithm with discrete variables was derive d by inserting the mapping function.It was feasible to automatically select the medium-sized steels in a database b y comparing with the APSO algorithm with discrete variables to take a common framework for an example.

GA-APSO;steel structures;optimization design

TU391;O224

A

1000-2324(2016)06-0900-06

2016-05-12

2016-06-26

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51268042)

郝潤(rùn)霞(1972-),女,碩士,副教授,研究方向:結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論和設(shè)計(jì).E-mail:haorx5300630@163.com

*通訊作者:Author for correspondence.E-mail:yjp415@163.com