張磊

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州 521041）

談數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的培養(yǎng)策略

張磊

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州 521041）

數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是以一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系作整體觀察，在一瞬間領(lǐng)悟到對(duì)象的某方面的本質(zhì)，從而迅速做出判斷的一種認(rèn)知能力.學(xué)生一旦有了某個(gè)知識(shí)的數(shù)學(xué)直覺(jué)，就可加深對(duì)該知識(shí)的理解，既提升了學(xué)生的形象思維，又對(duì)抽象思維予以支撐，有利于認(rèn)清數(shù)學(xué)本質(zhì).在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要通過(guò)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、增強(qiáng)直覺(jué)感知，展示實(shí)物模型、提升直覺(jué)能力，尋找數(shù)學(xué)原型、加深直覺(jué)認(rèn)識(shí)，借助聯(lián)想思維、拓展直覺(jué)深度等策略，來(lái)培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力.

中學(xué)生；數(shù)學(xué)直覺(jué)；培養(yǎng)；策略

筆者常常聽(tīng)到一些中學(xué)數(shù)學(xué)教師抱怨：學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)直覺(jué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)能力非常困難.經(jīng)常會(huì)遇到許多學(xué)生對(duì)做題的結(jié)果缺乏基本的直覺(jué)認(rèn)識(shí)，比如在求sina值時(shí)，有學(xué)生計(jì)算出值為2，就作為答案照寫(xiě)不誤；再如求橢圓離心率時(shí)，有學(xué)生算出結(jié)果為 2，也不假思索地作為答案.如果單純地問(wèn)這些學(xué)生：sina與橢圓離心率的范圍是多少？他們會(huì)毫不猶豫地回答：[-1,1]和（0,1）.那為何學(xué)生明明知道這些知識(shí)點(diǎn)，而在做題時(shí)卻寫(xiě)出不在這個(gè)結(jié)論范圍之內(nèi)的答案呢？筆者認(rèn)為原因是多方面的，但有一點(diǎn)不可否認(rèn)，那就是學(xué)生只簡(jiǎn)單地記住了表面上的結(jié)論，而沒(méi)有去深刻理解這個(gè)結(jié)論，也沒(méi)有納入到自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，于是導(dǎo)致做題得出的結(jié)果與記住的結(jié)論孤立開(kāi)來(lái)，沒(méi)有整合為一個(gè)整體，變成了“兩張皮”.說(shuō)到底，現(xiàn)在的中學(xué)生缺少數(shù)學(xué)直覺(jué).

1 對(duì)數(shù)學(xué)直覺(jué)的認(rèn)識(shí)

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是以一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）作整體觀察，在一瞬間領(lǐng)悟到對(duì)象的某方面的本質(zhì)，從而迅速做出判斷的一種認(rèn)知能力.它憑借已有的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)信息，不受某種邏輯規(guī)則的約束，但受邏輯規(guī)則的指導(dǎo)，通過(guò)想象、猜測(cè)以及高速高效的對(duì)比、分析、轉(zhuǎn)換、綜合等，對(duì)事物作出直接的估斷或預(yù)見(jiàn)[1-3].直覺(jué)思維可分為想象型和靈感型，想象型是一般的直覺(jué)思維形式，靈感型表現(xiàn)為人們對(duì)長(zhǎng)期探索而未解決問(wèn)題的一種突然性領(lǐng)悟，也就是對(duì)問(wèn)題百思不得其解時(shí)的一種“茅塞頓開(kāi)”[4].因而數(shù)學(xué)直覺(jué)思維具有非邏輯性、創(chuàng)造性、突發(fā)性、偶然性、或然性、經(jīng)驗(yàn)性等[5-6].但從培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力的角度來(lái)看，筆者認(rèn)為它具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

1.1 非邏輯性

直覺(jué)思維的非邏輯性，是它的本質(zhì)特性.直覺(jué)思維并不是根據(jù)一定的規(guī)律按部就班地進(jìn)行的，它不是歸納式的概括也不是演繹式的推理，同分析和綜合邏輯方法也不一樣，它是依靠思維中的想象、猜測(cè)和測(cè)察力等非邏輯功能去直接地把握對(duì)象的[7].它并不遵循固定的邏輯規(guī)則，相反的，它有意或無(wú)意地打破固定的不變的邏輯規(guī)則的束縛，在非邏輯方面另辟蹊徑.當(dāng)然這并不意味直覺(jué)思維排斥邏輯思維，事實(shí)上，邏輯思維對(duì)直覺(jué)思維具有誘導(dǎo)作用，在直覺(jué)思維中有時(shí)要借助于邏輯思維的方法.

1.2 創(chuàng)造性

現(xiàn)代社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)造性的人才，我國(guó)的教材由于長(zhǎng)期以來(lái)借鑒國(guó)外的經(jīng)驗(yàn)，過(guò)多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開(kāi)拓精神.直覺(jué)思維是基于研究對(duì)象整體上的把握，不專意于細(xì)節(jié)的推敲，是思維的大手筆.正是由于思維的無(wú)意識(shí)性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外無(wú)限擴(kuò)展，因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性[8].因此，直覺(jué)思維能產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)，真正可貴的因素是直覺(jué)，愛(ài)因斯坦說(shuō)，科學(xué)原理雖然是以直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，但是原理的發(fā)現(xiàn)，并沒(méi)有邏輯的道路，只有通過(guò)那種以對(duì)經(jīng)驗(yàn)的共鳴的理解為依據(jù)的直覺(jué).

1.3 簡(jiǎn)約性

直覺(jué)思維是對(duì)思維對(duì)象從整體上考察，調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)、猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式[9].它是一瞬間的思維火花，是長(zhǎng)期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質(zhì)”.

1.4 自信力

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來(lái)自數(shù)學(xué)本身的魅力[10].不可否認(rèn)情感的重要作用，但筆者的觀點(diǎn)是，興趣更多來(lái)自數(shù)學(xué)本身.成功可以培養(yǎng)一個(gè)人的自信，直覺(jué)發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的“自信心”.相比其它的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)和情感激勵(lì)，這種自信更穩(wěn)定、更持久.當(dāng)一個(gè)問(wèn)題不用通過(guò)邏輯證明的形式而是通過(guò)自己的直覺(jué)獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動(dòng)力，從而更加相信自己的能力[11].高斯在小學(xué)時(shí)就能解決問(wèn)題“1+2+ 3+…+99+100=？”，這是基于他對(duì)數(shù)的敏感性的超常把握，這對(duì)他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響.而現(xiàn)在的中學(xué)生極少具有直覺(jué)思維，對(duì)有限的直覺(jué)也半信半疑，不能從整體上駕馭問(wèn)題，也就無(wú)法形成自信.

2 數(shù)學(xué)直覺(jué)的培養(yǎng)意義

“數(shù)學(xué)王子”高斯曾經(jīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào)，他的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)主要來(lái)自經(jīng)驗(yàn)，“證明只是補(bǔ)行的手續(xù)”.德國(guó)數(shù)學(xué)家伊恩·斯圖加特也說(shuō)：“直覺(jué)是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西”.美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞也曾說(shuō)過(guò)：“直觀的洞察和邏輯的證明是感知真理的兩種不同方式——直觀的洞察可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超前于形式邏輯的證明.”[12]縱觀人類科技進(jìn)步發(fā)展史，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺(jué)：歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公式就是基于直覺(jué)，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓是在散步的路上迸發(fā)出了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺(jué)思維的成功典范.

認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知的過(guò)程，就是一個(gè)自我建構(gòu)的過(guò)程，人的大腦會(huì)根據(jù)已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，對(duì)新知進(jìn)行加工和重新組合，以形成一個(gè)新的結(jié)構(gòu)體系，而要熟知這個(gè)新結(jié)構(gòu)，就必須要對(duì)剛納入的新知有一個(gè)直覺(jué)的認(rèn)識(shí)，這就需要學(xué)生通過(guò)自己的親身體驗(yàn)和領(lǐng)悟才會(huì)有直觀的感覺(jué)，留下的印象也更加深刻，可能還會(huì)體驗(yàn)到成功的喜悅，從而更能激發(fā)起對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

所以，學(xué)生一旦在腦中有了某個(gè)知識(shí)的數(shù)學(xué)直覺(jué)，不僅可加深學(xué)生對(duì)此知識(shí)的理解，特別是某些抽象性強(qiáng)、難于理解的概念、法則與結(jié)論等，還可增強(qiáng)學(xué)生的形象思維，并對(duì)抽象思維予以支撐.當(dāng)然，最直接的好處便是解題時(shí)學(xué)生有了直覺(jué)思維，可以更簡(jiǎn)單便捷地認(rèn)識(shí)到題目的本質(zhì)，這就是培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)的意義所在.當(dāng)然這種數(shù)學(xué)直覺(jué)能力需要教師的有意識(shí)培養(yǎng)，比如可通過(guò)一些具體圖形、模型或生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)等，以提升直覺(jué)能力.

3 數(shù)學(xué)直覺(jué)的培養(yǎng)策略

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.”[13]因此從新課程實(shí)施的這幾年來(lái)，工作在第一線的數(shù)學(xué)教師也基本上接受了這些新的教學(xué)理念.比如對(duì)于概念、定理、公式等的新授課都能安排局部探究和小組合作，盡量在課堂上調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，并能將學(xué)生合作與獨(dú)立思考綜合起來(lái)運(yùn)用.當(dāng)然，除此之外，還可以動(dòng)手實(shí)踐、直觀感知、操作確認(rèn)等學(xué)習(xí)方法，這給數(shù)學(xué)直覺(jué)的培養(yǎng)方式指明了方向.筆者結(jié)合這幾年在中學(xué)的聽(tīng)課經(jīng)歷，談?wù)勁囵B(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)的一些策略.

3.1 策略一：創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，增強(qiáng)直覺(jué)感知

當(dāng)學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)所學(xué)知識(shí)結(jié)論和相互間的關(guān)系或規(guī)律時(shí)，可通過(guò)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作實(shí)踐，以體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，增強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的直覺(jué)感知.

那何謂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)?？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是實(shí)驗(yàn)者借助于一些道具或儀器，通過(guò)自己動(dòng)手進(jìn)行親自感受與體驗(yàn)，并在一定思維活動(dòng)下得出的規(guī)律和結(jié)論或者驗(yàn)證了某項(xiàng)猜想和理論的探究活動(dòng).當(dāng)然，這些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)除了動(dòng)手操作外還一定要有思維活動(dòng)的參與.

現(xiàn)在許多有條件的中學(xué)都在使用圖形計(jì)算器，并把它作為一項(xiàng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)操作.筆者不反對(duì)這種形式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，但以現(xiàn)在我國(guó)的教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，絕大多數(shù)學(xué)校還不具有這樣的裝備，如果讓學(xué)生自備更不現(xiàn)實(shí).所以本文提到的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更有點(diǎn)類似于物理或化學(xué)形式的實(shí)驗(yàn)，道具或儀器可以自己簡(jiǎn)易制作.

正因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過(guò)學(xué)生自己的操作實(shí)踐，所以可形成最初的直觀感知，繼而通過(guò)思考想象，再到發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，便于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，增強(qiáng)數(shù)學(xué)直覺(jué).

案例1讓橢圓“圓”形畢露

在《橢圓》的第1課時(shí)教學(xué)中，大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教師采用的基本流程是：教師先用繩子畫(huà)橢圓，再歸納出橢圓定義，然后建立橢圓方程，教師講解例題與練習(xí).筆者發(fā)現(xiàn)在這個(gè)按照教材編寫(xiě)的順序進(jìn)行教學(xué)時(shí)，學(xué)生總有一種莫名其妙的感覺(jué)：那就是所學(xué)的橢圓與圓毫無(wú)關(guān)系.可既然無(wú)關(guān)系，為什么“橢圓”中有個(gè)“圓”字呢？因此學(xué)生心目中的“橢圓”應(yīng)該會(huì)與圓有一定的聯(lián)系，至少它們外表“相近”，即是“橢”的圓.由于“橢圓”給人的感覺(jué)是一個(gè)長(zhǎng)圓形，是由圓“壓扁”或“伸長(zhǎng)”而成的，那教師為什么不提圓呢？所以，學(xué)生心中覺(jué)得這個(gè)橢圓純粹是“空降”而來(lái)，既沒(méi)有人情味也感到不合常理，從而產(chǎn)生一種不自然感，也降低了學(xué)生對(duì)橢圓的直覺(jué)認(rèn)識(shí).為此，筆者認(rèn)為在引入上不妨進(jìn)行實(shí)驗(yàn)改進(jìn).

引入時(shí)的實(shí)驗(yàn)可這樣設(shè)計(jì)：先讓同桌倆同學(xué)合作，用一條細(xì)繩子在紙上按住兩端點(diǎn)畫(huà)出橢圓，然后讓同學(xué)探究：當(dāng)兩端點(diǎn)離得越來(lái)越近和越來(lái)越遠(yuǎn)時(shí)橢圓的形狀變化.

通過(guò)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩端點(diǎn)越來(lái)越近時(shí)，畫(huà)出的橢圓越來(lái)越圓，當(dāng)兩端點(diǎn)重合時(shí)就變成了圓；而當(dāng)兩端點(diǎn)離得越來(lái)越遠(yuǎn)時(shí)，畫(huà)出的橢圓就越扁.這樣學(xué)生就會(huì)自己研究出橢圓與圓的關(guān)系，從而對(duì)橢圓的得出不會(huì)感到突然，也增強(qiáng)了對(duì)橢圓的直觀認(rèn)識(shí)，同時(shí)還為橢圓離心率的大小影響橢圓形狀的知識(shí)埋下了伏筆：當(dāng)橢圓越圓，e就越小，當(dāng)e=0時(shí)就變了圓；橢圓越扁，e越大，當(dāng)e→a時(shí)，e→1.有了這樣的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)圓與橢圓的形狀及e的范圍在（0,1）有了直觀感受，而腦中有了這樣的直覺(jué)感知，也就不會(huì)出現(xiàn)當(dāng)e=2時(shí)還作為橢圓離心率答案的錯(cuò)誤現(xiàn)象，因?yàn)閷W(xué)生通過(guò)自己的實(shí)驗(yàn)操作而產(chǎn)生的印象遠(yuǎn)比老師空洞說(shuō)教要深刻得多.

3.2 策略二：展示實(shí)物模型，提升直覺(jué)能力

在講授一個(gè)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其是抽象性比較強(qiáng)、學(xué)生一時(shí)難以理解或不能想象的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，就要聯(lián)系學(xué)生生活中可見(jiàn)到的實(shí)物，以幫助學(xué)生理解，增加直觀性.筆者認(rèn)為教師通過(guò)實(shí)物模型的展示是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)的一個(gè)不錯(cuò)選擇.因?yàn)榫唧w的實(shí)物模型可以降低抽象難度，提升直觀形象.特別是在講授立體幾何知識(shí)時(shí)，更需要用實(shí)物模型來(lái)直觀認(rèn)知，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作來(lái)確認(rèn)，這樣才能消除學(xué)生初中所學(xué)的平面幾何帶來(lái)的認(rèn)知障礙，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力.所以中學(xué)教師在面對(duì)學(xué)生較難理解的三維空間的立體圖形時(shí)，最佳的教學(xué)策略便是教師要多提供一些具體的實(shí)物模型，并讓學(xué)生自己也動(dòng)手做一做，尤其是遇到翻折類的題型時(shí)，一定要讓學(xué)生多動(dòng)手操作以增強(qiáng)直觀形象，提升直覺(jué)能力.

案例2棱柱歐氏定義的反例

筆者在聽(tīng)中學(xué)教師講授棱柱定義這節(jié)課時(shí)，一般都會(huì)讓學(xué)生判斷這樣一個(gè)命題：“有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱”.而學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為是對(duì)的，此時(shí)教師就會(huì)給出一個(gè)如圖1的反例，以此來(lái)說(shuō)明該命題的錯(cuò)誤，從而佐證教材上的棱柱定義是正確的.顯然這個(gè)反例學(xué)生是較難想到的，因而需要教師告之.但事實(shí)上這個(gè)反例是有缺陷的，因?yàn)橐话闱闆r下的多面體都是指凸多面體，而該反例卻是凹的，因此數(shù)學(xué)程度好的學(xué)生會(huì)質(zhì)疑，從而就很難判斷上述命題的真假.

其實(shí)，有數(shù)學(xué)史知識(shí)的教師應(yīng)該知道，這個(gè)命題就是2 000多年前的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，前330～前275）在《幾何原本》中下的棱柱定義，簡(jiǎn)稱歐氏定義.當(dāng)然現(xiàn)在知道這個(gè)定義是不對(duì)的，但就是這個(gè)錯(cuò)誤的定義卻得到了歷史上許多數(shù)學(xué)家的認(rèn)可，并整整統(tǒng)治了2 000多年，其原因就是長(zhǎng)時(shí)間找不到歐氏定義的反例.也許中學(xué)教師會(huì)認(rèn)為圖1的反例并不是很難，數(shù)學(xué)家怎么會(huì)想不到呢？所以問(wèn)題就在于這個(gè)反例是凹的，可能當(dāng)時(shí)歐幾里得就已經(jīng)知道這個(gè)例子了，但他并不認(rèn)可，因此只有找到一個(gè)凸的反例才具有說(shuō)服力.在人類歷史上正是在找這個(gè)凸的反例時(shí)，讓數(shù)學(xué)家們整整花了2 000多年，直到20世紀(jì)初才找到，該反例便是圖2[14].很明顯，這個(gè)凸的反例學(xué)生根本想不到，這就需要教師自己動(dòng)手做這個(gè)反例的實(shí)物模型，用事實(shí)說(shuō)話來(lái)提升學(xué)生的直覺(jué)能力.

用實(shí)物模型來(lái)展現(xiàn)，可以讓學(xué)生感到既直觀明了又生動(dòng)具體，從而使一些結(jié)論深刻地印在學(xué)生的腦海里.如案例2，學(xué)生看到這個(gè)凸的反例實(shí)物時(shí)一定會(huì)留下深刻印象的.事實(shí)上，數(shù)學(xué)中除了立體幾何外，還有一些比較抽象的概念也可借助實(shí)物模型來(lái)理解，如向量的概念，可用學(xué)生手中的“筆”來(lái)替代：筆尖表示向量方向，筆身表示向量的模，筆的移動(dòng)表示向量的平移，這樣學(xué)生就會(huì)很快理解與“數(shù)”不同的“向量”；再如任意角的概念，可用學(xué)生身上的“手表”或教室里的“鐘”等實(shí)物來(lái)展現(xiàn)，就會(huì)讓學(xué)生很快突破以前所學(xué)的角范圍所帶來(lái)的束縛.

圖1

圖2

3.3 策略三：尋找數(shù)學(xué)原型，加深直覺(jué)認(rèn)識(shí)

“隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法就成為了學(xué)生的‘?dāng)?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)’.這些現(xiàn)實(shí)應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的素材，選用這些素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，還能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”[15].根據(jù)對(duì)“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的詮釋，筆者認(rèn)為可從學(xué)生已有生活常識(shí)出發(fā)，尋找數(shù)學(xué)知識(shí)原型，以加深直覺(jué)認(rèn)識(shí).

數(shù)學(xué)原型，其實(shí)就是指產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念、法則、定理等知識(shí)的生活來(lái)源，或已得到論證的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)作為直覺(jué)認(rèn)識(shí)的一種模型.它包括日常生活中的原型和所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)作為模型.實(shí)際上，學(xué)生在前面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也一直在利用數(shù)學(xué)原型，比如通過(guò)“向東向西”、“零上零下溫度”（數(shù)學(xué)原型）來(lái)形成“相反意義的量”，繼而來(lái)進(jìn)一步理解“正負(fù)數(shù)”和“正負(fù)數(shù)加減法則”[15]；因式分解可由小學(xué)里學(xué)過(guò)的數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解作為數(shù)學(xué)原型來(lái)理解等等.

案例3“糖水不等式”的教學(xué)

在必修5《不等關(guān)系與不等式》的教學(xué)中，新課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求“通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式的現(xiàn)實(shí)背景.”比舊的教學(xué)大綱更側(cè)重于通過(guò)具體的情境讓學(xué)生感受新知，增加了對(duì)分析處理具體問(wèn)題的要求.為了使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能通過(guò)直覺(jué)發(fā)現(xiàn)“糖水不等式”，并對(duì)該不等式的正確性有充分的認(rèn)識(shí)，教師可以設(shè)計(jì)出如下的問(wèn)題鏈：

問(wèn)題1：同學(xué)們都知道，給糖水加糖能使糖水變甜.你們能把這一生活常識(shí)用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來(lái)呢？（大部分學(xué)生可能會(huì)面露難色，不知從什么地方下手，原因是這里既沒(méi)有數(shù)字又沒(méi)有字母.面對(duì)此情景，教師繼續(xù)引導(dǎo).）

問(wèn)題2：解應(yīng)用題列方程式時(shí)，未知數(shù)肯定沒(méi)有具體數(shù)據(jù)，那時(shí)你們是怎么辦的？（問(wèn)題2使學(xué)生聯(lián)想到用字母表示數(shù)：設(shè)原來(lái)的糖水濃度為t1，加糖后的濃度為t2，則有

針對(duì)學(xué)生的思考，教師首先肯定他們抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，即建立起一個(gè)不等式.教師緊接著拋出問(wèn)題3.）

問(wèn)題3：不足的是，式（1）沒(méi)有直接反映出“濃度”與“加糖”.你們能不能更具體地表示出“原濃度”、“加糖后的濃度”以及兩個(gè)濃度間的關(guān)系，使人一看這個(gè)“沒(méi)有任何漢字”的“符號(hào)”不等式，就能領(lǐng)會(huì)“糖水加糖更甜了”？（問(wèn)題3會(huì)促使學(xué)生想到：設(shè)b克糖水里有a克糖，則，加糖后的糖水更甜了，就存在c＞0，使

當(dāng)看到學(xué)生給出（2）式時(shí)，教師提出問(wèn)題4.）

問(wèn)題4：這里的c表示什么？是表示糖的質(zhì)量嗎？濃度與質(zhì)量能夠相加嗎?。▎?wèn)題4促使學(xué)生對(duì)（2）式中量的統(tǒng)一性產(chǎn)生思考，當(dāng)學(xué)生們?nèi)粲兴紩r(shí)，教師進(jìn)一步追問(wèn).）

問(wèn)題5：（2）式只表示了濃度增加則糖水就更甜，還沒(méi)有把濃度增加的原因——添糖反映出來(lái).換句話說(shuō)，當(dāng)時(shí)，t2如何表示？（在問(wèn)題5的刺激下，學(xué)生們會(huì)恍然大悟：，其中m＞0為所添糖的質(zhì)量.由此得不等式：對(duì)b＞a＞0，m＞0，有.）

在原本比較枯燥的不等式教學(xué)中，教師從學(xué)生的已有生活常識(shí)出發(fā)，借助生活中的“給糖水加糖能使糖水變甜”這一數(shù)學(xué)原型引入，這樣不僅讓學(xué)生感受到生活中不等關(guān)系的存在，也知道生活中數(shù)學(xué)無(wú)處不在，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，加深了學(xué)生對(duì)“糖水不等式”的直覺(jué)認(rèn)識(shí)，通過(guò)教師系列問(wèn)題的“啟”和“發(fā)”使學(xué)生達(dá)到“憤”和“徘”的狀態(tài)，把學(xué)生的直覺(jué)思維一步一步地引向深入，引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成對(duì)新知的高效認(rèn)知.

又如，高中數(shù)學(xué)中的一些概念、性質(zhì)和公式等也可通過(guò)尋找數(shù)學(xué)原型來(lái)幫助理解.比如：三角函數(shù)的單位圓定義，就以游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪作為數(shù)學(xué)原型：你坐在那里的位置就相當(dāng)于單位圓上的一個(gè)點(diǎn)，然后當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)后，如何來(lái)表示你的位置？以這樣的生活現(xiàn)實(shí)來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的本質(zhì)：刻畫(huà)具有周期性現(xiàn)象的圓周運(yùn)動(dòng)的函數(shù)模型.學(xué)生有了摩天輪作為單位圓的一個(gè)數(shù)學(xué)原型后，自然就會(huì)直觀認(rèn)識(shí)到，的值不能超過(guò)1，同時(shí)有了這樣的數(shù)學(xué)直覺(jué)，也就不會(huì)犯算出sinα=2還作為答案的錯(cuò)誤情況.再比如一些抽象函數(shù)，當(dāng)具有性質(zhì)時(shí)，則前者可用指數(shù)函數(shù)作為模型，后者可用對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)f(y)=f(x+y)，f(xy)=f(x)+f(y)作為模型.這樣讓學(xué)生用已熟悉的具體函數(shù)作為數(shù)學(xué)原型就好理解，也容易解題了.

3.4 策略四：借助聯(lián)想思維，拓展直覺(jué)深度

聯(lián)想思維是產(chǎn)生直覺(jué)的先導(dǎo).聯(lián)想是學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程中，根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的某種聯(lián)系，由一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象想到另一個(gè)相關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象的心理活動(dòng)過(guò)程.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思維過(guò)程實(shí)質(zhì)上是已知和未知間的一系列的聯(lián)想過(guò)程.當(dāng)學(xué)生面對(duì)某些待解決且難以突破的新穎問(wèn)題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)仔細(xì)的觀察，必要時(shí)畫(huà)出示意圖，并聯(lián)想到一些思考方法接近的、形式相同的、結(jié)構(gòu)特征相似的熟悉問(wèn)題或常規(guī)問(wèn)題，通過(guò)遷移將會(huì)頓悟出解決問(wèn)題的思路和方法.

案例4祖暅原理的教學(xué)

為了使學(xué)生在教師的啟發(fā)下能通過(guò)直覺(jué)發(fā)現(xiàn)祖暅原理，并對(duì)該原理的正確性有充分的認(rèn)識(shí)，教師可以先提出平面上的如下問(wèn)題：

①不規(guī)則的圖形我們可以采用哪些方法求出它的面積的近似值？

②夾在兩條平行線間的兩個(gè)平面圖形被平行于這兩條直線的任意直線所截，如果截得的長(zhǎng)度總相等，那么它們的面積有什么關(guān)系？你能說(shuō)明理由嗎？

通過(guò)聯(lián)想，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用平行分割、以直代曲的方法可把兩平面圖形的面積分成等積的平行四邊形或梯形的面積之和.易見(jiàn)二者面積的近似值是相等的.當(dāng)分割數(shù)無(wú)限增大時(shí)，便可得出二者的面積相等的結(jié)論.教師緊接著又提出第三個(gè)問(wèn)題：

③由以上的結(jié)論，請(qǐng)你猜想在空間會(huì)有什么類似的結(jié)論？你能說(shuō)明其中大概的理由嗎？

以上過(guò)程中，教師由于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行漸進(jìn)式的類比聯(lián)想，使學(xué)生不斷產(chǎn)生新的直覺(jué)最終“發(fā)現(xiàn)”祖暅原理，從而產(chǎn)生了認(rèn)識(shí)上的飛躍.盡管其中的推理不甚嚴(yán)格，但卻使學(xué)生感受到了無(wú)限細(xì)分求和的極限思想.事實(shí)上，數(shù)學(xué)上的任何重大突破都萌發(fā)于這類樸素的直覺(jué)或靈感.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)中的聯(lián)想是多層次多角度的，除類比聯(lián)想、形似聯(lián)想外，還有對(duì)比聯(lián)想、接近聯(lián)想、關(guān)系聯(lián)想等等.但無(wú)論何種聯(lián)想都要以合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，以合情的思維導(dǎo)向?yàn)樵瓌t.正確的聯(lián)想所引發(fā)的直覺(jué)往往可以在解題中收到“柳暗花明，曲徑通幽”的效果.

圖3

4 培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)需注意的問(wèn)題與原則

我們?cè)诓捎蒙鲜霾呗耘囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)能力的時(shí)候，需注意防止以下問(wèn)題：其一，目的性不明.培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)是為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的直觀認(rèn)識(shí)，也是讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，認(rèn)清數(shù)學(xué)本質(zhì).如果僅僅是為了體現(xiàn)直觀性，而忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯性，尤其是脫離數(shù)學(xué)的本質(zhì)，那這樣就只停留在直覺(jué)的表象，對(duì)學(xué)生無(wú)任何幫助.其二，缺乏科學(xué)性，盲目培養(yǎng).不管是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還是數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中的原型，都是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀詮釋，即都能正確地刻畫(huà)數(shù)學(xué)知識(shí).如果教師提供的模型并不能讓學(xué)生很好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至是錯(cuò)誤的，不僅不能培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)，而且還會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生.

為了避免在培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)時(shí)出現(xiàn)上述兩個(gè)問(wèn)題，需遵循一些原則：其一，適用性原則.不管設(shè)計(jì)的是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，還是提供實(shí)物模型和數(shù)學(xué)原型等，都要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知程度來(lái)考慮，只有正確反映數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀教學(xué)才適用于學(xué)生，也有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué).其二，直觀性原則.教師讓學(xué)生完成某個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，再現(xiàn)某數(shù)學(xué)知識(shí)或展示某個(gè)模型，都要讓學(xué)生感到直觀形象，從而使學(xué)生能完成從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的順利過(guò)渡，提高學(xué)生的抽象思維能力，同時(shí)也加深直覺(jué)印象.其三，探究性原則.學(xué)生做完數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后或在教師提供模型后，還要讓學(xué)生繼續(xù)探究，或觀察發(fā)現(xiàn)或歸納總結(jié)等，如案例1.而案例2，當(dāng)學(xué)生看到實(shí)物模型后，還可深入探究怎樣得到這個(gè)反例，如可通過(guò)“補(bǔ)形”或“切割”等方法，這就需要推理和數(shù)學(xué)思維.如果抽象的推理以具體實(shí)驗(yàn)或模型為依托，學(xué)生在研究實(shí)驗(yàn)與模型的過(guò)程中就可獲得解決問(wèn)題的啟發(fā)與靈感.

5 結(jié)束語(yǔ)

要讓學(xué)生在內(nèi)心真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)和接納新知，就必須要先對(duì)該知識(shí)有一個(gè)直覺(jué)感知，然后再在大腦中形成一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，繼而上升到抽象層面.筆者在對(duì)中學(xué)教師的聽(tīng)課中歸納出來(lái)的這四種策略，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)培養(yǎng)有一定的幫助.發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題往往比解決問(wèn)題更重要，而“發(fā)現(xiàn)”靠的并不都是邏輯思維，直觀性的思維和直覺(jué)能力有時(shí)更能出奇制勝.而在課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)，既可使許多抽象和沉悶的概念、公式、定理、結(jié)論來(lái)得更易理解，也可避免本文開(kāi)頭提到的中學(xué)教師所抱怨的這種現(xiàn)象.最后借用荷蘭哲學(xué)家斯賓諾莎的一句話作為本文的結(jié)束語(yǔ)：“只有通過(guò)直覺(jué)才可能直接認(rèn)識(shí)一件事物的正確本質(zhì)而不致陷于錯(cuò)誤.”

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Strategies for the Cultivation of Mathematic Intuitive Thinking

ZHANG Lei
（College of Mathematics&Statistics,Hanshan Normal University,Chaozhou,Guangdong,521041）

Mathematic intuition thinking is a cognitive ability,which can help one make a judgement quickly on the basis of certain knowledge and experience,by a overall observation of the object(and its constitution and relationships)of mathematics.Once a student gets mathematic intuition for certain knowledge,he/she can have deeper understanding of it,which will promote his/her imagery thinking as well as abstract thinking,so as to recognize the nature of mathematics.In specific mathematics teaching,we can follow four strategies to cultivate middle school students’ability of intuitive thinking:enhance students’perceptual intuition by create mathematic experiment;promote their intuitive abilities by physical model demonstrating;deepen their intuition cognition by finding mathematic prototype;expand depth of their intuition by the help of associative thinking, etc.

middle school students;mathematic intuition;cultivation;strategies

G 427

：A

：1007-6883（2016）06-0083-07

責(zé)任編輯 朱本華

2016-10-09

韓山師范學(xué)院2015年度教學(xué)改革項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：HJG1524）.

張磊（1981-），男，河南確山人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師.