何建勛, 張 慧

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

四元數(shù)值函數(shù)的小波框架

何建勛, 張 慧

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

令L2(R,H)是定義在實數(shù)域取值為四元數(shù)的平方可積函數(shù)空間. 文章利用小波分析理論研究L2(R,H)上的框架理論,給出了其框架的判定準(zhǔn)則,最后構(gòu)造出這種類型的框架.

四元數(shù)值函數(shù); 小波變換; 框架

19世紀(jì)早期,愛爾蘭數(shù)學(xué)家Hamilton發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)后,四元數(shù)以及四元數(shù)值函數(shù)的性質(zhì)得到了充分的研究[1-3].文獻(xiàn)[4]中的作者引入了四元數(shù)內(nèi)積,建立了四元數(shù)值函數(shù)空間L2(R,H)在仿射群P下的連續(xù)小波變換的理論.由于框架與小波的緊密關(guān)系,小波理論的研究與發(fā)展給框架的研究帶來了新思想,而且關(guān)于希爾伯特函數(shù)空間L2(R)的框架理論的文獻(xiàn)非常多.本文在L2(R)的小波框架理論基礎(chǔ)上將重點構(gòu)建L2(R,H)上的框架[5-9],并給出框架的判定準(zhǔn)則,文中在最后列舉相關(guān)的例子說明此框架的存在性.

1 預(yù)備知識

令H={a+ib+jc+kd:a,b,c,d∈R},其中,

ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j,i2=j2=k2=-1.

對?q∈H,q=a+ib+jc+kd=(a+ib)+j(c-id)=u+jv,其共軛為

令q1,q2∈H,q1=u1+jv1,q2=u2+jv2,定義從H×H→H的映射·,·

特別地，

接下來考慮定義在實數(shù)域R上的四元數(shù)值函數(shù),對?x∈R,

F(x)=f1(x)+jf2(x),f1(x),f2(x)∈L2(R),

且f1(x),f2(x)是復(fù)值函數(shù).

現(xiàn)在定義

L2(R,H):={F(x)=

f1(x)+jf2(x):f1(x),f2(x)∈L2(R)},

對?F(x)=f1(x)+jf2(x),G(x)=g1(x)+jg2(x)∈L2(R,H),定義其內(nèi)積·,·L2(R,H):

特別地，

顯然,上述內(nèi)積所構(gòu)成的L2(R,H)是一個Hilbert空間.

設(shè)μ(x)是平方可積的復(fù)值函數(shù),它的傅里葉變換定義為

對?F(x)=f1(x)+jf2(x)∈L2(R,H),其傅里葉變換定義為

(ξ)=1(ξ)+j2(ξ),ξ∈R.

記R+={x:x≥0},R-={x:x≤0},令

H(+,+)={F=f1(x)+jf2(x):1(ξ)=2(ξ)=

0,ξ?R+},

H(-,-)={F=f1(x)+jf2(x):1(ξ)=2(ξ)=

0,ξ?R-},

H(+,-)={F=f1(x)+jf2(x):1(ξ)=0,若ξ

?R+,2(ξ)=0,若ξ?R-},

H(-,+)={F=f1(x)+jf2(x):1(ξ)=0,若ξ

?R-,2(ξ)=0,若ξ?R+}.

注意到

j2(pξ)e-2πiqξ).

由此可得H(σ1,σ2)(其中σ1,σ2=+或-)是空間L2(R,H)在酉表示下不可約的不變子空間.顯然可得H(+,+)和H(-,-)是相互正交的,且滿足:

L2(R,H)=H(+,+)⊕H(-,-).

現(xiàn)在在空間L2(R,H)上討論連續(xù)小波變換,令Φ(x)=φ1(x)+jφ2(x)∈H(+,+)(或H(-,-)),Φ(x)≠0,且滿足:

則稱Φ是可允許小波函數(shù). 于是,對?F(x)=f1(x)+jf2(x)∈L2(R,H)，F(xiàn)關(guān)于Φ的連續(xù)小波變換定義為

(WΦF)(p,q)=F,U(p,q)ΦL2(R,H).

2 四元數(shù)值函數(shù)的小波框架

在此引入記號

對?F∈L2(R,H),其關(guān)于可允許小波函數(shù)Φ的離散小波變換,考慮用

(WΦF)(pm,qm,n)=F,Φq0;m,nL2(R,H)(m,n∈Z)

給出.

一個非零的四元數(shù)值函數(shù)Φ(x)=φ1(x)+jφ2(x)∈L2(R,H)生成L2(R,H)的一個框架{Φq0;m,n}且有抽樣速率q0,如果

?F(x)=f1(x)+jf2(x)∈L2(R,H)

成立, 其中，A和B是正常數(shù)，此時A，B稱為該框架的界. 如果A=B,那么這個框架稱為緊框架.

定理1若φ1(x)生成L2(R)的框架而有抽樣速率q0，φ2=αφ1,α∈C{0}，則四元數(shù)值函數(shù)Φ(x)=φ1(x)+jφ2(x)∈L2(R,H)生成L2(R,H)的一個框架且有抽樣速率q0.

證明

利用Plancherel公式,容易得知:

其中

因此可得:

若φ2=αφ1,α∈C{0},則上式中的

因為φ1(x)生成L2(R)的一個框架,抽樣速率為q0,且φ2=αφ1,α∈C{0},故存在正常數(shù)A1,B1,A2,B2,且滿足0≤A1≤B1<∞,0≤A2≤B2<∞,都有下式成立[10]:

綜上所述,

此時,

若A=B, 則有:

證畢.

3 框架的一些判定準(zhǔn)則

本節(jié)將建立四元數(shù)值函數(shù)小波框架存在性的一些充分條件.對?a∈R,先定義調(diào)制算子Ea,平移算子Ta和伸縮算子Da如下:當(dāng)a>0,x∈R,?F∈L2(R,H),

EaF(x)=e2πiaxF(x),TaF(x)=F(x-a),

DaF(x)=a1/2F(ax).同時也用符號Ea表示指數(shù)函數(shù)Ea=e2πiax.稱(Φ,m,n)生成了L2(R,H)的框架,如果{DamTnqΦ}m,n∈Z構(gòu)成L2(R,H)的框架.

(2)(L-l)≤1/q.

那么對?F∈L2(R,H),

證明

根據(jù)定理中的條件(1)可得下式成立:

證畢.

由此可見,該定理對于H(-,-)也成立.為此接下來考慮從H(+,+)中取一個母小波,從H(-,-)中取一個母小波,然后組成L2(R,H)的一個框架.

(1)存在A,B,使得

對γ≥0幾乎處處成立;

(2)(L-l)≤1/q.

從定理3可見,滿足條件2個母小波可以生成L2(R,H)的一個框架,當(dāng)然更希望如果Φ1,Φ2滿足定理3中的條件,則{Φ1+Φ2}可以生成L2(R,H)的一個框架,然而在一般情況下這是不成立的.因此，考慮對定理中的條件加以更多限制,于是有了下述定理4.

定理4 令Φ1,Φ2滿足定理3中的條件,且2L<1/q,則{Φ1+Φ2}可以生成L2(R,H)的一個框架.

綜上所述,{DamTnqΦ}構(gòu)成L2(R,H)的一個框架,證畢.

4 舉 例

定義一個C1的函數(shù)ν如下：

令Φ(x)=(1+jα)φ(x),α∈C{0},取a=2,其中φ(x)∈L2(R),

且

對任意的?F(x)=f1(x)+jf2(x)∈L2(R,H),令

總有:

于是

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[10]CHUI C K. An introduction to wavelets[M]. Boston, MA: Academic Press, 1992.

【責(zé)任編輯： 周 全】

Wavelet frame on quaternionic-valued funcitons

HE Jian-xun, ZHANG Hui

(School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

LetL2(R,H) be a space of square integrable quaternionic-valued functions defined on real line. We develop the theory of wavelet frame on spacesL2(R,H) by using the theory of wavelet analysis onL2(R). Moreover, we establish some wavelet frame criterion. As an application, an example is given for this kind of wavelet frame.

quaternionic-valued function; wavelet transform; frame

2016-07-06;

2016-09-02

國家自然科學(xué)基金資助項目(11271091)

何建勛(1956-),教授, 理學(xué)博士.E-mail:hejianxun@gzhu.edu.cn.

1671- 4229(2016)06-0025-05

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