聶偉平， 師東利， 李萬社

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

二維康托爾集上的多分辨分析

聶偉平， 師東利， 李萬社

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

根據(jù)康托爾集構(gòu)造了一個(gè)二維康托爾集,建立了二維康托爾集與L2(R2)空間的對應(yīng)關(guān)系,給予多分辨分析的幾何特征,用二維康托爾集建立了函數(shù)的尺度分析.

康托爾集；多分辨分析；基函數(shù)

1807年,法國數(shù)學(xué)、物理學(xué)家傅里葉(Jean Bap-tistle Joseph Fourier),提出任意一個(gè)周期為T=2π的函數(shù)f(t)都可以用三角級數(shù)表示.傅里葉變換的理論是人類數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑.從1807年開始,直到1966年,整整用了一個(gè)半世紀(jì)多,才發(fā)展成熟.她在各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了深刻的影響，得到了廣泛的應(yīng)用,推動(dòng)了人類文明的發(fā)展.但是傅里葉也有很多缺陷，比如實(shí)際應(yīng)用中的非平穩(wěn)信號，傅里葉變換無法解決.小波變換與Fourier變換，Gabor變換相比，它是一個(gè)時(shí)間和頻域的局域變換，因而能有效的從信號中提取出信息，通過伸縮或平移對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度分析.小波變換的基函數(shù)ψa,b(t)不是唯一的，滿足一定條件的函數(shù)均可以作為小波基函數(shù)，因此怎么找到完美的小波基函數(shù)是小波變換中非常重要的問題.Mallat和Meyer建立的多分辨分析為小波構(gòu)造基函數(shù)提供了方法.本文對多分辨分析給出了一個(gè)簡單的幾何結(jié)構(gòu)，豐富了多分辨分析的內(nèi)涵，方便讀者更好地理解多分辨分析.

1 預(yù)備知識

由一維多分辨分析[1]的定義可得，在一維空間中下列條件成立

定義1[1]在L2(R2)函數(shù)空間的一串子空間序列集合{Vj,j∈z}稱為依尺度函數(shù)φ(x,y)的多分辨分析，如果它滿足以下5個(gè)條件：

(3)獨(dú)立性：∩Vj(x,y)={0}.

(4)縮放性：f(x,y)∈Vj(x,y)?f(2-jx,2-jy)∈V0(x,y).

(5)規(guī)范正交基：φ1(x)φ2(y)∈V0(x,y),{φ1(x-k)φ2(y-j),k,j∈z}是V0(x,y)一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

由多分辨分析可以得到兩個(gè)結(jié)果

Vj+1=Vj⊕Wj，

(1)

L2(R2)=VN(x,y)⊕Wj(x,y).

(2)

定義2[2]記E0=[0,1]，第一步(n=1),去掉中間的1/3,得E1=[0,1/3]∪[2/3,1].第二步(n=2),重復(fù)剛才的步驟,得E2=[0,1/9]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪[8/9,1],如此重復(fù)剛才的一系列步驟,得Ek,當(dāng)k→時(shí),遂得cantor集,記作).如圖1所示.

圖1 康托爾三分集

2 二維康托爾集上的多分辨分析

圖2 二維康托爾集

被截?cái)嗟膮^(qū)域Nk=Fk×Fk,任意兩個(gè)不同的區(qū)域的交集是空集,說明它們的特征函數(shù)(該區(qū)域的元素集合)CV(x)與CW(x)彼此正交，為了方便討論，記CV(x):=V,CW(x):=W,則有V1∩W1={0},V2∩W2∩W1={0},…,VN∩W1∩W2∩…∩WN={0}.

圖3 二維康托爾集上的多分辨分析

二維康托爾集與L2(R2)函數(shù)空間可以建立對應(yīng)關(guān)系,因此L2(R2)空間中的子空間V0表示二維康托爾集的G0,每次去掉的部分子空間記為Wk,而每次剩余的部分記為Vk.很明顯Wj∩Wk=Φ,意味著它們彼此正交(對于二維康托爾集而言,顯然是它們的特征函數(shù)CWi與CWk彼此正交,以下解釋相同),而Vi與Vj并不是正交的,V0可以分解為V1與W1的直和,即V0=V1⊕W1,W1就是V1在V0中的正交補(bǔ)空間,繼續(xù)分割下去就有V0=V1⊕W1=V2⊕W2⊕W1=…,由此可知W1就是V0的空間結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)補(bǔ)充,在W空間上定義小波函數(shù)ψ(t),同時(shí)Vk就是在尺度k之下,φi(x,y)在Vk上的平移是正交的,但是不同尺度之間φi(x,y)與φj(x,y)并不正交.顯然,單憑空間W1不能恢復(fù)W0,因?yàn)閃1只是V1的補(bǔ)空間,因此只有將空間Vk與空間Wk結(jié)合起來,既在空間Vk用基函數(shù)φm,n(x,y),又在空間Wk用基函數(shù)ψm,n(x,y)同時(shí)展開f(x,y),這相當(dāng)于L2(R2)空間的正交分解

(3)

對應(yīng)的函數(shù)或信號f(x,y)的分解過程可表示為

f0(x,y)=f1(x,y)+d1(x,y)=f2(x,y)+d2(x,y)+d1(x,y)=

f3(x,y)+d3(x,y)+d2(x,y)+d1(x,y)=…=

(4)

很明顯式(1)、(2)、(3)、(4)是完全等價(jià)的，這樣我們把二維康托爾集和L2(R2)空間建立了對應(yīng)關(guān)系，對L2(R2)空間賦予多分辨分析的幾何特征，這是多分辨分析從抽象的數(shù)學(xué)定義轉(zhuǎn)變?yōu)槭褂眯盘柕年P(guān)鍵步驟，對L2(R2)空間的正交分解和不斷變換尺度空間來逼近一個(gè)函數(shù)或者信號的基本過程和問題的實(shí)質(zhì)，也對Mallat和Meyer創(chuàng)立的多分辨分析的基本思想所做的物理、幾何和集合論的解釋[3]，說明二維康托爾集建立的多尺度分析比多分辨分析的結(jié)構(gòu)更加直觀，幾何結(jié)構(gòu)更加清晰.

[1] 關(guān)履泰.小波方法與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 李水根，吳紀(jì)桃.分形與小波[M].北京：科學(xué)出版社，2002.

[3] 熊小云.函數(shù)在Cantor集上的多分辨分析[J].自然科學(xué)進(jìn)展,1998,8(2):247-250.

[4] XIA X G,GERONIMO J S,HARDIN D P，et al.Design of prefilters for diserete multi-wavelet transforms[J].IEEE.Trans.on SP.,1996,1(1):25-35.

[5] FENG D J,HUA S,WEN Z Y.The pointwise densities of the Cantor measUre1[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2000,250:692-705.

[6] SHER R B.Concerning wild Cantor sets in E3[J].Proc.Amer.Math.Soc., 1968，19:1195-1200.

[7] MATJA E.On defining seqUences for Cantor sets[J].Topology and its Applications，2001，113：321-325.

[8] CHRISTENSEN E,IVAN C.Spectral triples for AF C*-algebras and metrics on the Cantor set[J].J.Operator Theory，2006，56：17-46.

[9] ELJKO M.On defining seqUences for Cantor sets[J].Topology and its Applications，2001，113：321-325.

[10]MALLAT S.A theory of multiresolution signal decomposition:The wavelet transform[J].IEEE Trans,1989，11(7)：674-693.

[11]MALLAT S.Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1989，315：69-87.

[責(zé)任編輯 王新奇]

The Multi Resolution Analysis of Two-dimensional Cantor Set

NIE Wei-ping, SHI Dong-li, LI Wan-she

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, China)

According to the Cantor set, the two-dimensional Cantor set is built. The corresponding relationship between two-dimensional Cantor set andL2(R2) space is set up. The geometrical characteristics of multi resolution analysis is presented. The scale analysis of function is established by the two-dimensional Cantor set.

Cantor set; multi resolution analysis; basis function

1008-5564(2016)05-0026-04

2016-03-08

聶偉平(1990—),女，河南許昌人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院碩士研究生，主要從事智能信號處理研究.

O189.12；O24.16

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