蘊(yùn)含在一元一次方程中的數(shù)學(xué)思想

□沈立新

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.在解與一元一次方程相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，若能適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法，往往可以使繁瑣、復(fù)雜的題目變得簡(jiǎn)單、明了.本文將一元一次方程中比較重要的數(shù)學(xué)思想結(jié)合例題歸納總結(jié)如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí).

一、方程思想

例1已知3xy2a-1與-9xya+3是同類(lèi)項(xiàng)，求2a2－a＋1的值.

分析：由同類(lèi)項(xiàng)的概念可知，它們所含的字母相同，相同字母的指數(shù)分別相同，可建立一元一次方程求解.

解：由同類(lèi)項(xiàng)的概念，可得2a－1＝a＋3，解得a＝4，所以2a2－a＋1＝29.

點(diǎn)評(píng)：方程思想就是把所研究問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)量

例2解方程

分析：仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)方程兩邊均含有（x＋1）、（x－1），可以將（x＋1）與（x－1）看作整體，先進(jìn)行移項(xiàng)，再整體合并，可使求解過(guò)程簡(jiǎn)捷.

解：移項(xiàng)，得關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得到解決的思想方法.如一元一次方程與相反數(shù)、倒數(shù)、同類(lèi)項(xiàng)、絕對(duì)值等概念的相關(guān)應(yīng)用是方程思想的具體體現(xiàn).

二、整體思想

去分母，得3（x＋1）＝2（x－1）.

去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得x＝－5.

點(diǎn)評(píng)：在解一元一次方程時(shí)，經(jīng)常遇到要去括號(hào)或去分母的情況，這時(shí)我們通常運(yùn)用整體思想將括號(hào)里面的式子或分子看成一個(gè)整體，或?qū)⒎匠讨械哪骋徊糠忠暈檎w求解，會(huì)使解方程的過(guò)程更簡(jiǎn)捷.

三、化歸思想

例3在有理數(shù)范圍內(nèi)定義新運(yùn)算“*”，其規(guī)則為a*b＝－b，試求方程x*2x＝1的解.

分析：解決本題的關(guān)鍵是把新運(yùn)算“*”轉(zhuǎn)化為我們熟悉的常規(guī)運(yùn)算.根據(jù)所給規(guī)則，可以得到x*2x＝－2x，所以方程x*2x＝1可以轉(zhuǎn)化為－ 2x＝1.

解：根據(jù)定義的規(guī)則，得x*2x＝－2x，則原方程變成－2x＝1.

去分母，得x－4x＝2.

合并同類(lèi)項(xiàng)，得－3x＝2.

點(diǎn)評(píng)：化歸就是把待解決或難解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已解決或易解決的問(wèn)題，最終求得原問(wèn)題的解決方法.解形式比較復(fù)雜的方程，要把它逐步化歸為最簡(jiǎn)方程ax＝b（a≠0），從而求出方程的解，這種化歸轉(zhuǎn)化思想需要同學(xué)們很好地體會(huì)和把握.

四、分類(lèi)討論思想

例4某超市在春節(jié)期間對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠，規(guī)定如下：

一次性購(gòu)物少于200元低于500元但不低于200元500元或超過(guò)500元優(yōu)惠辦法不予優(yōu)惠九折優(yōu)惠其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予八折優(yōu)惠

（1）王老師一次性購(gòu)物600元，他實(shí)際付款元.

（2）若顧客在該超市一次性購(gòu)物x元，當(dāng)x小于500元但不小于200時(shí)，他實(shí)際付款元，當(dāng)x大于或等于500元時(shí)，他實(shí)際付款元.（用含x的代數(shù)式表示）

（3）如果王老師兩次購(gòu)物合計(jì)820元，實(shí)際付款共728元，且第一次購(gòu)物的貨款少于第二次購(gòu)物的貨款，求兩次購(gòu)物各多少元？

分析：（1）一次性購(gòu)物600元時(shí)，其實(shí)際付款為500×0.9＋0.8×（600－500）＝530（元）.（2）根據(jù)題意，當(dāng)200≤x＜500時(shí)，九折優(yōu)惠，實(shí)際付款0.9x元；當(dāng)x≥500時(shí)，實(shí)際付款為500×0.9＋0.8（x－500）＝（0.8x＋50）元.（3）需分三種情況列方程分別求解：第一次少于200元，第二次多于500元;第一次在200～500元之間，第二次超過(guò)500元;兩次都在200～500元之間.

解：（1）530；

（2）0.9x，（0.8x＋50）；

（3）設(shè)第一次購(gòu)物x元，則第二次購(gòu)物（820－x）元.

第一種情形：第一次購(gòu)物少于200元，第二次購(gòu)物多于500元，則x＋0.8（820－x－500）＋500×0.9＝728，解得x＝110，820－110＝710（元）；

第二種情形：第一次購(gòu)物在200～500元之間，第二次購(gòu)物超過(guò)500元，則0.9x＋0.8（820－x－500）＋500×0.9＝728，解得x＝220，820－220＝600（元）；

第三種情形：兩次購(gòu)物都在200～500元之間，則0.9x＋0.9（820－x）＝728，此方程無(wú)解.

綜上所述，兩次購(gòu)物分別為110元、710元或220元、600元.

點(diǎn)評(píng)：分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題和購(gòu)物打折付款問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)題型，主要包括水費(fèi)、電費(fèi)、出租車(chē)費(fèi)、納稅、保險(xiǎn)等的分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題和購(gòu)物打折付款問(wèn)題，運(yùn)用一元一次方程解決這些問(wèn)題時(shí)常常需要運(yùn)用分類(lèi)思想.