工作空間機器人末端軌跡的滑?？刂?/h1>
2016-02-07 06:42:39沈顯慶鄭俊翔王明杰劉繼紅
黑龍江科技大學(xué)學(xué)報 2016年6期
沈顯慶, 鄭俊翔, 唐 巍, 王明杰, 劉繼紅
(1.黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2.黑龍江科技大學(xué) 哈爾濱煤礦機械研究所，哈爾濱 150036；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 自動化測試與控制研究所， 哈爾濱 150001)
工作空間機器人末端軌跡的滑?？刂?/p>
沈顯慶1, 鄭俊翔1, 唐 巍1, 王明杰2, 劉繼紅3
(1.黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2.黑龍江科技大學(xué) 哈爾濱煤礦機械研究所，哈爾濱 150036；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 自動化測試與控制研究所， 哈爾濱 150001)
為了提高工業(yè)機器人軌跡跟蹤性能，針對傳統(tǒng)控制器存在的啟動輸出轉(zhuǎn)矩大、誤差收斂速度慢和抖振等問題，提出了一種應(yīng)用于機器人工作空間的基于改進(jìn)型雙冪次指數(shù)趨近律的滑?？刂坡稍O(shè)計方法。在工作空間位置坐標(biāo)的動力學(xué)方程基礎(chǔ)上，通過改進(jìn)指數(shù)趨近律的方法，將基于飽和函數(shù)的雙冪次指數(shù)趨近律運用在終端滑?？刂破髟O(shè)計中，實現(xiàn)了對工作空間下末端軌跡的直接控制，在Simulink環(huán)境下對比分析了兩種趨近律設(shè)計滑模控制律的控制效果。結(jié)果表明：基于該方法所設(shè)計的控制器具有良好的魯棒性和控制精確度，同時有效地削弱了抖振。
機器人； 滑?？刂疲?趨近律； 軌跡跟蹤
0 引 言
當(dāng)前，工業(yè)機器人前沿技術(shù)和產(chǎn)業(yè)發(fā)展迅速，在生產(chǎn)中應(yīng)用日趨廣泛，已成為現(xiàn)代設(shè)備制造業(yè)中重要的自動化裝備。機器人高級控制策略和智能控制成為近年來控制科學(xué)領(lǐng)域探索研究的前沿課題?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制由于快速性好、計算量小、無超調(diào)、實時性強，能對系統(tǒng)進(jìn)行精確地軌跡跟蹤控制，成為近年來機器人高級控制研究的熱點，它能有效解決傳統(tǒng)控制器存在啟動輸出轉(zhuǎn)矩大、誤差收斂速度慢等問題，然而抖振問題仍是在實際應(yīng)用中的障礙。
國內(nèi)外許多學(xué)者從趨近律的角度提出了不同解決抖振對策，高為炳[1]提出了設(shè)計趨近律的概念，為縮短趨近時間以及削弱抖振提供了可行性的辦法。盛嚴(yán)等[2]提出了一種指數(shù)趨近律，可從較大的趨近速度逐漸減少到零，有效縮短了趨近時間。Yu等[3]通過將指數(shù)趨近律與單冪次趨近律組合，使趨近過程更加平滑，但到達(dá)切換面系統(tǒng)后仍存在抖振。Jiang等[4]將模糊控制與指數(shù)趨近律結(jié)合，利用模糊規(guī)則動態(tài)調(diào)節(jié)趨近律中的增益，使系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)得到進(jìn)一步改善，消除了高頻抖動。Bandyopadhyay等[5]將改進(jìn)的單冪次趨近律與積分滑模面相結(jié)合設(shè)計控制律，但趨近時間有待提高。文獻(xiàn)[6-7]提出了一種全局快速收斂的雙冪次趨近律。文獻(xiàn)[8-10]在趨近律加入了自適應(yīng)項，可自適應(yīng)調(diào)節(jié)增益，有效提高了趨近速度并削弱了抖振。張瑤等[11]將多冪次趨近律應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制，并通過詳細(xì)推導(dǎo)驗證了所設(shè)計趨近律的優(yōu)越性和可行性。筆者在對機械臂的動力學(xué)特性和趨近律特性分析的基礎(chǔ)上，將基于飽和函數(shù)的雙冪次指數(shù)趨近律和終端滑模面應(yīng)用于機器人控制器的設(shè)計中，實現(xiàn)對工作空間下末端軌跡的直接控制。
1 機械手動力學(xué)模型
對于被控對象為一個剛性n關(guān)節(jié)機械手，根據(jù)拉格朗日方法，其動力學(xué)方程為[12]
(1)
式中：D(q)Rn×n——機械手的慣性矩陣；
D(q)Rn——重力向量；
qRn——表示關(guān)節(jié)角度量；
τRn——電機施加的關(guān)節(jié)扭矩；
τdRn——外加干擾。
mi——mi=P+Pl;
q1、q2——關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角位移；
mα、mβ——關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的質(zhì)量；
l1、l2——關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的長度；
g——重力加速度。
為了實現(xiàn)末端執(zhí)行器的空間位置控制，需要針對工作空間設(shè)計直接的方法，建立基于末端位置的動力學(xué)方程。根據(jù)機械手關(guān)節(jié)力矩τ與末端執(zhí)行力Fx之間存在線性映射關(guān)系，通過靜力學(xué)中的虛功原理[13]可得
Fx=J-T(q)τ。
根據(jù)文獻(xiàn)[14]中推導(dǎo)過程，得到基于末端位置坐標(biāo)(x1,x2)的動力學(xué)方程
(2)
式中:Dx(q)=J-TD(q)J-1;
Gx(q)=J-TG(q)；
fd=J-Tτd。
2 滑?？刂破鞯脑O(shè)計
變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動態(tài)控制過程，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)偏差及偏差導(dǎo)數(shù)的變化，通過躍變的方式按照設(shè)定的規(guī)律作動態(tài)改變。滑模變結(jié)構(gòu)作為一類特殊的非線性控制方式，該類系統(tǒng)將在狀態(tài)空間預(yù)先設(shè)定一個切換曲面，由不連續(xù)的控制律，不斷變換控制狀態(tài)相結(jié)構(gòu)，使其沿著這個預(yù)定的切換曲面向平衡點滑動，最后系統(tǒng)漸近穩(wěn)定至平衡點。機械手末端軌跡跟隨的驅(qū)動力矩可用位置、速度的變化方式以設(shè)定規(guī)律趨向滑模面加以控制。系統(tǒng)從任意的初始狀態(tài)趨向切換面，趨近運動s→0的過程，如圖1所示。
圖1 系統(tǒng)變結(jié)構(gòu)的相軌跡
2.1 趨近律的設(shè)計
滑模變結(jié)構(gòu)過程包括趨近運動和滑模運動兩個環(huán)節(jié)。趨近運動中滑?？蛇_(dá)性條件僅保證由系統(tǒng)狀態(tài)空間任意起始運動點在限定時間內(nèi)到達(dá)切換面，對于其具體運動軌跡未作任何限制，因此，采用趨近律的方法可以有效改善趨近運動的動態(tài)品質(zhì)。
典型的指數(shù)趨近律表示為
(3)
傳統(tǒng)指數(shù)趨近律存在一些不足，雖然在等速趨近律的基礎(chǔ)上增加了指數(shù)趨近項，利用指數(shù)趨近能縮短趨近時間，一定程度上抑制抖振，但等速項存在使系統(tǒng)不能從根本上消除抖振，控制器性能仍有提升的空間。鑒于傳統(tǒng)冪次趨近律能平滑進(jìn)入滑動模態(tài)特點，文中在指數(shù)趨近律與冪次趨近律相結(jié)合的基礎(chǔ)上，對變結(jié)構(gòu)過程進(jìn)行了改進(jìn)，設(shè)計了一種改進(jìn)型雙冪次指數(shù)趨近律，綜合了兩者的優(yōu)點，從而改進(jìn)了指數(shù)趨近律。由于典型控制器含有不連續(xù)符號函數(shù)sgn(s)，控制器的力矩輸出必然會出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。由于雙曲正切函數(shù)是光滑的，可使輸出平滑，因此，采用雙曲正切函數(shù)來代替符號函數(shù)，提升系統(tǒng)抑制抖振的性能。最后，設(shè)計的基于飽和函數(shù)的改進(jìn)型雙冪次指數(shù)趨近律表示為：
(4)
其中，ε1>0,ε2>0,k>0,1>α>0,β>1。
文中提出的趨近律原理與傳統(tǒng)趨近律相似，以s=1為臨界值，將系統(tǒng)到達(dá)滑模面分為兩個階段。式(4)中，當(dāng)|s|<1時，α值越小，系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度越快，β越大，-ε2|s|βtanh(s/δ)項在式中所起的作用越小，可忽略后項對系統(tǒng)的影響；當(dāng)|s|>1時，α值越小，-ε1|s|αtanh(s/δ)項在式中所起的作用越小，可忽略前項對系統(tǒng)的影響，β越大，系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度越快。式(4)中前兩項，相當(dāng)分階段控制，需增加指數(shù)項ks來緩解系統(tǒng)分界過程中的不連續(xù)性，從而削弱系統(tǒng)的抖振，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
2.2 控制律的設(shè)計
機械手滑?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計，如圖2所示。
圖2 機械手滑?？刂平Y(jié)構(gòu)
設(shè)計的變結(jié)構(gòu)控制器如下，定義誤差:
(5)
式中：e——機械臂末端位置的跟蹤誤差；
為了提高收斂性能，采用Terminal滑模控制策略[15-17]，在切換面的設(shè)計中引入非線性函數(shù)，使得切換面上跟蹤誤差能在有限時間內(nèi)收斂到零。
定義終端滑模切換面[15]
(6)
式中：Λ——一個正定矩陣；
p、q——正奇數(shù)，q>p。
定義參考變量
(7)
于是，則有
(8)
整理得
(9)
取常用的趨近律式(3)代入式(9)可得控制律：
(10)
式中：ε>0,K>0。
(11)
式中：ε1>0,ε2>0,k>0,δ>0。
2.3 穩(wěn)定性證明
對改進(jìn)的滑?？刂破鬟M(jìn)行穩(wěn)定性分析時，將式(11)代入式(2)，得
(12)
(13)
由于Dx(q)為對稱正定，則可選取Lyapunov函數(shù)
(14)
將定義的Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)后代入式(14)得
(15)
結(jié)合(13)可得
(16)
收斂性分析，由Barlalat引理得e是連續(xù)的，則當(dāng)t→∞時，e→→0，即s指數(shù)收斂，位置誤差e和速度誤差指數(shù)收斂。
3 仿真結(jié)果與分析
a 末端節(jié)點的位置跟蹤
b 末端節(jié)點的速度跟蹤
c 控制輸入Fx和M
d 軌跡跟蹤效果
a 末端節(jié)點的位置跟蹤
b 末端節(jié)點的速度跟蹤
c 控制輸入Fx和M
d 軌跡跟蹤效果
4 結(jié)束語
針對機器人跟蹤控制器存在的問題，以加快誤差收斂速度和降低抖振、改善趨近運動的動態(tài)品質(zhì)作為優(yōu)化目標(biāo)，提出了改進(jìn)指數(shù)趨近律的設(shè)計思想和方法，給出了基于飽和函數(shù)的改進(jìn)型雙冪次趨近律滑?？刂撇呗?，解決了以往控制器啟動輸出力矩大、跟蹤速度慢，典型趨近律滑模控制力矩輸出存在抖振等問題，使軌跡跟蹤的誤差收斂速度和抑制切換抖振達(dá)到最佳。改進(jìn)的控制律使系統(tǒng)相狀態(tài)可根據(jù)與切換面距離，自適應(yīng)地調(diào)節(jié)主導(dǎo)趨近規(guī)律，從而使系統(tǒng)具有良好的魯棒性和控制精確度，同時有效地消除了抖振。為進(jìn)一步研究滑?？刂圃诘芽柨臻g下機械手末端位置跟蹤的應(yīng)用提供了參考。
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(編校 李德根)
Study on trajectory of manipulators end-effector based on sliding mode algorithm in task space
ShenXianqing1，ZhengJunxiang1，TangWei1,WangMingjie2,LiuJihong3
(1.School of Electrical & Control Engineering, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China；2. Harbin Coal Mine Mechanical Research Institute, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150036, China； 3. Automatic Test & Control Institute, Harbin Institute of Technology, Harbin 150022, China)
This paper presents a novel design approach for sliding mode control law based on an improved double power exponential reaching law——a method aimed at improving the trajectory tracking performance of industrial robot as a viable solution to the drawbacks inherent in traditional controllers, such as a higher starting output torque, a lower error convergence speed and chattering. The research building on the dynamics equations in task space coordinates involves improving exponential reaching law and applying the double power exponential reaching law with the saturation function for designing a terminal sliding mode controller; and thereby achieving the direct control of end-effector’s trajectory in task space. The study is validated by the simulation experiment under the environment of Simulink and subsequent comparison of the control effects of different controllers under two reaching laws. The results demonstrate that this proposed method may provide a control system with a better robustness, a greater control precision, and an effective chattering reduction.
robot; sliding mode control; reaching law; trajectory tracking
2016-10-17
黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(12541697)
沈顯慶(1969-)，男，吉林省通化人，教授，博士，研究方向：先進(jìn)伺服系統(tǒng)與智能控制，E-mail:shenxianqing2001@163.com。
10.3969/j.issn.2095-7262.2016.06.019
TP273
2095-7262(2016)06-0681-06
:A
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沈顯慶, 鄭俊翔, 唐 巍, 王明杰, 劉繼紅
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機器人； 滑?？刂疲?趨近律； 軌跡跟蹤
0 引 言
當(dāng)前，工業(yè)機器人前沿技術(shù)和產(chǎn)業(yè)發(fā)展迅速，在生產(chǎn)中應(yīng)用日趨廣泛，已成為現(xiàn)代設(shè)備制造業(yè)中重要的自動化裝備。機器人高級控制策略和智能控制成為近年來控制科學(xué)領(lǐng)域探索研究的前沿課題?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制由于快速性好、計算量小、無超調(diào)、實時性強，能對系統(tǒng)進(jìn)行精確地軌跡跟蹤控制，成為近年來機器人高級控制研究的熱點，它能有效解決傳統(tǒng)控制器存在啟動輸出轉(zhuǎn)矩大、誤差收斂速度慢等問題，然而抖振問題仍是在實際應(yīng)用中的障礙。
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1 機械手動力學(xué)模型
對于被控對象為一個剛性n關(guān)節(jié)機械手，根據(jù)拉格朗日方法，其動力學(xué)方程為[12]
(1)
式中：D(q)Rn×n——機械手的慣性矩陣；
D(q)Rn——重力向量；
qRn——表示關(guān)節(jié)角度量；
τRn——電機施加的關(guān)節(jié)扭矩；
τdRn——外加干擾。
mi——mi=P+Pl;
q1、q2——關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角位移；
mα、mβ——關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的質(zhì)量；
l1、l2——關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的長度；
g——重力加速度。
為了實現(xiàn)末端執(zhí)行器的空間位置控制，需要針對工作空間設(shè)計直接的方法，建立基于末端位置的動力學(xué)方程。根據(jù)機械手關(guān)節(jié)力矩τ與末端執(zhí)行力Fx之間存在線性映射關(guān)系，通過靜力學(xué)中的虛功原理[13]可得
Fx=J-T(q)τ。
根據(jù)文獻(xiàn)[14]中推導(dǎo)過程，得到基于末端位置坐標(biāo)(x1,x2)的動力學(xué)方程
(2)
式中:Dx(q)=J-TD(q)J-1;
Gx(q)=J-TG(q)；
fd=J-Tτd。
2 滑?？刂破鞯脑O(shè)計
變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動態(tài)控制過程，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)偏差及偏差導(dǎo)數(shù)的變化，通過躍變的方式按照設(shè)定的規(guī)律作動態(tài)改變。滑模變結(jié)構(gòu)作為一類特殊的非線性控制方式，該類系統(tǒng)將在狀態(tài)空間預(yù)先設(shè)定一個切換曲面，由不連續(xù)的控制律，不斷變換控制狀態(tài)相結(jié)構(gòu)，使其沿著這個預(yù)定的切換曲面向平衡點滑動，最后系統(tǒng)漸近穩(wěn)定至平衡點。機械手末端軌跡跟隨的驅(qū)動力矩可用位置、速度的變化方式以設(shè)定規(guī)律趨向滑模面加以控制。系統(tǒng)從任意的初始狀態(tài)趨向切換面，趨近運動s→0的過程，如圖1所示。
圖1 系統(tǒng)變結(jié)構(gòu)的相軌跡
2.1 趨近律的設(shè)計
滑模變結(jié)構(gòu)過程包括趨近運動和滑模運動兩個環(huán)節(jié)。趨近運動中滑?？蛇_(dá)性條件僅保證由系統(tǒng)狀態(tài)空間任意起始運動點在限定時間內(nèi)到達(dá)切換面，對于其具體運動軌跡未作任何限制，因此，采用趨近律的方法可以有效改善趨近運動的動態(tài)品質(zhì)。
典型的指數(shù)趨近律表示為
(3)
傳統(tǒng)指數(shù)趨近律存在一些不足，雖然在等速趨近律的基礎(chǔ)上增加了指數(shù)趨近項，利用指數(shù)趨近能縮短趨近時間，一定程度上抑制抖振，但等速項存在使系統(tǒng)不能從根本上消除抖振，控制器性能仍有提升的空間。鑒于傳統(tǒng)冪次趨近律能平滑進(jìn)入滑動模態(tài)特點，文中在指數(shù)趨近律與冪次趨近律相結(jié)合的基礎(chǔ)上，對變結(jié)構(gòu)過程進(jìn)行了改進(jìn)，設(shè)計了一種改進(jìn)型雙冪次指數(shù)趨近律，綜合了兩者的優(yōu)點，從而改進(jìn)了指數(shù)趨近律。由于典型控制器含有不連續(xù)符號函數(shù)sgn(s)，控制器的力矩輸出必然會出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。由于雙曲正切函數(shù)是光滑的，可使輸出平滑，因此，采用雙曲正切函數(shù)來代替符號函數(shù)，提升系統(tǒng)抑制抖振的性能。最后，設(shè)計的基于飽和函數(shù)的改進(jìn)型雙冪次指數(shù)趨近律表示為：
(4)
其中，ε1>0,ε2>0,k>0,1>α>0,β>1。
文中提出的趨近律原理與傳統(tǒng)趨近律相似，以s=1為臨界值，將系統(tǒng)到達(dá)滑模面分為兩個階段。式(4)中，當(dāng)|s|<1時，α值越小，系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度越快，β越大，-ε2|s|βtanh(s/δ)項在式中所起的作用越小，可忽略后項對系統(tǒng)的影響；當(dāng)|s|>1時，α值越小，-ε1|s|αtanh(s/δ)項在式中所起的作用越小，可忽略前項對系統(tǒng)的影響，β越大，系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度越快。式(4)中前兩項，相當(dāng)分階段控制，需增加指數(shù)項ks來緩解系統(tǒng)分界過程中的不連續(xù)性，從而削弱系統(tǒng)的抖振，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
2.2 控制律的設(shè)計
機械手滑?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計，如圖2所示。
圖2 機械手滑?？刂平Y(jié)構(gòu)
設(shè)計的變結(jié)構(gòu)控制器如下，定義誤差:
(5)
式中：e——機械臂末端位置的跟蹤誤差；
為了提高收斂性能，采用Terminal滑模控制策略[15-17]，在切換面的設(shè)計中引入非線性函數(shù)，使得切換面上跟蹤誤差能在有限時間內(nèi)收斂到零。
定義終端滑模切換面[15]
(6)
式中：Λ——一個正定矩陣；
p、q——正奇數(shù)，q>p。
定義參考變量
(7)
于是，則有
(8)
整理得
(9)
取常用的趨近律式(3)代入式(9)可得控制律：
(10)
式中：ε>0,K>0。
(11)
式中：ε1>0,ε2>0,k>0,δ>0。
2.3 穩(wěn)定性證明
對改進(jìn)的滑?？刂破鬟M(jìn)行穩(wěn)定性分析時，將式(11)代入式(2)，得
(12)
(13)
由于Dx(q)為對稱正定，則可選取Lyapunov函數(shù)
(14)
將定義的Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)后代入式(14)得
(15)
結(jié)合(13)可得
(16)
收斂性分析，由Barlalat引理得e是連續(xù)的，則當(dāng)t→∞時，e→→0，即s指數(shù)收斂，位置誤差e和速度誤差指數(shù)收斂。
3 仿真結(jié)果與分析
a 末端節(jié)點的位置跟蹤
b 末端節(jié)點的速度跟蹤
c 控制輸入Fx和M
d 軌跡跟蹤效果
a 末端節(jié)點的位置跟蹤
b 末端節(jié)點的速度跟蹤
c 控制輸入Fx和M
d 軌跡跟蹤效果
4 結(jié)束語
針對機器人跟蹤控制器存在的問題，以加快誤差收斂速度和降低抖振、改善趨近運動的動態(tài)品質(zhì)作為優(yōu)化目標(biāo)，提出了改進(jìn)指數(shù)趨近律的設(shè)計思想和方法，給出了基于飽和函數(shù)的改進(jìn)型雙冪次趨近律滑?？刂撇呗?，解決了以往控制器啟動輸出力矩大、跟蹤速度慢，典型趨近律滑模控制力矩輸出存在抖振等問題，使軌跡跟蹤的誤差收斂速度和抑制切換抖振達(dá)到最佳。改進(jìn)的控制律使系統(tǒng)相狀態(tài)可根據(jù)與切換面距離，自適應(yīng)地調(diào)節(jié)主導(dǎo)趨近規(guī)律，從而使系統(tǒng)具有良好的魯棒性和控制精確度，同時有效地消除了抖振。為進(jìn)一步研究滑?？刂圃诘芽柨臻g下機械手末端位置跟蹤的應(yīng)用提供了參考。
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(編校 李德根)
Study on trajectory of manipulators end-effector based on sliding mode algorithm in task space
ShenXianqing1，ZhengJunxiang1，TangWei1,WangMingjie2,LiuJihong3
(1.School of Electrical & Control Engineering, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China；2. Harbin Coal Mine Mechanical Research Institute, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150036, China； 3. Automatic Test & Control Institute, Harbin Institute of Technology, Harbin 150022, China)
This paper presents a novel design approach for sliding mode control law based on an improved double power exponential reaching law——a method aimed at improving the trajectory tracking performance of industrial robot as a viable solution to the drawbacks inherent in traditional controllers, such as a higher starting output torque, a lower error convergence speed and chattering. The research building on the dynamics equations in task space coordinates involves improving exponential reaching law and applying the double power exponential reaching law with the saturation function for designing a terminal sliding mode controller; and thereby achieving the direct control of end-effector’s trajectory in task space. The study is validated by the simulation experiment under the environment of Simulink and subsequent comparison of the control effects of different controllers under two reaching laws. The results demonstrate that this proposed method may provide a control system with a better robustness, a greater control precision, and an effective chattering reduction.
robot; sliding mode control; reaching law; trajectory tracking
2016-10-17
黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(12541697)
沈顯慶(1969-)，男，吉林省通化人，教授，博士，研究方向：先進(jìn)伺服系統(tǒng)與智能控制，E-mail:shenxianqing2001@163.com。
10.3969/j.issn.2095-7262.2016.06.019
TP273
2095-7262(2016)06-0681-06
:A
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