黃 亮，林光春，黃亞太

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)(3SPS-3SRR)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

黃 亮，林光春，黃亞太

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

針對一種3SPS-3SRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，運(yùn)用符號(hào)法對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置分析及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析建模。構(gòu)建動(dòng)、靜坐標(biāo)系，通過矩陣轉(zhuǎn)換對機(jī)構(gòu)建立約束方程，運(yùn)用sylvester消元方法進(jìn)行消元得到機(jī)構(gòu)單變元輸入輸出方程，求得機(jī)構(gòu)位姿的封閉解；在此基礎(chǔ)上，對機(jī)構(gòu)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型，得到了與機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)相分離的Jacobian、Hessian矩陣，并通過此運(yùn)動(dòng)模型可以得到機(jī)構(gòu)輸出端任意點(diǎn)的速度及加速度。最后進(jìn)行實(shí)例求解，驗(yàn)證本位置、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性并通過matlab符號(hào)運(yùn)算及繪圖功能得到機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的位姿、速度及加速度曲線。得出該求解模型準(zhǔn)確、高效，該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性平滑的結(jié)論。

3SPS-3SRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)；位置分析；sylvester消元；運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

0 引言

20世紀(jì)60年代，Stewart機(jī)構(gòu)的誕生引起了國際機(jī)構(gòu)學(xué)者的廣泛興趣，也標(biāo)志著并聯(lián)機(jī)器人的誕生，開辟了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究新領(lǐng)域。繼Hunt[1]首次提出3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)后，國內(nèi)外學(xué)者在該類型機(jī)構(gòu)的構(gòu)型、位置分析、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析以及工作空間分析等方面做了大量工作。例如：Asada、Lee[2]等設(shè)計(jì)了多種3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)上，將其運(yùn)用到某些特定場合。國內(nèi)的學(xué)者對某些具體的機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析，如黃真等運(yùn)用螺旋理論對3-RPS機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析并建立動(dòng)力學(xué)模型，通過實(shí)例給予驗(yàn)證；魯開講[3]等分析了3-RPS機(jī)構(gòu)的約束方程及微分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，得到了無奇異位的工作空間；張濟(jì)，姚翔等[4-5]運(yùn)用符號(hào)法對某3自由度可調(diào)球面機(jī)構(gòu)進(jìn)行了位置分析及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到了該機(jī)構(gòu)的8種裝配形式及機(jī)構(gòu)末端角速度、角加速度關(guān)于時(shí)間的曲線；劉善增等[6]對3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析，得到機(jī)構(gòu)位姿與約束之間的解析關(guān)系。然而，3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)種類繁多，位置約束方程及運(yùn)動(dòng)學(xué)特性具有明顯個(gè)體差異，對該類機(jī)構(gòu)的特性認(rèn)識(shí)依然不夠充分。

作為運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)分析的基礎(chǔ)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析往往歸結(jié)為為非線性約束方程組的求解。牛頓拉弗森、同倫連續(xù)法、遺傳算法[7-8]等數(shù)值方法在位置分析中得到了廣泛運(yùn)用，但是數(shù)值方法具有初始解難以確定、在線計(jì)算時(shí)間長、迭代不收斂或者收斂不到預(yù)期的解等缺點(diǎn)，基于符號(hào)運(yùn)算的消元方法可以快速得到機(jī)構(gòu)的單變元輸入輸出方程，達(dá)到耗時(shí)短、能夠?qū)崿F(xiàn)位置分析解析解的目的。因此符號(hào)算法及消元方法在位置分析中的運(yùn)用具有重要的理論意義及實(shí)用價(jià)值。

本文基于符號(hào)法對一種3SPS-3SRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,構(gòu)建了機(jī)構(gòu)的約束方程進(jìn)行消元得到機(jī)構(gòu)的單變元輸入輸出方程進(jìn)而可得其封閉解，建立速度、加速度模型得到其Jacobian,Hessian矩陣并以動(dòng)平臺(tái)作為分析對象得到其速度、加速度曲線。該機(jī)構(gòu)具有并聯(lián)機(jī)構(gòu)載能力強(qiáng)、剛度大、自重負(fù)載比較小的特點(diǎn)、且各分支鏈成中心對稱分布運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及求解具有可復(fù)制性、運(yùn)動(dòng)特性平滑，具有良好對中性，控制較為簡單等優(yōu)點(diǎn)，在特定場合具有重要用途。

1 機(jī)構(gòu)簡介及坐標(biāo)系的建立

圖1為3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)(3SPS-3SRR)結(jié)構(gòu)簡圖。該機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)E1E2E3、靜平臺(tái)A1A2A3、支鏈AiLiEi及支鏈BiDiCi(i=1，2，3)組成。支鏈AiLiEi及支鏈BiDiCi沿著動(dòng)、靜平臺(tái)中心所在直線均布。支鏈在Ai、Ci、Ei點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)副均為球面副，在Bi、Di為轉(zhuǎn)動(dòng)副，且AiBi所在的直線與相應(yīng)位置支鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線垂直。Li為三條驅(qū)動(dòng)桿，通過其桿長變化可以改變機(jī)構(gòu)位姿。

圖1 3SPS-3SRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置分析建系過程中，通常選擇動(dòng)平臺(tái)中心作為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)，在本機(jī)構(gòu)中為了盡量減少位置分析變量的個(gè)數(shù)，按以下方法建立坐標(biāo)系：以右手定則在靜平臺(tái)上建立靜坐標(biāo)系T0，如圖所示為坐標(biāo)系O-xyz，其原點(diǎn)為靜平臺(tái)中心，z軸垂直于平面E1E2E3，x軸沿B1A1方向；在動(dòng)平臺(tái)建立動(dòng)坐標(biāo)系T1，如圖為坐標(biāo)系O1-x1y1z1，C1為該動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)，z1軸垂直于動(dòng)平臺(tái)指向上方，x1軸沿C1E1方向。按此建立的動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)在y向分量恒為0，從而達(dá)到減小位置分析變元的目的。

2 位置分析及求解模型

根據(jù)建立的坐標(biāo)系，可以分別將Ai、Bi在靜坐標(biāo)系T0下標(biāo)出，也可將Ci、Ei在動(dòng)坐標(biāo)系T1下標(biāo)出。再根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，在T0系下得到動(dòng)平臺(tái)上特征點(diǎn)坐標(biāo)式，進(jìn)而建立約束方程，求解可以得到動(dòng)平臺(tái)位姿，從而達(dá)到位置分析的目的。

2.1 位置約束方程

設(shè)靜平臺(tái)上A、B點(diǎn)距其中心O點(diǎn)半徑分別為ra、rb，動(dòng)平臺(tái)上C、E點(diǎn)距動(dòng)平臺(tái)中心為rc、re，三個(gè)驅(qū)動(dòng)桿桿長為L1、L2、L3。

設(shè)φ、θ、ψ為動(dòng)平臺(tái)三個(gè)歐拉角，平移向量為R0=(x0,y0,z0)T，按zyz坐標(biāo)矩陣轉(zhuǎn)化形式進(jìn)而可以得到得到齊次變換矩陣M[9]，

(1)

記cφ=cosφ,sφ=sinφ,cθ=cosθ,sθ=sinθ,cψ=cosψ

sψ=sinψ則:e11=cφcψ-cθsφsψ,e12=-cφsψ-cθcψsφ,

e13=sφsθ,e21=cψsφ+cφcθsψ,e22=cφcθcψ-sφsψ,

e23=-cφsθ,e31=sθsψ,e32=cψsθ,e33=cθ。

通過M，可以得到T0下的坐標(biāo)矩陣。對驅(qū)動(dòng)桿，可以建立桿長約束方程：

(2)

由機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)限制，對C點(diǎn)可以建立平面約束方程：

(3)

2.2 位置約束方程封閉解模型

交替使用加減及代入消元法，消去式(2)、式(3)中線性變元，得到：

3rCsin(φ+ψ)(1+cosθ)=0

(4)

(5)

將式(5)中各式分別代入關(guān)于φ、θ的非線性方程組,提取分子得到多項(xiàng)式方程。

(6)

將式(6)改為矩陣形式，令其Sylvester結(jié)式[10]為0消去x2，得到：

(7)

式中系數(shù)是機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)及輸入桿長的函數(shù)。通過matlab符號(hào)運(yùn)算可以得到系數(shù)的符號(hào)表達(dá)式。求解式(7)，將所得結(jié)果回代，可以分別得到各變元的解。

3 3SPS-3SRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

3.1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)

機(jī)構(gòu)影響系數(shù)是由Tesar提出的，為表征機(jī)構(gòu)特性的參量提供了顯性表達(dá)式。由影響系數(shù)法建立的矩陣將機(jī)構(gòu)從運(yùn)動(dòng)中分離出來，可以將機(jī)構(gòu)特殊位形、機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)空間以及機(jī)構(gòu)靈活性、各向同性等歸結(jié)為對其影響系數(shù)矩陣的分析，特別是Jacobian、Hessian矩陣在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的運(yùn)用，為機(jī)構(gòu)速度、加速度分析提供了求解方法。

(8)

對式(8)的一階導(dǎo)數(shù)：

(9)

3.2 機(jī)構(gòu)速度分析

式(2)、式(3)構(gòu)建的約束方程可以確定本處并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿，得到：

(10)

(11)

對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上任一點(diǎn)

(12)

將式(11)代入式(12)可以得到動(dòng)平臺(tái)上任一點(diǎn)線速度。

3.3 機(jī)構(gòu)加速度分析

直接對式(10)求二階導(dǎo)數(shù)，得到機(jī)構(gòu)二階運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)：

(13)

(14)

對于動(dòng)平臺(tái)上任一點(diǎn)P[x,y,z]T，

(15)

式(15)可以得到輸出末端(動(dòng)平臺(tái))任一點(diǎn)線加速度。

4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)實(shí)例求解

4.1 位置求解實(shí)例

并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)ra、rb、rc及re分別為500、410、480及500，三驅(qū)動(dòng)桿長度變化范圍分別為330～460。

取驅(qū)動(dòng)桿長L1=363、L2=400、L3=440，代入式(7)，得到x1的64組解，篩選得到其中10組實(shí)數(shù)解，見表1。

表1 sylvester消元后單變量方程10組實(shí)根

將表(1)中數(shù)據(jù)分別回代求解出機(jī)構(gòu)位姿的32組實(shí)解。

4.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)求解實(shí)例

記桿長與時(shí)間變化函數(shù)分別為：L1(t)=395+sint，L2(t)=395+sint，L3(t)=395-sint，取時(shí)間t的變化范圍為(0～4π)，步長為π/50。將機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)、驅(qū)動(dòng)桿變化規(guī)律及動(dòng)平臺(tái)位置代入式(11)、(14)，可以分別得動(dòng)平臺(tái)位置變化速度、加速度，通過matlab編程，繪制其曲線見圖2、圖3。

(a)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)速度 (b)動(dòng)平臺(tái)位置速度圖2 動(dòng)平臺(tái)速度曲線

(a)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)加速度

(b)動(dòng)平臺(tái)位置加速度圖3 動(dòng)平臺(tái)加速度曲線

取動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心P(平臺(tái)中心)代入式(12)、(15)得到質(zhì)心各向線速度v、加速度a，繪制其曲線圖，見圖4。

(a)動(dòng)平臺(tái)P點(diǎn)速度

(b)動(dòng)平臺(tái)P點(diǎn)加速度圖4 動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心速度、加速度

由動(dòng)平臺(tái)位姿曲線，在機(jī)構(gòu)處于特殊姿態(tài)時(shí)，此瞬間會(huì)對平臺(tái)產(chǎn)生較大沖擊，但是在運(yùn)行一般形位，動(dòng)平臺(tái)展現(xiàn)出良好的運(yùn)動(dòng)特性，并且在水平方向的位移、速度、加速度變化微量，呈現(xiàn)出良好的對中特性。在一些需要對中性的特殊場合具有重要意義。

5 結(jié)論

(1)對一種三自由度平臺(tái)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)建立了位置、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型。運(yùn)用結(jié)式消元方法得到了機(jī)構(gòu)位姿封閉解，構(gòu)建了Jacobian、Hessian矩陣，并基于matlab符號(hào)運(yùn)算得到其符號(hào)顯式。本模型的求解分析過程對于平臺(tái)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有普適性。

(2)采用sylvester消元法對機(jī)構(gòu)位姿的非線性約束方程組進(jìn)行消元，得到了位姿的解析解，降低了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿方程的求解難度，避免了數(shù)值法初值難以確定及耗時(shí)長的不足。

(3)得到了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出端的速度、加速度曲線。得到的輸出端質(zhì)心在水平方向的速度及加速度相對于豎直向的分量較小，輸出端具有較好的對中性，且平滑性較好，沖擊小，再加之該機(jī)構(gòu)具有承載能力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)對稱、控制較簡單等優(yōu)點(diǎn)，在一些特殊場合，該機(jī)構(gòu)具有重要作用。

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(編輯 李秀敏)

Kinematics Analysis of 3 SPS-3 SRR Parallel Mechanism

HUANGLiang,LINGuang-chun,HUANGYa-tai

(SchoolofManufacturingScienceandEngineering,SichuanUniversity,Chengdu610065,China)

Themodelofkinematiccanbeacquiredbasedonsymbolicmethodconcerningathree-DOFparallelmechanism.Firstly,setupstaticanddynamiccoordinatesystem,establishedtheconstraintequationsthroughmatrixtransformationinthispaper.Thenconvertedthesimplifiedequtionsintopolynomialequtions.Theclosed-formexpressionofconstraintequtionswouldbegotbysylvesterelimination,innext.Onthisbasis,researshedkinematicscharacteristicsoftheparallelmechanism,gottheJacobianHessianmatrixsthatareindependentofthemotionsofactuatingarms.wecanalsogettheterminalarbitrarypoint’svelocityandaccelerationthoughthemodel.Atlast,verifiedthemodelhadbeenprovedasanefficieneandaccuratemethedbycalculatinganexample.Meanwhile,drewtheterminalcentroidposition,velocityandaccelerationcurvethoughthemodelprogrammingontheMatlab.Ingeneral,themethedofthemodeliscorrect,efficient;thekinematicscharacteristicofthemechanismissmooth.

3SPS-3SRRparallelmechanism;positionanalysis;kinematicanalysis;sylvesterelimination

1001-2265(2016)12-0056-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.12.016

2016-02-25；

2016-03-30

黃亮(1990—)，男，四川南充人，四川大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)及機(jī)器人學(xué)，(E-mail)1471556247@qq.com。

TH112；TG

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