□郭倩王鋒

胸中有圖大有裨益

□郭倩王鋒

課本中的許多例習(xí)題中，常常隱含著解決問題的數(shù)學(xué)模型，在平時解題過程中，我們?nèi)绻朴谌グl(fā)現(xiàn)挖掘、歸納提煉出這些模型，并加以應(yīng)用，可以大大縮短我們的思維過程，快速找到解決問題的突破口.

課本習(xí)題：（人教版九年級數(shù)學(xué)下冊36頁）

如圖甲，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，求證：

（1）△ACD∽△ABC；

（2）△CBD∽△ABC.

圖甲

圖乙

證明：略.

探索與思考：根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，由△ACD∽△ABC可得，即AC2＝AD·BA；同理由△CBD∽△ABC可得即BC2＝BD·BA.

由此我們可以發(fā)現(xiàn)：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形是相似的.

現(xiàn)在我們思考這樣的一個問題：能否把上述問題進行拓廣，若將“直角三角形”拓廣到“一般的三角形”，線段CD滿足什么條件時分割出的其中一個三角形才能與原三角形相似呢？

受課本習(xí)題探究過程的啟發(fā)，根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”，顯然如果我們過頂點C作∠ACD＝∠B，此時一定有△ACD∽△ABC，并且AC2＝AD·BA.

概括與提煉：觀察△ACD與△ABC在圖乙中的位置與形成的結(jié)構(gòu)特點，我們可以看到它們具有如下的特征：①有一個公共角（∠A），②有一條公共邊（AC）.我們不妨稱這對三角形為共邊共角的相似三角形.

例1（2016·襄陽）如圖1①，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊上的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG.

（1）求證：四邊形EFDG是菱形；

（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1①

證明：（1）略.

圖1②

（2）如圖1②，連接ED交AF于點H.

∵四邊形EFDG是菱形，

∴GE＝EF，DE⊥AF，

∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，

∠EFH＝∠AFE，

∴△EFH∽△AFE，

即EF2＝FH·AF，

∴EG2＝

點評：（1）略.

（2）連接DE，從圖形中發(fā)現(xiàn)△EFH與△AFE是一對共邊EF、共角∠AFE的相似三角形，得到EF2＝FG·FA，然后借助等量代換得到EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系.

例2（2016·武漢）在△ABC中，P為邊AB上一點.

（1）如圖2①，若∠ACP＝∠B，求證：AC2＝AP·AB；

（2）如圖2②，AB＝3，AC＝2，若M為CP的中點，且∠PBM＝∠ACP，求BP的長.

圖2①

圖2②

證明：（1）略.

（2）取線段AP的中點N，連接MN，如圖2③.

∵M為CP的中點，

∴MN∥AC，

∴∠NMP＝∠ACP.

又∠PBM＝∠ACP，

∴∠NMP＝∠NBM.

（顯然△NMP與△NBM是一對共邊NM和共角∠PNM的相似三角形）

∴△NMP∽△NBM，

∴NM2＝NP·NB.

設(shè)NP＝x，

則AN＝x，NB＝AB－AN＝3－x，

∴12＝x（3－x），

即x2－3x＋1＝0，

∴BP＝AB－AP

圖2③

點評：當(dāng)然本題（2）也可以通過證明△ACP∽△NBM來間接計算BP的長.

例3（2016·大慶）如圖3，在菱形ABCD中，G是BD上的一點，連接CG并延長交BA的延長線于點F、交AD于E.

求證：（1）AG=CG；

（2）CG2＝EG·FG.

圖3

證明：（1）略.

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠AFG＝∠DCG.

由（1）易證△ADG≌△CDG知

∠DAG＝∠DCG，

∴∠DAG＝∠AFG.

又∠AGE＝∠FGA，

∴△AGE∽△FGA，

即AG2＝EG·FG.

由（1）知AG＝CG，

∴CG2＝EG·FG.

點評：證明等積式，我們先把其化成比例式，然后尋找四條線段所在的兩個三角形相似便可解決問題，但若給出的等積式中線段在一條直線上時，常常需要用某一相等的線段來代換其中的一條（或兩條），從而發(fā)現(xiàn)相似的兩個三角形（如本題就是將CG換成AG達到目的）.為方便記憶給出如下的口訣：遇等積，改等比，橫找豎找定相似，不相似別生氣，等線等比來代替.