□于志洪

分類求解相似三角形

□于志洪

在解答相似三角形問題時(shí)，常常因?yàn)闂l件的不確定，而需要對(duì)問題進(jìn)行分類討論，從而可以防止漏解.

一、因?qū)?yīng)邊角不確定，需分類求解

例1△ABC與△ADE相似，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且AD＝4，AB＝8，AC＝12，求AE的長.

分析：當(dāng)以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，兩個(gè)三角形的公共頂點(diǎn)A必為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，但夾角A的兩組對(duì)應(yīng)邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，故需要分類討論.

解：（1）當(dāng)∠ADE＝∠B時(shí)，如圖1，△ADE∽△ABC，所以

（2）當(dāng)∠AED＝∠B時(shí)，

如圖2，△AED∽△ABC，

圖1

圖2

例2如圖3，∠ACB＝∠ABD＝90°，BC＝a，AC＝b，當(dāng)Rt△ABD的斜邊上的高h(yuǎn)＝時(shí)，圖中的兩個(gè)直角三角形相似.

圖3

分析：要使兩個(gè)直角三角形相似，只要∠D＝∠ABC或∠D＝∠BAC即可，又因?yàn)橄嗨迫切螌?duì)應(yīng)高的比等于相似比，而Rt△ABD斜邊上的高可求出，所以列比例式可求h.

解：設(shè)Rt△ABC斜邊上的高為x，則AB·x＝ab.

所以，當(dāng)Rt△ABD斜邊上的高h(yuǎn)＝a或b時(shí)，圖中的兩個(gè)直角三角形相似.

二、因圖形位置不確定，需分類求解

例3在正方形ABCD中，P是CD上一動(dòng)點(diǎn)（與C、D不重合），使三角尺的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合，并且一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點(diǎn)E.探究：（1）觀察操作結(jié)果，哪一個(gè)三角形與△BPC相似？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與△BPC的周長比是多少？

分析：解決本題的關(guān)鍵是要經(jīng)過動(dòng)手操作，畫出圖形，再加以分析，由于圖形位置的不確定，故需要分情況求解.

解：（1）①如圖4所示，另一條直角邊與AD交于點(diǎn)E，

則△PDE∽△BCP.

證明：在△PDE和△BCP中，

因?yàn)椤?＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2.

又因?yàn)椤螾DE＝∠BCP＝90°，所以△PDE∽△BCP.

②如圖5，同理可證明△PCE∽△BCP及證明△BPE∽△BCP.（過程略）

圖4

圖5

圖6

圖7

（2）①如圖6所示，當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，若另一條直角邊與AD交于點(diǎn)E，則

又因?yàn)椤鱌ED∽△BCP，所以△PDE與△BCP的周長比是1∶2.

②如圖7所示，同樣可計(jì)算出△PCE與△BCP的周長比為1∶2；及△BPE與△BCP的周長比為

總之，在今后解相似三角形問題時(shí)，我們只要細(xì)心去思考，認(rèn)真去分析，就不會(huì)出現(xiàn)漏解.只要我們養(yǎng)成全方位進(jìn)行思考的好習(xí)慣，我們就能不斷走向成功.