張紅鈺,金玉蘋(píng),刁 瑞

（牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 綏化 157000）

一類(lèi)非線性系統(tǒng)的函數(shù)觀測(cè)器設(shè)計(jì)探究

張紅鈺,金玉蘋(píng),刁 瑞

（牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 綏化 157000）

本文著重對(duì)單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測(cè)器設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，在已知條件背景下，通過(guò)線性矩陣不等式對(duì)函數(shù)觀測(cè)器增益矩陣條件進(jìn)行明確，繼而確定了函數(shù)觀測(cè)器增益矩陣設(shè)計(jì)方法。以一個(gè)仿真實(shí)例為基礎(chǔ)，對(duì)函數(shù)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)進(jìn)行驗(yàn)證，既能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)，又能夠有效消除觀測(cè)誤差。

非線性;系統(tǒng);函數(shù)觀測(cè)器;設(shè)計(jì)探究

1 前言

非線性系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)問(wèn)題一直備受關(guān)注，相關(guān)研究者也嘗試通過(guò)坐標(biāo)變換法、類(lèi)Lyapunov方法和擴(kuò)展的Kalman濾波法等對(duì)不同設(shè)計(jì)方法進(jìn)行探索，以推進(jìn)狀態(tài)反饋實(shí)施，為非線性系統(tǒng)觀測(cè)器研究奠定良好的理論及技術(shù)基礎(chǔ)。以一類(lèi)Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)為例，相關(guān)文獻(xiàn)中對(duì)該非線性系統(tǒng)的相關(guān)條件進(jìn)行明確界定，有助于實(shí)現(xiàn)觀測(cè)器漸近穩(wěn)定，與此同時(shí)，也對(duì)觀測(cè)器增益矩陣的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行明確，并在降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)中對(duì)相關(guān)研究成果進(jìn)行推廣。

Lipschitz條件背景下的觀測(cè)器增益矩陣設(shè)計(jì)方法比較保守，數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究者采用單邊Lipschitz條件，對(duì)它的保守性進(jìn)行有效控制。相關(guān)文獻(xiàn)中已經(jīng)對(duì)單邊Lipschitz條件的概念進(jìn)行了相關(guān)界定，且單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測(cè)器增益矩陣條件也比較充分，但是觀測(cè)器增益矩陣設(shè)計(jì)過(guò)程中的有效性不足，也并未給出具體的設(shè)計(jì)方法。相關(guān)研究人員對(duì)線性矩陣不等式進(jìn)行求解，以得出觀測(cè)器增益矩陣。而單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)降維觀測(cè)器增益矩陣的相關(guān)條件也比較充分，并嘗試提出新型觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法。采用二次內(nèi)積有界性使觀測(cè)器增益矩陣條件充足，它需要對(duì)非線性矩陣不等式進(jìn)行求解，筆者對(duì)該條件進(jìn)行升級(jí)和改進(jìn)，使其變?yōu)榻饩€性矩陣不等式，而觀測(cè)器增益矩陣設(shè)計(jì)方法屬已知條件。借助Lyapunov方法，觀測(cè)誤差漸近穩(wěn)定條件呈已知狀態(tài)，對(duì)觀測(cè)器設(shè)計(jì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其變?yōu)閷?duì)線性矩陣不等式進(jìn)行求解，借助該種方法，實(shí)現(xiàn)觀測(cè)器增益矩陣設(shè)計(jì)。相關(guān)文獻(xiàn)中，以代數(shù)Riccati方程為前提，對(duì)單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)降維和全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法進(jìn)行明確。部分文獻(xiàn)是基于狀態(tài)觀測(cè)器給出單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)，而針對(duì)此類(lèi)非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)仍然比較模糊?？刂乒こ瘫尘跋?，函數(shù)觀測(cè)器是指重構(gòu)狀態(tài)反饋的函數(shù)所屬觀測(cè)器。部分函數(shù)的狀態(tài)反饋直接重構(gòu)，極有可能導(dǎo)致觀測(cè)器尾數(shù)少于降維背景下的觀測(cè)器維數(shù)，故而需要研究單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測(cè)器。本文著重對(duì)單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測(cè)器設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行研究和考量，在線性矩陣不等式基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)觀測(cè)器的存在條件進(jìn)行明確，然后對(duì)函數(shù)觀測(cè)器增益矩陣進(jìn)行有效設(shè)計(jì)。

2 系統(tǒng)描述和預(yù)備知識(shí)

如下所示，為已知非線性系統(tǒng)：

x∈Rn指代系統(tǒng)狀態(tài)，y∈Rn和u∈Rn分別指代輸出和輸入。而已知實(shí)矩陣為A∈Rn×n和A∈Rn×n，φ（x,u）屬于連續(xù)的非線性函數(shù)。

從相關(guān)文獻(xiàn)中得出如下定義：定義1 D指代的是包含原點(diǎn)的區(qū)域，假定ρ∈R屬于已知存在條件，需對(duì)任意x1和x2∈D,

有關(guān)ρ的單邊Lipschitz函數(shù)即對(duì)稱(chēng)函數(shù)φ（x,u），其中，單邊Lipschitz常數(shù)是ρ，它比較靈活，可以以零、正數(shù)、負(fù)數(shù)三種狀態(tài)存在，而條件（2）屬于單邊Lipschitz的條件。

3 設(shè)計(jì)函數(shù)觀測(cè)器

依據(jù)非線性系統(tǒng)（1），執(zhí)行函數(shù)觀測(cè)器設(shè)計(jì)：

Z指代的是r×(n+p)維的任意矩陣。已知

故而矩陣Q∈Rr×r存在，由S∈Rr×p得出下列式子：

r×(r+p)維的任意矩陣是X。已知

屬于行滿(mǎn)秩矩陣，那么矩陣K的偽逆是K+=KT（KKT）-1，且

定理1 對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行考量，假定包含的常數(shù)有ρ、α、β∈R，而非線性函數(shù)φ（x.u）與條件（2）和（3）相符合，行滿(mǎn)秩矩陣K∈Rr×n，如果矩陣Z∈Rr×(n+p)存在，條件（8）成立。同時(shí)，矩陣P=PT＞0，X，和常數(shù)ε1和ε2在下列線性矩陣不等式中成立：

因而觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)方程符合

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在式子（17）中，對(duì)系統(tǒng)（1）和（4）進(jìn)行代入，得出

與引理1條件相符合，可用下列式子對(duì)誤差動(dòng)態(tài)方程（18）進(jìn)行表示：

其中Q=M1+XN1。

擇定Lyapnnov函數(shù)

則閉環(huán)系統(tǒng)軌線背景下V(e)的導(dǎo)數(shù)為

針對(duì)任意正數(shù)ε2，

根據(jù)式子（21）、（22）和（23）得出

定理1得證[3]。

（2）對(duì)矩陣Z∈Rr×(n+p)進(jìn)行驗(yàn)證，看其能否使條件（8）成立。如果成立，進(jìn)入下一步，反之，重新驗(yàn)證。

（3）依據(jù)式子（12）分別對(duì)矩陣M1和M2以及N1和N2進(jìn)行計(jì)算，并依據(jù)定理1，對(duì)線性矩陣不等式（15）進(jìn)行求解。

（4）如果有矩陣P，X1=PX以及正數(shù)ε1和ε2都能夠滿(mǎn)足線性矩陣不等式（15），故而X=P-1X1，Q=M1+XN1，S=M2+XN2，表明完成函數(shù)觀測(cè)器增益矩陣的設(shè)計(jì)。

4 仿真實(shí)例

已知行滿(mǎn)秩矩陣，將Z設(shè)定為0，依據(jù)定理1對(duì)函數(shù)觀測(cè)器進(jìn)行設(shè)定，分別得出P、φ和T的矩陣。狀態(tài)x2和x4的誤差響應(yīng)曲線和其初始值都處于已知狀態(tài)，得出仿真結(jié)果，而6S內(nèi)狀態(tài)x2和x4的誤差響應(yīng)曲線能夠收斂為0。已知矩陣K=I4，函數(shù)觀測(cè)器（4）的類(lèi)別是全維觀測(cè)器，已知狀態(tài)x2和x4的誤差響應(yīng)曲線，5S內(nèi)其能夠收斂為0[4]。

5 結(jié)語(yǔ)

本文著力于對(duì)單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測(cè)器設(shè)計(jì)等進(jìn)行研究，在具體研究過(guò)程中，對(duì)線性矩陣不等式進(jìn)行求解，繼而得出函數(shù)觀測(cè)器增益矩陣的成立條件。假定矩陣K的秩與狀態(tài)維數(shù)相比較小，該背景下的函數(shù)觀測(cè)器將具備降維觀測(cè)器功能；如果矩陣K的秩與狀態(tài)維數(shù)相等，函數(shù)觀測(cè)器具備全維觀測(cè)器功能。在專(zhuān)業(yè)范疇內(nèi)進(jìn)行一系列實(shí)驗(yàn)論證，得出的仿真結(jié)果證明了該設(shè)計(jì)方法極為有效，符合具體設(shè)計(jì)要求，有助于實(shí)現(xiàn)功能上的突破，對(duì)非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測(cè)器設(shè)計(jì)極具推動(dòng)作用。

[1]高虹,蔡秀珊.一類(lèi)非線性系統(tǒng)的函數(shù)觀測(cè)器設(shè)計(jì)[J].控制理論與應(yīng)用,2013(09)：1207-1210.

[2]蔡秀珊,王貞蕓.單邊Lipschitz非線性時(shí)滯系統(tǒng)的函數(shù)觀測(cè)器設(shè)計(jì)[J].控制與決策,2015(12)：2259-2264.

[3]王璐,徐慧玲.一類(lèi)3--D非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及函數(shù)觀測(cè)器設(shè)計(jì)[J].控制理論與應(yīng)用,2014(04)：493-500.

[4]孫蓉,劉勝等.一類(lèi)非線性系統(tǒng)故障診斷觀測(cè)器設(shè)計(jì)[J].控制理論與應(yīng)用,2013(11)：1462-1466.

項(xiàng)目名稱(chēng)：牡丹江師范學(xué)院青年科研項(xiàng)目“不確定擬單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)”。項(xiàng)目編號(hào)：QN201623

10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.22.241

張紅鈺（1982-），女，黑龍江綏化人，碩士研究生，講師，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。