杜雪嬌 張 奇

(遼寧師范大學心理學院, 大連 116029)

1 問題提出

樣例學習(worked-example learning)是學生在已有知識經驗的基礎上, 通過閱讀和思考樣例, 領悟新的知識、概念或規(guī)則, 并掌握其應用的過程(Bourne, Goldstein, & Link, 1964)。

在有關“專家”和“新手”問題解決能力的差異研究中發(fā)現, 專家和新手在解決下棋、幾何、代數、物理等問題上存在明顯的差異(Chase & Simon,1973; Sweller & Cooper, 1985)。產生差異的主要原因是專家比新手擁有更多相關領域的知識結構或圖式, 因此他們更關注問題的結構特征, 進而加快了對問題的理解(Carroll, Galegher, & Wiener,1982)。由于單純的問題解決練習的形式本身不利于初學者問題解決圖式的習得, 所以, 研究者們開始關注如何通過問題解決的樣例學習來提高新手的問題解決能力, 進而促進了關于問題解決樣例學習的研究(Anderson & Fincham, 1994; Renkl,Atkinson, Maier, & Staley, 2002)。對于學生尤其是新手來說, 與傳統的問題解決方式相比, 樣例學習的效果更好、效率更高, 即學生投入較少的時間和心理資源就能獲得較好的學習效果(Bokosmaty,Sweller, & Kalyuga, 2015)。

在問題解決樣例的學習中, 學生能否正確理解和掌握其中的原理或規(guī)則, 制約著樣例學習的效果(Wynder & Luckett, 1999)。因此, 在樣例設計中, 如何引導學生根據具體的問題情境, 掌握并運用具體的解題規(guī)則是非常重要的(Renkl, Hilbert, & Schworm,2009)。

上述研究表明, 問題解決的樣例學習可以提高學生問題解決的能力, 尤其可以幫助新手盡快掌握問題解決的圖式及其運用。除此之外, 經過樣例學習還可以使學生領悟樣例中隱含的新規(guī)則并學會新規(guī)則的應用。Anderson和Fincham (1994)的實驗表明, 被試在學習包含產生式規(guī)則的樣例后, 均能通過分析樣例, 發(fā)現并學會使用該規(guī)則。Lee和Chen (2015)的研究中借助計算機程序設計了學生可以進行虛擬操縱的樣例, 證實了這種樣例學習能幫助五年級小學生更好地理解等分數的概念和規(guī)則, 并提高了學生的學習興趣。大量研究(Clarke,Ayres, & Sweller, 2005; Richey & Nokes-Malach,2013; Seufert, 2003; 許德志, 張奇, 2011; 張奇, 郭菲菲, 2008; 張奇, 林洪新, 2005; 張奇, 張華, 2014)從數學、物理、化學等各個知識領域驗證了學生在學習了包含某種新規(guī)則的樣例后, 能夠發(fā)現并運用其中的新規(guī)則?？傮w來說, 這些研究側重于采用一些設計良好的樣例, 讓被試利用已有的相關基礎知識, 從樣例中發(fā)現新規(guī)則并學會新規(guī)則的運用。這就是規(guī)則樣例學習的研究。

在數學運算規(guī)則樣例學習的研究中, 張奇和林洪新(2005)的研究發(fā)現, 經過樣例學習, 二年級小學生能夠領悟四則混合運算規(guī)則。張奇和郭菲菲(2008)的研究表明, 三至五年級小學生可以不同程度地學會運用“去括號”運算規(guī)則。Adams等人(2014)的研究也發(fā)現, 通過辨別、改正錯誤等樣例的學習,能使學生更加深入地理解小數的概念, 并領悟小數的大小和遞加運算規(guī)則。

可是, 在小學生代數運算規(guī)則樣例學習的研究中卻遇到了問題(林洪新, 張奇, 2007)。該研究采用“完整”或“不完整”的樣例設計以及在不完整樣例的學習中給予反饋或無反饋的學習程序, 考察了六年級小學生學習“平方差”與“完全平方和”的代數運算規(guī)則的效果。實驗結果顯示, 多數被試難以學會“平方差”運算規(guī)則, 只有少數被試學會了“完全平方和”運算規(guī)則。究其原因, 一方面可能是不完整樣例的設計方法增加了學生理解和領悟代數運算規(guī)則的難度, 妨礙了學習; 另一方面可能是小學生不理解代數運算樣例中“a”、“ab”等代數運算符號的含義, 或不熟悉在代數運算中加、減同類項等代數運算策略的意義。因此, 研究者就如何設計樣例以幫助學生領悟新算符和新的運算規(guī)則的含義進行了探索。

張奇等人經過對數學運算規(guī)則之間邏輯關系的考察后發(fā)現, 新的或學生未知的數學運算符號或運算規(guī)則都可以用學生已知的運算符號或規(guī)則來表示, 并提出了在數學運算樣例中設計新算符或新運算規(guī)則的“解釋法”。所謂的“解釋法”就是將新的運算規(guī)則或新算符用學生已知的運算規(guī)則或算符來加以解釋(張奇, 蔡晨, 2015)。例如, “a”可以用“a=a × a”來表示, “ab”可以用“ab=a × b”來表示,以幫助學生理解“a”、“ab”的運算含義。隨后, 又提出了新算符和新規(guī)則樣例設計的“標記法”和“轉換標記法” (張華, 曲可佳, 張奇, 2013)。所謂的“標記法”就是將新算符和新規(guī)則的數學解釋內容加上醒目的顏色或標記, 以增強學生對解釋內容的注意和理解?！稗D換標記法”就是用連線標記出轉換運算樣例中運算步驟之間或變量之間的對應關系。該研究分別采用“轉換標記法”和“解釋法”設計了“指?對數轉換”運算和對數運算的樣例。并通過實驗驗證了“解釋法”和“轉換標記法”樣例均能幫助學生理解新算符和新規(guī)則的含義, 與普通樣例相比, 明顯提高了樣例學習的效果。接著, 張奇、鄭偉和萬瑩(2014)的研究又證明了“解釋法”和“解釋?標記法”樣例設計對小學生學習分數運算規(guī)則和比例運算規(guī)則的促進作用。其中的“解釋?標記法”是“解釋法”和“標記法”的結合。

盡管, 張奇等人在實驗中(張華等, 2013; 張奇等, 2014)證明了“解釋法”、“轉換標記法”和“解釋?標記法”的有效性, 即這些方法的樣例設計對被試領悟新算符和新規(guī)則的促進作用。但是, 這些實驗中所采用的運算樣例都是算術運算樣例, 而不是代數運算樣例。例如, 在“指?對數轉換”運算樣例和對數運算樣例中只是出現了對數符號“l(fā)og”, 在分數運算和比例運算中也都是算術運算樣例。而采用“解釋法”和“解釋?標記法”設計代數運算的樣例是否能夠起到同樣的促進作用, 還沒有得到實驗的驗證。具體來說, 采用這些方法設計代數運算的樣例究竟能否促進小學生學會“完全平方和”和“平方差”代數運算規(guī)則, 還有待實驗的證實。因為, 代數運算與算術運算有以下主要的不同：(1)算術運算是數值運算, 可以算出數值結果; 而代數運算是符號運算, 只能得出代數式。(2)算術運算與代數運算的運算符號不盡相同, 算術運算中的“2乘以3”寫作“2 ×3”, 而代數運算中的“a乘以b”寫作“ab”。(3)代數乘法運算必須遵循“交換律”和“分配律”, 例如, “ab=ba”、“ab + ba=2ab”以及“(a + b)=a (a + b) + b (a +b)=a+ ab + ba + b=a+ 2ab + b”。而算術運算卻不必如此繁瑣, 例如, “(2 + 3)=5=25”和“(3 + 2) ×(3 – 2)=5 × 1=5”。(4)代數和算術的運算策略不同,例如, 要想證明“a– b=(a + b) (a – b)”, 必須在“a– b”算式中加入“+ab”和“–ab”兩項, 即“a– b=a+ ab – b– ab=a (a + b) – b (a + b)=(a + b) (a –b)”,才能證明“a– b=(a + b) (a – b)”成立。而在算術運算中則是“3– 2=9 – 4=5”或者“(3 + 2) × (3 –2)=5 × 1=5”, 用“ 3– 2=(3 + 2) × (3 – 2)=5”直接就可以證明。所以, 為了證明上述的樣例設計方法在數學運算樣例學習中有促進作用, 必須證明它們既在算術運算樣例學習中有促進作用, 而且在代數運算樣例學習中也有促進作用。之所以這樣做,其目的就在于證明上述樣例設計方法是在數學運算樣例設計中普遍適用的方法和有普遍促進作用的樣例設計方法。

因此, 分別采用“解釋法”和“解釋?標記法”設計“完全平方和”和“平方差”的代數運算樣例, 仍然以六年級小學生為被試, 并與普通樣例比較, 考察其樣例學習的效果。實驗1采用“解釋法”設計了這兩種代數運算規(guī)則的樣例, 并考察其學習效果是否優(yōu)于普通樣例的學習效果。實驗2采用“解釋法”和“解釋?標記法”設計兩種代數運算的樣例, 并考察“解釋?標記法”樣例的學習效果是否比“解釋法”樣例更好。值得注意的是, 以往的研究中“標記”的運用往往只涉及一個或幾個運算步驟, 這樣的標記比較簡潔清晰, 能起到明顯的提醒注意和促進思考的作用。而該研究中所采用的“解釋?標記法”對每步運算與下一步運算的轉換對應關系均進行了標記。所以, 標記較多, 可能會增加被試的外在認知負荷,降低學習效果。有研究表明樣例呈現方式也會影響樣例學習效果, 諸如逐步漸減呈現不完整樣例(Renkl & Athinson, 2003)、相繼呈現雙內容樣例(Clark et al., 2005)、分段呈現動態(tài)樣例(Spanjers,Wouters, van Gog, & van Merri?nboer, 2011)等方式均能降低學習過程中的認知負荷, 提高學習效果。所以, 實驗3將分步呈現“解釋?標記”樣例的學習效果與整體呈現樣例的學習效果進行比較。所謂“分步呈現”是每次只呈現樣例的一個運算步驟及其轉換標記, 待被試學習理解后再呈現下一個運算步驟, 直至學習完整個樣例。這樣可能會降低學生樣例學習的認知負荷, 并提高學習效果。而整體呈現就是一次性呈現運算樣例的所有運算步驟、運算標記和運算結果。實驗假設是分步呈現的學習效果可能優(yōu)于整體呈現的學習效果。

2 實驗研究

2.1 實驗1 “解釋法”樣例設計對代數運算規(guī)則學習遷移效果的促進作用

2.1.1 實驗目的

考察采用“解釋法”設計的“完全平方和”和“平方差”代數運算樣例, 其學習遷移成績是否顯著優(yōu)于普通樣例的學習遷移成績。

2.1.2 被試

通過“前測”從濰坊市一所普通小學(奎文區(qū)實驗小學)的六年級學生中篩選出120名被試。其中,男生60人, 女生60人。將其隨機分為4組, 每組30人。

2.1.3 實驗材料

前測材料：用來篩選被試, 共有6道題。前2道題是一位數的平方運算題, 第3道題和第4道題分別是乘法交換律和分配律代數運算題, 后2道題根據實驗分組的不同而不同：“完全平方和”運算樣例組(第一組與第二組)為2道“完全平方和”代數運算題; “平方差”運算樣例組(第三組與第四組)為2道“平方差”代數運算題。只有在“前測”中能夠正確計算出前4道題, 且不能正確計算出后兩道題的小學生才能成為正式實驗的被試。由于學習“完全平方和”或“平方差”代數運算規(guī)則要以掌握平方、乘法交換律和分配律為基礎, 因此實驗要求的被試必須是準確掌握上述基礎知識, 且尚沒有掌握“完全平方和”或“平方差”代數運算規(guī)則的學生。

樣例學習材料：分為4種, 每種包含2道樣例。第一種是普通的“完全平方和”代數運算樣例; 第二種是采用“解釋法”設計的“完全平方和”代數運算樣例; 第三種是普通的“平方差”代數運算樣例; 第四種是采用“解釋法”設計的“平方差”代數運算樣例?！巴耆椒胶汀焙汀捌椒讲睢眱煞N運算樣例與林洪新和張奇(2007)的研究中的完整樣例相同。“解釋法”樣例設計是用學生已知的運算規(guī)則或算符對“(a +b)”、“合并同類項”等新運算符號或運算規(guī)則做出了“算式解釋”?！敖忉尫ā睒永c普通樣例只是運算步驟的設計不同, 其他均相同。

遷移測驗材料：包括“完全平方和”運算規(guī)則測驗材料和“平方差”運算規(guī)則測驗材料。均由6道遷移測驗題組成。其中, 前3道是近遷移測驗題, 后3道是遠遷移測驗題。近遷移測驗題與樣例題的字母不同, 運算結構相同; 遠遷移測驗題與樣例題的字母和運算結構均不同。被試正確完成1道測題記1分, 遠、近遷移測驗滿分均為3分。

在正式實驗中, 前測材料、樣例學習材料和遷移測驗材料及相應的指導語分別在A4紙上呈現,字體為宋體、四號、加粗、1.5倍行距。

2.1.4 實驗設計

采用2(規(guī)則類型)× 2(樣例類型)二因素被試間隨機分組實驗設計。規(guī)則類型分為“完全平方和”和“平方差”兩種代數運算規(guī)則; 樣例類型分為普通樣例和“解釋法”樣例。因變量為遠、近遷移測驗成績。

2.1.5 實驗程序

前測階段：“前測”在安靜的教室內進行。主試首先向各組待選被試發(fā)放相應的前測試卷, 并說明前測時間為8 min。8 min后, 收回前測試卷。選擇能夠正確計算出前4道題, 但不能正確計算出后兩道題的被試進入下面的實驗。

樣例學習階段：各組被試分別在不同的教室里同時學習相應的樣例學習材料。樣例學習時間為15 min。15 min后, 主試收回樣例學習材料。

遷移測驗階段：給各組被試呈現對應的遷移測驗試卷。測驗時間為20 min。20 min后, 主試收回測試材料。

2.1.6 結果分析

各組被試的遠、近遷移測驗成績見圖1。

二因素方差分析結果顯示, 近遷移測驗成績在兩種規(guī)則類型之間差異顯著,

F

(1, 116)=20.55,

p

<0.001, η=0.15; 在兩種樣例類型之間差異顯著,

F

(1, 116)=10.01,

p

< 0.01, η=0.08; 規(guī)則類型和樣例類型對近遷移測驗成績的交互作用不顯著,

F

(1, 116)=0.01,

p

> 0.05。遠遷移測驗成績在兩種規(guī)則類型之間差異顯著,

F

(1, 116)=9.42,

p

< 0.01,η=0.08; 在兩種樣例類型之間差異顯著,

F

(1, 116)=5.47,

p

< 0.05, η=0.05; 規(guī)則類型和樣例類型對遠遷移測驗成績的交互作用不顯著,

F

(1, 116)=1.05,

p

> 0.05。

上述實驗結果表明, 與普通樣例的學習遷移成績相比, “解釋法”樣例設計明顯提高了六年級小學生學習“完全平方和”與“平方差”代數運算規(guī)則的遷移成績, 即證明了“解釋法”樣例設計的有效性和優(yōu)越性。接下來的實驗2考察“解釋?標記法”樣例設計對兩種代數運算規(guī)則樣例學習的促進作用。

2.2 實驗2 “解釋?標記法”樣例設計對代數運算規(guī)則學習遷移效果的促進作用

2.2.1 實驗目的

考察學習采用“解釋?標記法”設計的“完全平方和”和“平方差”代數運算樣例是否比學習采用“解釋法”設計的樣例更能提高學習遷移成績。

2.2.2 被試

通過“前測”從濰坊市一所普通小學(幸福街小學)的六年級學生中篩選出120名被試。其中, 男生58人, 女生62人。將其隨機分為4組, 每組30人。

2.2.3 實驗材料

前測材料：同實驗1。

樣例學習材料：分為4種, 每種包含2道樣例：第一種是采用“解釋法”設計的“完全平方和”代數運算樣例; 第二種是采用“解釋?標記法”設計的“完全平方和”代數運算樣例; 第三種是采用“解釋法”設計的“平方差”代數運算樣例; 第四種是采用“解釋?標記法”設計的“平方差”代數運算樣例。采用“解釋?標記法”設計的樣例是在“解釋法”的基礎上, 用紅色箭頭對前后運算步驟間的轉換對應關系進行標記。

遷移測驗材料：同實驗1。

在正式實驗中, 前測材料、樣例學習材料和遷移測驗材料及其指導語分別在A4白紙上呈現, 字體為四號宋體字、加粗、1.5倍行距。

2.2.4 實驗設計

采用2(規(guī)則類型)× 2(樣例類型)二因素被試間隨機分組實驗設計。規(guī)則類型分為“完全平方和”和“平方差”兩種代數運算規(guī)則; 樣例類型分為“解釋法”樣例和“解釋?標記法”樣例。因變量為遠、近遷移測驗成績。

2.2.5 實驗程序

前測階段：同實驗1。

樣例學習階段：各組被試分別在不同的教室里同時學習相應的樣例學習材料。學習的時間為15 min。15 min后, 收回樣例材料。

圖1 各組被試遠、近遷移測驗成績及差異檢驗結果

遷移測驗階段：同實驗1。

2.2.6 結果分析

各組被試遷移測驗成績見圖2。

二因素方差分析結果顯示, 近遷移測驗成績在兩種規(guī)則類型之間差異顯著,

F

(1, 116)=5.39,

p

<0.05, η=0.04; 在兩種樣例類型之間差異顯著,

F

(1,116)=4.67,

p

< 0.05, η=0.04; 規(guī)則類型與樣例類型對近遷移成績的交互作用顯著,

F

(1, 116)=4.01,

p

< 0.05, η=0.03。簡單效應分析結果顯示, 在“完全平方和”運算規(guī)則上, “解釋法”樣例與“解釋?標記法”樣例的近遷移成績差異不顯著,

F

(1, 117)=0.01,

p

> 0.05; 在“平方差”運算規(guī)則上, “解釋?標記法”樣例的近遷移成績顯著優(yōu)于“解釋法”樣例的近遷移成績,

F

(1, 117)=8.35,

p

< 0.01, η=0.07。在“解釋法”樣例中, “完全平方和”的近遷移成績顯著優(yōu)于“平方差”的近遷移成績,

F

(1, 117)=9.06,

p

<0.01, η=0.08; 在“解釋?標記法”樣例中, “完全平方和”與“平方差”的近遷移成績差異不顯著,

F

(1,117)=0.05,

p

> 0.05。兩種規(guī)則類型的遠遷移成績差異顯著,

F

(1,116)=9.01,

p

< 0.01, η=0.07; 兩種樣例類型間的遠遷移成績差異不顯著,

F

(1, 116)=1.41,

p

> 0.05;規(guī)則類型與樣例類型對遠遷移成績的交互作用不顯著

F

(1, 116)=0.82,

p

> 0.05。

實驗2的結果表明, 在學習“解釋?標記法”樣例的遷移測驗成績中, 只有學習“平方差”運算規(guī)則的近遷移成績上明顯優(yōu)于學習“解釋法”樣例的近遷移成績, 而其他遷移成績在兩種樣例之間差異均不顯著。這說明“解釋?標記法”樣例設計對小學生學習兩種代數運算規(guī)則的促進作用并不十分顯著。如何進一步發(fā)揮“解釋?標記法”樣例設計的促進作用呢？為此進行了下面實驗3的研究。

2.3 實驗3分步呈現“解釋?標記法”樣例對代數運算規(guī)則學習遷移效果的促進作用

2.3.1 實驗目的

在“解釋?標記法”的基礎上, 設計了兩種樣例呈現方式：一種是分步呈現; 一種是整體呈現?？疾爝@兩種呈現方式對“完全平方和”和“平方差”代數運算規(guī)則樣例學習遷移成績的影響。

2.3.2 被試

通過“前測”從濰坊市一所普通小學(高新雙語學校)的六年級學生中篩選出120被試。其中, 男生59人, 女生61人。將其隨機分為4組, 每組30人。

2.3.3 實驗材料

前測材料：同實驗1。

樣例學習材料：分為4種, 每種包含2道樣例：第一種是整體呈現的“完全平方和”代數運算樣例;第二種是分步呈現的“完全平方和”代數運算樣例;第三種是整體呈現的“平方差”代數運算樣例; 第四種是分步呈現的“平方差”代數運算樣例。整體呈現的樣例同實驗2中采用“解釋?標記法”設計的樣例一樣, 所有步驟及其轉換標記同時呈現?！胺植匠尸F”即首先呈現第一步及該步的轉換標記, 當被試看明白后, 即可點擊“下一步”按鈕, 第一步的轉換標記消失, 呈現第二步及其轉換標記, 被試也可通過點擊“上一步”按鈕, 返回查看上一步的轉換標記。以此類推, 直至被試查看完并學會樣例的所有步驟。實驗前主試通過指導語向被試介紹這種分步呈現過程和“上一步”“下一步”按鈕的使用。圖3為采用分步呈現的“完全平方和”運算樣例的截屏。

遷移測驗材料：同實驗1。

圖2 各組被試遠、近遷移測驗成績及差異檢驗結果

在正式實驗中, 前測材料、遷移測驗材料及其指導語在A4白紙上呈現, 樣例學習材料及其指導語在電腦顯示器上呈現, 字體均為宋體四號字, 1.5倍行距。

圖3 分步呈現的“完全平方和”運算樣例學習材料截屏

2.3.4 實驗設計

采用2(規(guī)則類型)× 2(呈現方式)二因素被試間隨機分組實驗設計。規(guī)則類型分為“完全平方和”和“平方差”兩種代數運算規(guī)則; 呈現方式分為“整體呈現”和“分步呈現”兩種方式。因變量為遠、近遷移測驗成績。

2.3.5 實驗程序

前測階段：同實驗1。

樣例學習階段：4組被試分別在不同的教室里使用電腦顯示器同時學習各自的樣例學習材料。學習時間限定為15 min, 15 min后進行遷移測驗。

遷移測驗階段：同實驗1。

2.3.6 結果分析

各組被試的遷移測驗成績見圖4。

二因素方差分析結果顯示, 近遷移測驗成績在兩種規(guī)則類型之間差異不顯著,

F

(1, 116)=0.07,

p

>0.05; 在兩種呈現方式之間差異顯著,

F

(1, 116)=8.85,

p

< 0.01, η=0.07; 規(guī)則類型和呈現方式對近遷移測驗成績的交互作用不顯著,

F

(1, 116)=0.01,

p

> 0.05。遠遷移測驗成績在兩種規(guī)則類型之間差異顯著,

F

(1, 116)=4.51,

p

< 0.05, η=0.04; 在兩種呈現方式之間差異顯著,

F

(1, 116)=8.16,

p

<0.05, η=0.07; 但規(guī)則類型和呈現方式對遠遷移測驗成績的交互作用不顯著,

F

(1, 116)=0.01,

p

> 0.05。

實驗3的結果表明, 學習“分步呈現”的兩種代數運算規(guī)則的“解釋?標記”樣例的遠、近遷移測驗成績均明顯優(yōu)于學習“整體呈現”的兩種代數運算規(guī)則的“解釋?標記”樣例的遠、近遷移測驗成績。這說明“分步呈現”方式對“解釋?標記”樣例的學習遷移效果有明顯的促進作用。

3 討論

3.1 “解釋法”樣例對代數運算規(guī)則學習遷移效果的促進作用

在樣例設計中給被試提供多少“解釋”以及如何提供這些“解釋”才能優(yōu)化學習過程、提高學習效果, 一直以來都是研究者廣泛關注的問題(Koedinger& Aleven, 2007; Richey & Nokes-Malach, 2013;Wittwer & Renkl, 2010)。在以往的研究中, 有人設計了含有指導性解釋(instructional explanation)的樣例和“過程導向” (process-oriented)的樣例。含有指導性解釋的樣例是對樣例中的每一個運算步驟的目的和原理都進行解釋(Renkl et al., 2009)?！斑^程導向”的樣例是在呈現問題解決方案的同時, 對解決方案的原理加以解釋, 并呈現策略信息的樣例(van Gog, Paas, & van Merri?nboer, 2008)。而且, 它們都是在運算樣例中附加的文字解釋。這樣的樣例設計對于初學者來說, 確實具有易學、易懂、快捷、有效的作用, 不失為一種有效的解釋方法?？墒? 這種解釋降低了樣例學習的難度, 對于那些數學學習能力較強和具有挑戰(zhàn)精神的學生來說, 有些過于簡單, 并有可能降低這些學生自主探究的學習興趣和動機水平。而且這種樣例的學習效果也存在爭議(Renkl et al., 2009; Schworm & Renkl, 2006; Wittwer& Renkl, 2010)。

圖4 各組被試遠、近遷移測驗成績及差異檢驗結果

不同于這種文字解釋, 張奇等人提出的“解釋法”是一種“算式解釋法”或“數學解釋法” (簡稱為“解釋法”)。這種“解釋”是用學生已知的算符和運算規(guī)則在運算樣例中“解釋”新算符的運算含義和新運算規(guī)則的運算步驟, 而且是一種直接運用數學語言的解釋。采用這種解釋法設計的運算樣例突顯了數學語言的運用, 有助于培養(yǎng)學生的抽象邏輯思維。由于學習這種樣例的難度大于用文字解釋的樣例, 所以它更能激發(fā)學生的自主探究精神、學習興趣和動機水平。實驗1的結果表明, 學習“解釋法”樣例后的遠、近遷移測驗成績均明顯優(yōu)于學習普通樣例的遷移測驗成績。這就足以說明, 該種解釋方法明顯地促進了初學者對新算符(如“a”、“ab”)以及“完全平方和”、“平方差”代數運算規(guī)則的理解和運用。也就是說, 學習這種數學解釋法設計的代數運算樣例, 足以使一些初學代數運算的六年級小學生理解新算符和代數運算規(guī)則的數學含義。當然, 為了兼顧學生數學學習能力的個體差異, 在教學實踐中教師可以先讓學生學習數學解釋的樣例, 然后再學習文字解釋的樣例。這樣的結合既可以培養(yǎng)學生對數學語言的理解能力和抽象邏輯思維能力, 又可以使學生準確地理解新算符和新規(guī)則的定義概念和運算規(guī)則, 同時兼顧了學生數學學習能力的個體差異。值得一提的是, 學生用母語學習了數學概念和運算規(guī)則的數學意義后, 學生還要在實際運算中運用數學語言。所以, 這種“數學解釋”具有培養(yǎng)學生直接運用數學語言理解數學概念和運算規(guī)則的功能。

實驗1與以前的同類研究(林洪新, 張奇, 2007)相比, 被試都是六年級小學生, 學習的運算規(guī)則也都相同(即都是“完全平方和”和“平方差”運算規(guī)則),但學習效果卻明顯優(yōu)于以前研究的學習效果。比較前后兩種實驗研究, 所不同的只是運算樣例的設計不同。在以前的實驗中, 讓被試學習的是沒有數學解釋的“完整”樣例和“不完整”樣例, 盡管在不完整的樣例學習中運用了“有反饋”和“無反饋”的方法,可是實驗結果卻表明, 除了少數被試外, 大多數被試很難學會兩種代數運算規(guī)則。其原因已經在前文談過, 主要原因就是在樣例中缺少對新算符和新運算規(guī)則的數學解釋。這表明采用“解釋法”設計代數運算樣例有效地解決了以前研究中, 六年級小學生難以用完整和不完整樣例學會代數運算規(guī)則的難題。

“數學解釋法”樣例設計的提出, 不僅成功地解決了小學生運用數學運算樣例學習“完全平方和”和“平方差”兩種代數運算規(guī)則的問題, 而且預示著學生通過采用“解釋法”設計的其它代數運算樣例的學習, 還可以學會其他含有新算符的代數運算規(guī)則。因為在數學中幾乎所有的新算符都可以用已知的算符來解釋。前文列舉過的例子無需贅述, 沒有列舉的也是不勝枚舉。例如, 如果小學生學過了乘法運算, 那他們就可以通過“a=a, a × a=a, a × a ×a=a”等運算樣例的學習, 學會乘方運算規(guī)則以及“n個a相乘等于a”的一般數學原理。再如, 如果小學生學過了乘法運算, 他們就可以通過“1!=1, 2!=1 × 2, 3!=1 × 2 × 3”等運算樣例的學習, 學會階乘運算規(guī)則, 并領悟階乘“n!=1 × 2 × 3…(n – 1)n”的一般公式。又如, 如果被試具有了三角形的幾何知識和比例運算知識, 就可以運用“sinα=a/c, cosα=b/c, tanα=a/b”等樣例的學習, 理解三角函數的運算含義等等。正是因為數學運算規(guī)則和運算符號之間普遍存在著這種嚴密的邏輯關系, 所以, 在數學運算樣例中, 幾乎所有的新算符都可以用學生已知的算符來解釋。這就為數學運算規(guī)則的樣例學習提供了普遍的可能性或可行性。除了“解釋法”的運用之外, 還可以運用下面要討論的“解釋?標記法”和“轉換標記法”。

3.2 “解釋?標記法”樣例設計對代數運算規(guī)則樣例學習效果的影響

已有大量研究證明, 在運算樣例中適當地添加運算標記對樣例學習有促進作用(邢強, 莫雷, 2002;張華等, 2013; 張奇等, 2014)。而且, Sturz, Brown和Kelly (2009)研究也表明視覺標記有助于空間關系的習得。Amadieu, Mariné和Laimay (2011)的研究證實了“線索”能降低動畫學習過程中的認知負荷, 提高對高成分互動性材料的理解。

當然, “標記法”的運用也要適當, 只有運用得當才能發(fā)揮其作用。因為, 張奇和林洪新(2005)研究表明, 運算步驟標記對學習較難的“無括號”運算規(guī)則的促進作用明顯, 但對學習較簡單的“小括號”運算規(guī)則的促進作用不明顯。同理, “解釋?標記法”的運用也要適當, 適當運用就會起積極的促進作用,例如, 在張奇等人(2014)的研究中“解釋?標記法”就起到了比“解釋法”起到了更好的促進作用。可是,如果運用不當, 也會起消極的妨礙作用。

實驗2就采用“解釋?標記法”設計了“完全平方和”和“平方差”的運算樣例, 并與“解釋法”樣例的學習遷移效果進行比較。原來的設想是“解釋?標記法”樣例的學習效果應該比“解釋法”樣例的學習效果更好。可是實驗結果卻表明, “解釋?標記法”樣例只在“平方差”運算樣例學習的近遷移測驗成績上明顯優(yōu)于“解釋法”樣例, 但在遠遷移成績上差異不明顯。而且, 學習采用“解釋?標記法”設計的“完全平方和”運算樣例的遠、近遷移測驗成績均不明顯好于“解釋法”樣例的學習遷移成績。究其原因, 可能是由于實驗2中的“解釋?標記法”運用不當造成的。因為, 在以前的研究(張奇等, 2014)中, “解釋?標記法”的運用只是對樣例中起“解釋”作用的內容加上了紅色標記, 而且沒有虛線和箭頭等轉換標記。可是在實驗2的“解釋?標記法”樣例設計中沒有給“解釋”的內容加上了紅色標記, 而是在運算樣例的前后運算步驟之間加上了用紅色虛線和箭頭組成的運算步驟轉換標記。這種方法實際上就是“解釋法”與“轉換標記法”的結合運用, 應該稱為“解釋?轉換標記法”。采用這種方法設計的運算樣例是在“解釋法”樣例中添加了許多指明運算步驟之間前后對應關系的紅色箭頭標記。這些轉換標記的增加一方面可能會促進被試對前后運算步驟之間關系的理解。但由于這些標記過多地充斥于運算樣例中, 使被試看起來有眼花繚亂的感覺。也就是說, 這些過多的“箭頭標記”額外地消耗了被試有限的認知資源, 對樣例學習反而起了妨礙作用, 從而降低了標記作用的發(fā)揮。所以, 使得學習“解釋?標記法”樣例的遠、近遷移成績只是略好于學習“解釋法”樣例的遷移成績, 而沒有達到全部顯著好于“解釋法”樣例。至于為什么“解釋?標記法”樣例設計只在“平方差”運算樣例學習的近遷移測驗成績上明顯優(yōu)于“解釋法”樣例, 還需要進一步的分析和探究。

3.3 “整體呈現”和“分步呈現”對代數運算規(guī)則學習遷移效果的影響

已有研究表明, 樣例的呈現方式影響其學習效果。例如, Renkl和Athinson (2003)驗證了以“漸減程序” (fading procedure)的方式呈現樣例對學習效果的促進作用。漸減程序即首先呈現完整的樣例,然后逐步省略解題步驟, 最后僅剩下待解決的問題。Clark等人(2005)在雙內容樣例學習的研究中發(fā)現, 在新手的學習效果上, 相繼呈現“雙內容”樣例好于同時呈現兩者。Spanjers等人(2011)在動態(tài)樣例學習的研究中, 將樣例分段呈現, 即將較長的動態(tài)樣例分成幾個段落呈現。實驗結果證明, 分段呈現動態(tài)樣例的學習效果較好。上述實驗結果表明,不論是逐步漸減呈現不完整樣例, 還是相繼呈現雙內容樣例和分段呈現動態(tài)樣例, 其實質都是每次呈現較少的樣例內容, 這樣可以降低每次學習的認知負荷, 從而提高樣例的整體學習效果。在認真分析了實驗2運用“解釋?標記法”不當的基礎上, 實驗3運用了分步呈現 “解釋?標記法”樣例的方式, 并與整體呈現樣例的學習效果進行了對比實驗研究。實驗結果表明, 在“完全平方和”和“平方差”兩種代數運算樣例的學習遷移成績上, 學習分步呈現樣例的遠、近遷移成績均顯著優(yōu)于學習整體呈現樣例的遷移成績。其原因主要有三：首先, 在分步呈現的“解釋?標記”樣例中, 由于每次呈現的運算步驟和標記較少, 被試每次學習都能夠清晰地看清前后運算步驟之間的對應關系, 避免了樣例整體呈現時因標記過多所導致的眼花繚亂的感覺。其次, 分步呈現樣例時, 學生每次學習較少的步驟, 降低了每次學習的認知負荷。最后, 由于被試在實驗過程中可以通過點擊“下一步”或“上一步”按鈕來自主控制每步的學習時間, 并保持與前后步驟的銜接, 保持了樣例學習的完整性, 從而提高了樣例的整體學習效果。所以, 對于運算步驟較多和“轉換標記”過多的樣例,采用被試自主控制的“分步呈現”樣例的分段學習方式, 其學習效果顯著優(yōu)于整體呈現樣例的學習效果。

4 結論

(1)六年級小學生學習采用“解釋法”設計的“完全平方和”和“平方差”代數運算樣例, 其學習遷移成績明顯優(yōu)于學習普通樣例的遷移成績。

(2)在“解釋法”設計的樣例上添加“運算標記”要運用適當, 如果運用不當, 特別是“運算標記”過多時, 容易增加樣例學習的認知負荷, 從而降低標記的使用效果。

(3)對于運算步驟較多和“運算標記”過多的樣例, 采用被試自主控制的“分步呈現”樣例的學習方式, 其學習效果顯著優(yōu)于整體呈現樣例的學習效果。

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