彭　凌，莫宏敏

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000)

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雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣線性互補問題的誤差界

彭凌，莫宏敏

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000)

摘要：根據(jù)雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣的定義與性質，給出其線性互補問題的誤差界.數(shù)值實例顯示該誤差界在判定線性互補問題近似解的精確性中是有效的.

關鍵詞：精確性；誤差界；線性互補問題；雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣

雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣在數(shù)學、物理、控制論以及經(jīng)濟學等許多領域有重要作用.雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣也是非奇異H-矩陣，是一類范圍很廣的特殊矩陣，特別是關于雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣的線性互補問題，也是數(shù)學規(guī)劃中與凸二次規(guī)劃密切相關的重要問題.近年來，國內(nèi)外許多學者研究了多類特殊矩陣線性互補問題的誤差界，取得了一些成果[1-3].筆者將根據(jù)雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣的定義與性質，在文獻[4]的基礎上對其誤差界進行改進，得到關于雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣線性互補問題的新的誤差界，并應用實例進行驗證.

1預備知識

線性互補問題是指：存在一向量x∈Rn，使得

Mx+q≥0,x≥0,xT(Mx+q)=0，

其中M是n×n矩陣，q∈Rn.將線性互補問題記作LCP(M，q)，x*為LCP(M，q)的解.

眾所周知，具有正對角元的H-矩陣是一個P-矩陣.

定義2[5]若存在α∈[0,1]，使得?i≠j(i,j∈N)，有

|aii||ajj|≥((Λi(A))α(Si(A))1-α)((Λj(A))α(Sj(A))1-α)

(1)

成立，則稱A是雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣.

引理3若實矩陣A=(aij)∈Rn×n是雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣，則存在正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn)，AX是嚴格對角占優(yōu)矩陣.其中：

(2)

取正對角矩陣X=(x1,x2,…,xn)，當i∈N1時，xi=η，當j∈N2時，xj=1.令Q=AX=(qij)，易證qii-Λi(Q)>0,i∈N，所以AX是嚴格對角占優(yōu)矩陣.

由引理1易知，若A=(aij)∈Rn×n是雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣，則A是H-矩陣.

2主要結果及證明

考慮對角元素為正的雙α-鏈對角占優(yōu)矩陣M，易知M是P-矩陣.由文獻[1]定理2.3的第3個不等式，對?x∈Rn，有

其中：I是n×n單位矩陣；D是對角矩陣，D=diag(di),0≤di≤1,i=1,2,…,n；x*是LCP(M,q)的解；r(x)∶=min(x,Mx+q).由文獻[1]定理2.1可知，當M=(aij)∈Cn×n是主對角元素為正的H-矩陣時，

(3)

若η<1，則

證明由引理1知，MX是主對角元素為正的嚴格對角占優(yōu)矩陣.由文獻[6]中定理A易證，對?d∈[0,1]n，(I-D+DM)X也是主對角元素為正的嚴格對角占優(yōu)矩陣，于是

‖(I-D+DM)-1‖∞=‖X(X-DX+DMX)-1‖∞≤‖X‖∞‖(X-DX+DMX)-1‖∞≤

又因為

且i∈N2時，xi=1,當i∈N1時,xi=η，所以當η>1時，

當η<1時，

3數(shù)值實例

參考文獻：

[1] BERMAN A,PLEMMONS R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Science[M].New York：Academic Press,1979.

[2] CHEN Xiaojun,XIANG Shuhuang.Computation of Error Bounds forP-Matrix Linear Complementarity Problems[J].Math. Program. Ser. A,2006，106:513-525.

[3] CVETKOVIC L,KOSTIC V,VARGA R S.A New Gersgorin-Type Eigenvalue Inclusion Set[J].Electron. Trans. Numer. Anal.,2004,18:73-80.

[5] 汪祥,盧琳璋.α-雙對角占優(yōu)與H矩陣的判定[J].廈門大學學報：自然科學版,2003,42(5):570-572.

[6] VARGA R S.On Diagonal Dominance Arguments for Bounding ‖A-1‖∞[J].Linear Algebra Appl.,1976,14:211-217.

(責任編輯向陽潔)

On Error Bound for Linear Complementarity Problem of Double

α-Chain Diagonally Dominant Matrix

PENG Ling，MO Hongmin

(College of Mathematics and Statistics，Jishou University,Jishou 416000，Hunan China)

Abstract:In this paper,we give new error bound for the linear complementarity problem where the involved matrix is a doubleα-chain diagonally dominant matrix based on its definition and properties.Preliminary numerical results show that the proposed error bound is efficient for verifying accuracy of approximate solutions.

Key words:accuracy;error bound;linear complementarity problem;doubleα-chain diagonally dominant matrix

作者簡介：彭凌(1982—)，女，湖南懷化人，碩士研究生，主要從事矩陣理論與計算研究；莫宏敏(1969—)，男，湖南慈利人，吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授，博士，主要從事矩陣理論與計算研究.

基金項目：吉首大學校級科研項目(13JDY043)

收稿日期：2014-11-09

中圖分類號：O151.21

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.005

文章編號：1007-2985(2015)02-0020-03