程艷合，楊文革

(解放軍裝備學院 光電裝備系,北京 101416)

一種針對壓縮域信號的新型鎖相環(huán)技術*

程艷合**，楊文革

(解放軍裝備學院 光電裝備系,北京 101416)

摘要：針對通信信號壓縮采樣獲得的壓縮域信號頻率、相位提取問題，提出了一種基于壓縮感知的新型鎖相環(huán)技術。通過深入研究壓縮域的信號估計問題，提出了壓縮域鎖相環(huán)路，可以直接在壓縮域同步跟蹤信號頻率和相位變化，不再需要高復雜度的信號重構處理。分析了環(huán)路模型及其估計性能，并針對該鎖相環(huán)可行性和性能分別進行了仿真實驗。仿真結果不僅驗證了壓縮域鎖相環(huán)的可行性，同時表明該環(huán)路能夠實現(xiàn)高動態(tài)信號的高精度頻率提取。壓縮域鎖相環(huán)的應用潛力較大，例如可以作為壓縮感知通信接收機的同步解調方法。

關鍵詞：壓縮域信號；壓縮感知；鎖相環(huán)；平均測頻誤差

A New Phase Locked Loop Technique for Compressed Domain Signal

CHENG Yanhe,YANG Wenge

(Department of Optical and Electronic Equipment,The Academy of Equipment,Beijing 101416,China)

Abstract：To deal with the issue of compressed communication signal frequency and phase extraction,a new phase locked loop(PLL) technique based on compressive sensing is proposed. Firstly,the compressed domain PLL model is established on the basis of signal estimation analysis in compressed domain,which can directly track the frequency and phase information without reconstructing the original signal. Then,the estimation performance is explored by analyzing the model. Finally,the feasibility and performance of the proposed technique are investigated by simulation experiments. The results show that the technique is feasible,and the loop can accurately extract the high dynamic signal frequency. The proposed PLL has a great potential for the application. For instance,it can be used for synchronous demodulation in the communication receiver based on compressive sensing.

Key words：compressed domain signal;compressive sensing;phase locked loop(PLL);frequency measurement error mean

1引言

壓縮感知(Compressive Sensing,CS)是近年來興起的一種新型信息獲取理論，它以信號的稀疏性為先驗條件，可以在遠小于Nyquist采樣率的情況下，用隨機采樣獲取信號的離散樣本，并能夠通過非線性重構算法無失真重建信號，突破了傳統(tǒng)Shannon采樣理論框架，對信息和信號處理產生了深遠影響[1]。

雖然壓縮感知能夠有效降低采樣率和數(shù)據率，但同時其重構算法計算復雜度偏高，需要消耗大量的計算資源[2]。然而，無線電接收機等系統(tǒng)的處理目標是信號流，其計算復雜度和實時性是首要考慮因素[3]，并且已有的重構算法基本都是基于有限維特性，需要把信號流分成一定長度數(shù)據塊來分別進行處理，這會導致在塊邊界出現(xiàn)較大的處理延時和方塊效應。因此，傳統(tǒng)壓縮感知重構算法并不適用于大多數(shù)的實時處理系統(tǒng)[4]。

針對上述問題，本文提出了一種新型鎖相環(huán)框架，該環(huán)路不再需要信號重構，可以直接從調制信號的壓縮采樣值中提取頻率和相位信息。本文提出的環(huán)路技術可以應用于需要頻率或相位跟蹤的大多數(shù)相關領域，例如壓縮采樣后調頻信號的解調處理。相對于先重構再利用傳統(tǒng)鎖相環(huán)跟蹤信號的解調思路，壓縮域鎖相環(huán)技術由于不需要進行信號重構，在計算復雜度方面具有很強優(yōu)勢。

2壓縮域信號估計分析

根據壓縮感知理論可知，有限等距性(Restricted Isometry Property,RIP)條件是信號重構的重要基礎[5]，因此，本文從RIP出發(fā)研究在壓縮域的信號估計問題及其性能。

(1)

(2)

根據平行四邊形恒等式，可得

〈x1,x2〉+δ 。

(3)

類似地，由式(2)可得

〈x1,x2〉-δ 。

(4)

合并公式(3)、(4)，可得

〈x1,x2〉-δ≤〈Φx1,Φx2〉≤〈x1,x2〉+δ。

(5)

可以進一步把式(5)化簡為

(6)

(7)

〈Φx1,Φx2〉≈〈x1,x2〉 。

(8)

根據公式(8)可知,具有稀疏性的兩信號內積近似等于其壓縮采樣值的內積，即壓縮采樣沒有破壞原信號之間存在的結構差異。

3壓縮域鎖相環(huán)建模及性能分析

3.1　傳統(tǒng)鎖相環(huán)概述

鎖相環(huán)是一種高效的信號頻率、相位跟蹤方法，能夠在連續(xù)或離散時間框架下，通過生成本地參考信號、比較輸入與參考信號相位差和調整參考信號來構成反饋回路，不斷更新輸入信號頻率、相位估計值。圖1給出了一個典型離散時間實信號鎖相環(huán)原理框圖[6]。由圖可知，傳統(tǒng)鎖相環(huán)主要包括三部分，即鑒相器、環(huán)路濾波器和數(shù)控振蕩器。

圖1　傳統(tǒng)鎖相環(huán)原理框圖

環(huán)路通過對輸入信號和本地參考信號進行乘法運算，并進行低通濾波處理，可以得到兩信號的相位差，通過調整該相位差估計值，可使輸入信號和本地參考信號趨于正交。鑒相器輸出可以看作是輸入與本地參考信號的內積，其中核函數(shù)由環(huán)路濾波器定義。如果輸入與本地參考信號正交，則內積為零，可認為環(huán)路已鎖定；否則兩信號內積為正數(shù)或負數(shù)，分別對應相位超前與滯后狀態(tài)[7]。傳統(tǒng)鎖相環(huán)理論已經比較成熟，并廣泛應用于常見的測控、通信等相關系統(tǒng)，但由于壓縮采樣系統(tǒng)引入了隨機性，壓縮域信號不再是常規(guī)的數(shù)字信號。因此，傳統(tǒng)鎖相環(huán)不能夠直接跟蹤壓縮感知采樣值的頻率、相位變化。

3.2　壓縮域鎖相環(huán)模型

(1)壓縮域鎖相環(huán)

在傳統(tǒng)鎖相環(huán)中，相位估計更新是通過計算輸入信號Nyquist采樣值xi[n]與本地振蕩器生成估計信號xo[n]的加權內積來實現(xiàn)。假設輸入信號Nyquist采樣值xi與本地振蕩器生成參考信號xo的壓縮向量分別為yi和yo，有

yi=Φxi，

(9)

yo=Φxo。

(10)

根據前文分析可知，兩向量內積與相對應壓縮向量內積近似相等，可得

〈yi,yo〉?〈xi,xo〉 。

(11)

根據式(11)，通過對傳統(tǒng)鎖相環(huán)進行改進，可得壓縮域鎖相環(huán)，如圖2所示。新型鎖相環(huán)主要在原有鎖相環(huán)基礎上增加兩個壓縮采樣器，分別對輸入信號和本地生成參考信號進行壓縮處理，獲得壓縮采樣值。在環(huán)路中的采樣算子是輸入壓縮采樣器的離散數(shù)學模型，兩者必須同步工作。

圖2　壓縮域鎖相環(huán)原理框圖

鎖相環(huán)具有實時性要求，這給壓縮采樣器設計提出一些約束條件，包括因果性(在假設未知信號相位信息情況下，對其進行估計)、低延遲(為了增加系統(tǒng)穩(wěn)定度余量)和低系統(tǒng)復雜度。根據文獻[8]可知，隨機解調采樣器滿足上述全部約束條件，并且易于實現(xiàn)。由于輸入、本地生成參考信號可能分別為模擬、數(shù)字形式，所以需要保證模擬和數(shù)字壓縮采樣器性能非常相近。

與傳統(tǒng)鎖相環(huán)相同，壓縮域鎖相環(huán)也通過鑒相器和環(huán)路濾波器來計算相位估計內積(如圖2所示)。本文通過建立壓縮采樣器數(shù)字化模型，并采用線性非時變?yōu)V波器作為環(huán)路濾波器，可得壓縮域鎖相環(huán)的估計相位差為

(12)

式中，hcs[·]表示與傳統(tǒng)鎖相環(huán)高速率環(huán)路濾波器相對應的低速率環(huán)路濾波器脈沖響應，索引m表示低采樣率。

(2)壓縮域環(huán)路模型分析

在傳統(tǒng)鎖相環(huán)分析中，一般假設信號頻率已經鎖定，環(huán)路只需估計信號相位。類似地，假設壓縮域鎖相環(huán)跟蹤信號頻率已鎖定，僅需跟蹤信號相位變化。首先給出輸入信號數(shù)學模型:

xi(t)=cos(wt+θ)+ni(t) 。

(13)

式中，w是輸入信號頻率，ni(t)是加性高斯白噪聲。則其對應的壓縮采樣值為

(14)

式中，pm[·]表示第m個壓縮測量值對應的偽隨機系數(shù)，對應采樣矩陣Φ的第m行向量;ni[m]是加性高斯白噪聲ni(t)的壓縮采樣值。根據壓縮采樣的噪聲放大效應，ni[m]仍是高斯白噪聲，只是相對原模擬噪聲ni(t)而言，其方差有一定增加，為便于分析，把該噪聲項直接在壓縮采樣值上建模[2]。雖然pm[·]是偽隨機序列，但對于特定系統(tǒng)該序列預先可知，因此在式(14)中只有輸入高斯白噪聲ni一個不確定項。類似地，本地振蕩器生成信號的壓縮測量值可表示為

(15)

(16)

(17)

為最優(yōu)化誤差方差，需要讓式(17)等于零。針對每個測量值m，該式主要包含兩項：第一項表示輸入信號壓縮測量值與本地生成參考信號的90°相移對應壓縮測量值之間的相關運算；第二項是與輸入無關的抵消項。其中，相關項證實環(huán)路中和輸入信號所采用壓縮采樣模型必須保持一致，否則會增加額外噪聲。假設pm[·]項是相互獨立生成，均值為零，即具有隨機性，則抵消項可簡化為

(18)

該項的中心頻率是原信號載頻的2倍，大部分會被環(huán)路的低通濾波器濾除，但由于濾波器性能限制，仍會殘留一部分。忽略該抵消項可以簡化系統(tǒng)復雜度和相應的分析模型，并且不會明顯影響系統(tǒng)性能。通過上述分析可知，壓縮域鎖相環(huán)具有自適應性，通過循環(huán)迭代處理能夠自然地達到平均性能。

3.3　性能分析

假設添加到輸入信號壓縮測量yi[m]的噪聲項與方差σ2不相關，則能夠得到最大似然估計。針對壓縮測量長度為M的未知相位信號，可以最大化如下概率密度函數(shù)：

(19)

(20)

(21)

式中，σ2是一個常數(shù)因子，表示輸入噪聲方差。輸入壓縮采樣值yi[m]的均值可以表示為

(22)

式中，Eni(yi)表示以輸入噪聲ni(而不是pm[k])為變量求函數(shù)均值。對式(21)取負期望，可表示為

(23)

假設偽隨機系數(shù)pm[k]相互獨立，且均值都為零，則式(23)第二項等于零。此外，如果pm[k]平均方差為1，并且忽略高頻分量，式(23)可以化簡為

(24)

則有跟蹤相位方差的克拉美羅界為

(25)

值得注意的是，式(25)與傳統(tǒng)鎖相環(huán)相位方差克拉美羅界的形式相同，只是分母有所區(qū)別。該式分母M表示的是壓縮后數(shù)據長度，且一般小于傳統(tǒng)的鎖相環(huán)中數(shù)據長度N，即M

4仿真實驗與分析

對本文提出的針對壓縮域鎖相環(huán)技術進行實驗驗證，主要思路是首先驗證該新型環(huán)路可行性，其次通過與傳統(tǒng)鎖相環(huán)對比跟蹤效果來研究本文提出鎖相環(huán)性能。

環(huán)路參數(shù)設置[3]：阻尼系數(shù)0.707，環(huán)路帶寬1 kHz，F(xiàn)IR低通濾波器階數(shù)64，帶寬1 MHz。仿真條件：采樣率16.5 MHz，載波中心70 MHz，積分時間50 ms。

4.1　可行性驗證

輸入信號分別為多普勒頻率1 kHz階躍信號、多普勒頻率200 kHz/s斜升信號，信噪比取30 dB，壓縮采樣采用隨機解調采樣器[8]，壓縮比取2，頻率跟蹤結果如圖3所示。

(a)跟蹤頻率階躍信號

(b)跟蹤頻率斜升信號

從頻率階躍和頻率斜升信號的跟蹤結果可以看出，環(huán)路能夠鎖定輸入信號，且跟蹤多普勒與預置多普勒變化保持一致，平均測頻誤差分別為0.083 3 Hz、0.064 2 Hz，可以認為本文提出的壓縮域鎖相環(huán)在上述條件下能夠成功跟蹤輸入信號頻率變化。

4.2　性能分析

主要從頻率階躍和斜升兩種信號出發(fā)，分別考察在不同輸入信噪比與壓縮比情況下，壓縮域鎖相環(huán)平均測頻誤差的變化規(guī)律。信噪比變化范圍為{50 dB,30 dB,10 dB,0 dB,-10 dB}，壓縮比變化范圍為{1,2∶2∶14}，其中壓縮比為1表示傳統(tǒng)鎖相環(huán)，其他仿真參數(shù)與上節(jié)相同。圖4為壓縮域鎖相環(huán)頻率跟蹤性能。

(a)跟蹤頻率階躍信號

(b)跟蹤頻率斜升信號

由圖4可知，壓縮域鎖相環(huán)對兩種信號平均測頻誤差的變化趨勢一致；平均測頻誤差隨壓縮比增大而增大，當壓縮比大于10(高信噪比)或大于6(低信噪比)時，誤差急劇增大，表示此時環(huán)路已經失鎖；平均測頻誤差隨信噪比降低而增大，在高信噪比時，由于壓縮域鎖相環(huán)引入交叉噪聲遠大于輸入信號噪聲，其平均測頻誤差要高于傳統(tǒng)鎖相環(huán)，在低信噪比時，引入交叉噪聲小于輸入信號噪聲，其平均測頻誤差與傳統(tǒng)鎖相環(huán)相當。

4.3　仿真實驗總結

通過以上的仿真實驗，可以得出以下結論：

(1)本文提出的壓縮域鎖相環(huán)能夠成功鎖定輸入信號，跟蹤信號頻率變化；

(2)由于壓縮采樣會引入交叉噪聲，在高信噪比情況下，壓縮域鎖相環(huán)平均測頻誤差會略高于傳統(tǒng)鎖相環(huán)，在低信噪比時，兩者相當，這與理論分析保持一致；

(3)當壓縮比小于10(高信噪比)或小于6(低信噪比)時，該壓縮域鎖相環(huán)的平均測頻誤差保持在1 Hz以內，能夠實現(xiàn)信號高精度頻率提取，且可以適應200 kHz/s高動態(tài)信號。

5結束語

本文針對調制信號壓縮采樣值的頻率、相位提取問題，基于壓縮感知理論提出了一種新型鎖相環(huán)技術，該環(huán)路適用于壓縮域信號，不需要高復雜度的信號重構過程，可以直接在壓縮域同步跟蹤信號頻率和相位。通過對壓縮域鎖相環(huán)模型進行理論分析和仿真實驗，驗證了其可行性，并表明在一定壓縮比以內，其平均測頻誤差保持在1 Hz以內，能夠實現(xiàn)高動態(tài)信號的高精度頻率提取。后續(xù)研究將進一步探討基于該環(huán)路的通信信號壓縮域同步解調處理，以及壓縮感知通信接收機實現(xiàn)等相關問題。

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程艷合(1987—)，男，河北衡水人，博士研究生，主要研究方向為航天測控技術、擴頻信號處理、壓縮感知理論；

CHENG Yanhe was born in Hengshui,Hebei Province,in 1987.He is currently working toward the Ph.D. degree.His research concerns aerospace TT&C technology,spread spectrum signal processing and compressive sensing.

Email:cheng20130810@foxmail.com

楊文革(1966—)，男，江西金溪人，教授、博士生導師，主要研究方向為空間飛行器測控與通信系統(tǒng)、壓縮感知理論。

YANG Wenge was born in Jinxi,Jiangxi Province,in 1966.He is now a professor and also the Ph.D. supervisor.His research interests include spacecraft TT&C and communication system and compressive sensing.

引用格式：程艷合，楊文革.一種針對壓縮域信號的新型鎖相環(huán)技術[J].電訊技術，2015,55(3):256-261.[CHENG Yanhe,YANG Wenge.A New Phase Locked Loop Technique for Compressed Domain Signal[J].Telecommunication Engineering,2015,55(3):256-261.]

作者簡介：

通訊作者：**cheng20130810@foxmail.comCorresponding author：cheng20130810@foxmail.com

收稿日期：*2014-11-20；修回日期：2015-01-27Received date:2014-11-20；Revised date：2015-01-27

中圖分類號：TN911.7

文獻標志碼：A

文章編號：1001-893X(2015)03-0256-06

doi:10.3969/j.issn.1001-893x.2015.03.005