范宏高

(武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 武漢　430072)

期權(quán)定價的n叉樹模型

范宏高

(武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 武漢430072)

摘要：在風(fēng)險中性假設(shè)的基礎(chǔ)上,將三叉樹期權(quán)定價公式推廣到n叉樹公式,并證明了n叉樹公式近似滿足Black-Scholes方程.最后以四叉樹為例,使用R程序說明了n(n≥4)叉樹與三叉樹相比,計算效率更高,計算結(jié)果更精確.

關(guān)鍵詞：n叉樹;四叉樹;Black-scholes方程

中圖分類號：F830

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-2714(2015)04- 0016- 04

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2015.04.004

收稿日期：2015—09—02

作者簡介：范宏高(1990—)，男，湖北荊州人，碩士，主要研究方向為金融統(tǒng)計.

期權(quán)定價的方法有許多種,其中以二叉樹圖法最為直觀與簡單,它是標(biāo)的資產(chǎn)價格連續(xù)時間模型的一種離散形式.從1986年開始,一些學(xué)者又開始了對三叉樹定價的研究,并取得了一些進(jìn)展.明顯地,運(yùn)用三叉樹研究期權(quán)價格比二叉樹研究的結(jié)果更準(zhǔn)確、更好.自然要問的問題是，能否用四叉樹、五叉樹…n叉樹來研究期權(quán)價格？

本文沿用了三叉樹模型的思路，剔除了對稱性條件ud=1，使得風(fēng)險資產(chǎn)價格上漲與下降比例更加自由。在此假設(shè)下給出了n叉樹定價模型，并證明了它以一階時間精度滿足Black-Scholes方程.最后我們詳細(xì)地討論了四叉樹的定價公式并給出了一個數(shù)值計算實例，說明了n叉樹(n≥4)定價模型比三叉樹近似效果更好.

1n叉樹定價模型

下面我們建立實物期權(quán)n叉樹定價模型.設(shè)在時刻t到時刻t+Δt內(nèi)，風(fēng)險資產(chǎn)S有n種變化狀態(tài)：上升到u1S,…,umS，或下降到dm+1S,…,dnS，其概率分別為p1,…,pm,pm+1,…,pn，其中u1,…,um,dm+1,…,dn全不相等且m

E(S)=(u1p1+…+umpm+dm+1pm+1+…+dnpn)S

……………………………………………………………

于是，建立線性方程組

(1)

在此線性方程組中：

1)系數(shù)行列式為范德蒙行列式，u1,…,um,dm+1,…,dn全不相等，因而系數(shù)行列式不為0，則方程組存在唯一解.

2)下面證明此模型給出的期權(quán)定價公式是以一階時間精度滿足Black-Scholes方程。

當(dāng)給定ui與dj,i=1,…,m;j=m+1,…,n．考慮當(dāng)Δt→0 時，n叉樹公式的極限

c=e-rΔt[p1Cu1+…+pmCum+pm+1Cdm+1+…+pnCdn]

(2)

其中，Cui和Cdj分別看漲期權(quán)到期時的價格，c為看漲期權(quán)價格，Cui=max(uiS-X,0) ，Cdj=max(djS-X,0),i=1,…,m;j=m+1,…,n,X為期權(quán)的執(zhí)行價格.

下面證明該漸近的極限是Black-Schole方程的解，由于n叉樹是網(wǎng)格函數(shù)，因此必須將其延拓為連續(xù)函數(shù)，使得兩個函數(shù)在網(wǎng)格點(diǎn)上相等[2]，n叉樹的連續(xù)模擬可以表示為

c(S,t-Δt)=e-rΔt[p1c(u1S,t)+…+pmc(umS,t)+…+pnc(dnS,t)]

(3)

上式可以改寫成

-c(S,t-Δt)+e-rΔt[p1c(u1S,t)+…+pmc(umS,t)+…+pnc(dnS,t)]=0

(4)

為方便起見，取當(dāng)前的時刻為t-Δt,記c=c(S,t),假設(shè)c(S,t)足夠光滑，對上式在點(diǎn)(S,t)泰勒展開，得

要證明n叉樹期權(quán)定價公式近似服從Black-Scholes方程，只需證明下面的等式成立:

e-rΔt[p1(u1-1)+…+pm(um-1)+…+pn(dn-1)]=rΔt+O(Δt2)

(5)

e-rΔt[p1(u1-1)2+…+pm(um-1)2+…+pn(dn-1)2]=σ2Δt+O(Δt2)

(6)

e-rΔt[p1(u1-1)3+…+pm(um-1)3+…+pn(dn-1)3]=O(Δt2)

(7)

事實上，

1)由e-rΔt[(1b)-(1a)]知

e-rΔt[p1(u1-1)+…+pm(um-1)+…+pn(dn-1)]=1-e-rΔt=rΔt+O(Δt2)

2)由e-rΔt[(1e)-2×(1b)+(1a)]知

e-rΔt[p1(u1-1)2+…+pm(um-1)2+…+pn(dn-1)2]=

e-rΔt+e(r+σ2)Δt-2=σ2Δt+O(Δt2)

3)由e-rΔt[(1d)-3×(1c)+3×(1b)-(1a)]知

e-rΔt[p1(u1-1)3+…+pm(um-1)3+…+pn(dn-1)3]=

e(2r+3σ2)Δt-3e(r+σ2)Δt-e-rΔt+3=O(Δt2)

將以上結(jié)果代入泰勒展開式，化簡得

-c(S,t-Δt)+e-rΔt[p1c(u1S,t)+…+pmc(umS,t)+…+pnc(dnS,t)]=

由于c(S,t)滿足n叉樹上式，因此得到

當(dāng)Δt→0時，由n叉樹模型得到的c(S,t)滿足Black-Scholes方程，即n叉樹公式以一階時間精度滿足Black-Scholes方程，至此，已經(jīng)證明了n叉樹定價模型的可行性。

3四叉樹定價模型

取n=4，建立四叉樹期權(quán)定價模型。設(shè)在時刻t到時刻t+Δt內(nèi)，風(fēng)險資產(chǎn)S有四種變化狀態(tài)，S上升到u2S，u1S或下降到d1S,d2S,其中u2>u1>1>d1>d2,其概率分別為p2,p1,q1和q2，同時，根據(jù)期望的定義，在時刻t+Δt有

E(S)=(u2p2+u1p1+d1q1+d2q2)S

(8)

于是我們可以建立如下線性方程組

(9)

解此線性方程組，得

(10)

當(dāng)期權(quán)的到期期限為T，執(zhí)行價格為X時，四叉樹期權(quán)定價公式為

此時，可以應(yīng)用四叉樹定價公式來計算期權(quán)價格。

4實例

假設(shè)股票價格S=120，執(zhí)行價格X=100，波動率σ=0.25,無風(fēng)險利率r=0.1，到期期限T=0.5，我們可以用連續(xù)的Black-Scholes公式，計算出該看漲期權(quán)的價格為c=25.70902，利用R程序計算出三叉樹與四叉樹定價模型的價格，結(jié)果如表1所示：

表1　三叉樹與四叉樹定價模型的比較

從表1可以看出：當(dāng)k超過一定的值時，四叉樹定價的絕對誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于三叉樹的絕對誤差，并且當(dāng)k逐漸增大的時候，四叉樹以更快的速度近似于Black-Scholes公式計算的價格。

參考文獻(xiàn):

[1]丁正中，曾慧.實物期權(quán)的三叉樹定價模型[J]．統(tǒng)計與決策，2005，22(11)：5～7．

[2]Kwok Yue-Kuen.Mathematical Models of Financial Derivatives[M].Singapore:Springer Verlag:199~200.

[3]何穎俞.美式期權(quán)的三叉樹定價模型[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2008,25(01):83~84.

The n-ary tree option pricing model

FAN Hong-gao

(School of Mathematical and Statistics,Wuhan University, Wuhan430072,China)

Abstract:In this paper, we generalize the trinominal tree option pricing figure to the n-ary tree on the risk neutral hypothesis and prove it satisfying Black-Scholes equation approximately. Finally, it is shown that the n-ary tree (n≥4) is better than the trinominal tree through a quadtree example by the method of R project.

Key words:the n-ary tree ; the quadtree; Black-Scholes equation