李偉鵬，　李小龍

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅慶陽(yáng)745000)

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Banach空間四階兩點(diǎn)問(wèn)題正解的存在性

李偉鵬，李小龍

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅慶陽(yáng)745000)

[摘要]討論了Banach空間E中的四階邊值問(wèn)題:

[關(guān)鍵詞]四階邊值問(wèn)題； 閉凸錐； 正解； 凝聚映射； 不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)

1引言與主要結(jié)果

(1)

正解的存在性.其中f∶I×P→P連續(xù).

Banach空間的常微分方程與普通常微分方程的最大差異是,把微分方程轉(zhuǎn)換為與之等價(jià)的積分方程后,相應(yīng)的積分算子不再具有緊性,為了對(duì)該積分算子應(yīng)用凝聚映射的不動(dòng)點(diǎn)理論,通常需要給f附加一些非緊性測(cè)度條件.文獻(xiàn)[2]使用了如下的非緊性測(cè)度條件:

在條件(P0)下文獻(xiàn)[2]用嚴(yán)格集壓縮算子的錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)理論,證明了f滿足下列增長(zhǎng)條件

另一方面，文獻(xiàn)[2]中的極限形式條件(P1)在Banach空間E中不如序條件易于檢驗(yàn)和使用,故本文將使用序條件代替(P1).

本文的主要結(jié)果為

定理1設(shè)E為Banach空間,其正元錐P為正規(guī)錐,f∶I×P→P連續(xù),滿足條件(H0).若f滿足下列條件之一:

定理1中的π4是方程(1)對(duì)應(yīng)的線性邊值問(wèn)題的第一特征值,同時(shí)刪去了f的一致連續(xù)性.將此結(jié)果作到了最優(yōu). 所得結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)[1-4]中的相關(guān)結(jié)論, 并將文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果推廣到了無(wú)窮維空間.

2預(yù)備知識(shí)

定義算子Q∶C(I，P)→C(I，P)如下：

(2)

其中G(t,s)為相應(yīng)的線性邊值問(wèn)題: -u″=θ, u(0)=u(1)=θ的Green函數(shù)

(3)

則Q∶C(I，P)→C(I，P)連續(xù), 且方程(1)的解等價(jià)于積分算子Q的不動(dòng)點(diǎn).

‖un(t)‖≤ψ(t)a.e,t∈I, n=1,2,…，

引理4設(shè)f∶I×P→P滿足(H0),則由(2)式定義的算子Q∶C(I，P)→C(I，P)為凝聚映射.

于是有

因此Q∶C(I，P)→C(I，P)為凝聚映射.

由(3)易知,Green函數(shù)G(t,s)具有性質(zhì):

(i) 0≤G(t,s)≤G(s,s),t,s∈I;

(4)

證對(duì)?u∈C(I，P),及?t,γ∈I,由(2)式和性質(zhì)(i)有

又由(2)式和性質(zhì)(ii)有

從而當(dāng)f∶I×P→P時(shí),Q∶K→K為凝聚映射,方程(1)的正解等價(jià)于Q在K中的不動(dòng)點(diǎn).本文將用凝聚映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論尋找Q的不動(dòng)點(diǎn).

下面用引理6與引理7證明本文的主要定理

3主要結(jié)果的證明

定理1的證明由上面的論述知,只需證明由(2)式定義的凝聚映射Q∶K→K存在非零的不動(dòng)點(diǎn).取0

情形1f滿足假設(shè)(H1). 取0

u≠λQu,?u∈K∩?Ωr, 0<λ≤1，

(5)

反設(shè)(5)式不成立,則存在u0∈K∩?Ωr及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0.按Q的定義,u0滿足微分方程:

(6)

方程(6)第一式兩邊同乘以sinπt,在I上積分,并應(yīng)用假設(shè)(H1)之(i),有

因?yàn)?<ε<π4,故由上式有

另一方面,因?yàn)閡0∈K,按錐K的定義,

兩邊同乘以sinπt,在I上積分,得

(7)

(8)

u-Qu≠τv0,?u∈K∩?ΩR,τ≥0.

(9)

反設(shè)存在u0∈K∩?ΩR及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0v0,按算子Q的定義u0滿足微分方程:

(10)

按假設(shè)(H1)之(ii)，有

注意到u0=τ0v0+Qu0滿足邊界條件u(0)=u(1)=u″(0)=u″(1)=θ,將上式兩邊同乘以sinπt在I上積分得

從而有

上式結(jié)合(7)式，有

由錐P的正規(guī)性,有

(11)

情形2f滿足假設(shè)(H2). 取0

u-Qu≠τv0,?u∈K∩?Ωr,τ≥0.

(12)

其中v0(t)=esinπt∈K,反設(shè)(12)式不成立,則存在u0∈K∩?Ωr及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0v0,于是u0(t)滿足微分方程(10).由(10)式及假設(shè)(H2)之(i)有,

上式兩邊同乘以sinπt在I上積分得

因此

(13)

再證當(dāng)R充分大時(shí),有

u≠λQu,?u∈K∩?ΩR,0<λ≤1.

(14)

假設(shè)存在u0∈K及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0,則u0滿足微分方程(6).將方程(6) 兩邊同乘以sinπt在I上積分,并應(yīng)用假設(shè)(H2)之(ii)得

從而有

于是該式結(jié)合(13)式有,

[參考文獻(xiàn)]

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[10]余慶余.半序Banach空間中凝聚映射及其正不動(dòng)點(diǎn) [J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1979,15(3):1-5.

Existence of Positive Solutions for Fourth-OrderTwo-Point Boundary

Value Problems in Banach Spaces

LiWei-pengLiXiao-long

(College of Mathematics and Statistics, Longdong University, Qingyang Gansu 745000,China)

Abstract:The existence of positive solutions for fourth-order boundary value problem

Key words:fourth-order boundary value problem ; closed convex cone; positive solution; condensing mapping; fixed point index

[中圖分類號(hào)]O175.15

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)05-0083-06

[基金項(xiàng)目]甘肅省高等學(xué)?？蒲许?xiàng)目(2013B-086)； 隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項(xiàng)目(XYZK1109)

[收稿日期]2014-09-30