王　群，　彭小帆

(1.電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，成都611731；　2.電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都611731)

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二維連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的一個(gè)充分條件

王群1，彭小帆2

(1.電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，成都611731；2.電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都611731)

[摘要]提出了一個(gè)有關(guān)二維連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充分條件.該條件表明，如果二維連續(xù)型隨機(jī)變量在任意概率值非0的矩形區(qū)域上被標(biāo)準(zhǔn)化后滿(mǎn)足乘積的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望的乘積，則可推出它們是相互獨(dú)立的.

[關(guān)鍵詞]獨(dú)立性； 二維連續(xù)型隨機(jī)變量； 數(shù)學(xué)期望

1引言

隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系研究一直是一個(gè)重要的課題，而隨機(jī)變量之間的相互獨(dú)立性是描述隨機(jī)變量之間相關(guān)關(guān)系最簡(jiǎn)單和最基礎(chǔ)的性質(zhì).由獨(dú)立性的定義我們知道，對(duì)于兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其乘積的期望等于期望的乘積，但其逆通常不正確[1].本文發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量在任意概率值非0的矩形區(qū)域上被標(biāo)準(zhǔn)化后滿(mǎn)足期望與乘積的運(yùn)算可交換，則可推出它們是相互獨(dú)立的.這里我們并沒(méi)有依賴(lài)定義獨(dú)立性時(shí)所需要的分布性質(zhì)，而是直接考察隨機(jī)變量在概率值非0的矩形區(qū)域上的數(shù)字特征.

2命題提出

若有

(1)

則隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.

3證明

為便于討論，我們將平面分成9個(gè)概率值皆不為0區(qū)域，如圖1所示.

圖1

為簡(jiǎn)化公式令

pi,j∶=P(xi

其中i,j=0,1,2.這樣，(1)式所表示的條件可簡(jiǎn)寫(xiě)為

Ai,j(X,Y)=Ai,j(X)Ai,j(Y).

首先給出如下兩個(gè)引理：

引理1在(1)式的條件下，有

Ai,0(X)=Ai,1(X)=Ai,2(X),i=0,1,2;

A0,j(Y)=A1,j(Y)=A2,j(Y),j=0,1,2.

引理2在(1)式的條件下，有

pi,jpi+m,j+n=pi+m,jpi,j+n，

其中i,j=0,1,2且i+m,j+n∈{0,1,2}.

3.1　引理1證明

以A0,1(Y)=A1,1(Y)為例進(jìn)行證明.考察區(qū)域(x0,x2)×(y1,y2)(由圖1中區(qū)域(0,1)和區(qū)域(1,1)合并構(gòu)成)，由條件(1)式有

(2)

其中

和

將上面三個(gè)式子代入(2)式，化簡(jiǎn)可得

p0,1p1,1(A0,1(X)-A1,1(X))(A0,1(Y)-A1,1(Y))=0.

由于

A0,1(X)

所以有

A0,1(Y)=A1,1(Y),

用類(lèi)似的方法可證，引理1剩下的結(jié)論也是成立的.

3.2　引理2證明

考察區(qū)域{x0

(3)

其中

將上面3組等式代入(3)式中化簡(jiǎn)并注意到引理1

A0,1(X)=A0,0(X),A1,0(Y)=A0,0(Y);

A1,0(X)=A1,1(X),A0,1(Y)=A1,1(Y).

最終化簡(jiǎn)可得

(p0,0p1,1-p1,0p0,1)(A1,1(X)-A0,0(X))(A1,1(Y)-A0,0(Y))=0,

由于A1,1(X)-A0,0(X)>0,A1,1(Y)-A0,0(Y)>0,故

p0,0p1,1=p1,0p0,1.

(4)

用上面類(lèi)似的方法考察由區(qū)域(1,0)(2,0)(1,1)(2,1)構(gòu)成的區(qū)域{x1

p2,0p1,1=p1,0p2,1.

(5)

將(4)式與(5)式相乘

p0,0p1,1p1,0p2,1=p1,0p0,1p2,0p1,1，

消去兩邊的非0公共因子p1,1p1,0可得

p0,0p2,1=p0,1p2,0.

(6)

同樣的方法可以證明引理2剩余的結(jié)論.

3.3　命題證明

由(4)式和(5)式左右分別相加可得

p0,0p1,1+p2,0p1,1=p1,0p0,1+p1,0p2,1，

在上式兩邊同時(shí)加上p1,1p1,0

p1,1(p0,0+p1,0+p2,0)=p1,0(p0,1+p1,1+p2,1)，

(7)

簡(jiǎn)化成如下分式形式

類(lèi)似，有

令

(8)

借助于引理2并使用同上面類(lèi)似的方法，我們可以得到如下方程組

可以證明，p0,·,p1,·,p2,·,p·,0,p·,1,p·,2就是隨機(jī)變量落在相應(yīng)區(qū)域內(nèi)的概率：

以(8)式為例，將分式化為乘式可得

(9)

由概率可加性已知

(p0,0+p1,0+p2,0)+(p0,1+p1,1+p2,1)+(p0,2+p1,2+p2,2)=1,

p1,0+p1,1+p1,2=P(x1

因此，將方程組(9)式兩邊相加可得

P(x1

(10)

類(lèi)似，有

P(y1

(11)

最終，由(9)-(11)式有

P(x1

=p1,·p·,1=P(x1

由于{x1

4總結(jié)與結(jié)論

通常而言，兩個(gè)隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積并不能說(shuō)明它們是相互獨(dú)立的[1].但是本文發(fā)現(xiàn)，如果在任意概率值非零的矩形區(qū)域上標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量滿(mǎn)足期望與乘積的運(yùn)算可交換，那么這兩個(gè)隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的.

[參考文獻(xiàn)]

[1]徐全智,呂恕.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2010.

A Sufficient Condition for the Independence of Two-dimensional

Continuous Random Variables

WANGQun1,PENGXiao-fan2

(1.School of Mechanical Electronic and Industrial Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731, China；2. School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731, China)

Abstract:We propose a sufficient condition for the independence of two-dimensional continuous random variables. This condition shows that the two-dimensional continuous random variables are independent, if the standardized random variables on any rectangular area with nonzero probability satisfy the exchangeability between the mathematical expectation and the product.

Key words:independence; two-dimensional continuous random variables; mathematical expectation

[中圖分類(lèi)號(hào)]O211.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)05-0072-04

[基金項(xiàng)目]電子科技大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(Y02012023701299；2015XJYYB058)

[收稿日期]2015-03-30