楊志林，　李擎卿，　林冠男，2

(1.合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，合肥230009；　2.南昌工學院基礎教學部，南昌330108)

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隨機需求下單供應商與多零售商的生產(chǎn)—庫存—運輸聯(lián)合優(yōu)化模型

楊志林1，李擎卿1，林冠男1，2

(1.合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，合肥230009；2.南昌工學院基礎教學部，南昌330108)

[摘要]考慮隨機需求下單供應商和多零售商的生產(chǎn)-庫存-運輸聯(lián)合優(yōu)化問題.在獨立決策時，各零售商獨立決策其最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)訂貨點，供應商根據(jù)各零售商的決策來為之配送.在聯(lián)合決策時，由供應商統(tǒng)一決策各零售商的送貨量和送貨時間，并基于此建立單供應商與多零售商的生產(chǎn)-庫存-運輸優(yōu)化模型，利用粒子群算法和模擬退火算法相結合的兩階段算法求出最優(yōu)送貨量、最優(yōu)運輸路徑和最大期望總利潤.然后采用收入共享契約將增加的利潤合理分配給供應商和各零售商，使各方利潤都得到增加，從而促使各方愿意合作.最后，通過數(shù)值算例驗證了聯(lián)合優(yōu)化模型優(yōu)于獨立決策模型.

[關鍵詞]隨機需求； 生產(chǎn)—庫存—運輸聯(lián)合優(yōu)化； 粒子群算法； 模擬退火； 收入共享契約

1引言

供應鏈管理能夠增強供應鏈上各個企業(yè)的競爭力，優(yōu)化資源配置，降低總成本，構建快速應對市場變化的能力.在21世紀，市場競爭已變成了這種供應鏈之間的競爭.生產(chǎn)、庫存和運輸是供應鏈中重要的組成部分，所以生產(chǎn)管理、庫存管理和運輸管理成為供應鏈管理中的三個重要方面，如何降低生產(chǎn)、庫存和運輸費用已成為優(yōu)化供應鏈的關鍵，同時也是供應鏈的領域中的熱點問題.

現(xiàn)有相關文獻主要考慮了庫存與運輸優(yōu)化問題或生產(chǎn)與庫存優(yōu)化問題，如劉桂慶等[1]是關于確定性需求下的單供應商與多零售商的庫存和運輸聯(lián)合優(yōu)化模型，Ozener等[2]、Shukla等[3]研究了隨機性需求下的單供應商與單零售商的庫存運輸模型.Krishnamoorthy 等[4]和施文武等[5]探討了隨機性需求下生產(chǎn)庫存優(yōu)化模型.僅有很小部分文獻將生產(chǎn)、庫存和運輸聯(lián)合起來進行分析和研究，如Bard等[6]、繆周等[7]和Pan 等[8]針對確定性需求，建立了單供應商與多零售商的生產(chǎn)、庫存和運輸模型，并沒有考慮隨機性需求情形下的單供應商與多零售商的生產(chǎn)-庫存-運輸聯(lián)合優(yōu)化模型.Bard[9]針對隨機性需求，研究了單供應商與單零售商的生產(chǎn)、庫存和運輸模型，但其拓撲結構較為簡單，并沒有擴充到單供應商對多零售商的供應鏈結構.

基于以上分析，本文將針對隨機性需求，考慮單供應商與多零售商的生產(chǎn)-庫存-運輸聯(lián)合優(yōu)化問題，同時考慮允許零售商缺貨，且部分缺貨可延期交付，使之更符合實際市場行為.在生產(chǎn)、庫存與運輸三部分費用之間做出合理的平衡，以探求全局最優(yōu)的生產(chǎn)-庫存-運輸聯(lián)合優(yōu)化方案，最終建立隨機需求下單供應商與多零售商生產(chǎn)-庫存-運輸聯(lián)合優(yōu)化模型.

2假定及符號說明

假設零售商的需求是隨機的，允許零售商缺貨，且部分缺貨可延期交付，部分缺貨發(fā)生銷售損失；同時考慮運輸成本由供應商支付.

πs，πri，πsc——供應商、零售商i、供應鏈的單位時間的利潤；

p——供應商單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本；

w——零售商單位產(chǎn)品的批發(fā)價格 ；

c——零售商單位產(chǎn)品的零售價；

di——零售商i單位時間的需求量，是非負隨機的，μi表示隨機需求的期望，i=1，…，n；

qi——零售商i的最優(yōu)訂貨量，i=1，…，n；

hi——零售商i的單位時間單位產(chǎn)品的庫存成本，i=0，…，n(h0為供應商的單位時間單位產(chǎn)品的庫存成本)；

si——零售商i的單位產(chǎn)品的缺貨懲罰費用，i=1，…，n；

K——零售商的訂貨費用；

A——供應商的生產(chǎn)設置成本；

Qv——車輛容量；

M——車輛啟動成本；

m——聯(lián)合決策時所需要的車輛數(shù)目；

a ——車輛行駛單位距離的運輸成本；

lij——從點i到點j的距離，i,j=0…n(0點代表供應商)；

β——缺貨期間允許零售商延期交貨的比例，1-β則為銷售損失的比例，0≤β≤1；

o——單位物品的邊際收益.

3獨立決策情形下的數(shù)學模型

零售商i單位時間的期望訂單成本為Kμi/qi.

因此，零售商i單位時間的期望總利潤

(1)

由一階最優(yōu)性條件得

Step2：將qi=qi1代入式(2)求ri1.

Step3：將ri=ri1代入式(3)求qi2.

Step4：將qi2代入式(2)，迭代到收斂為止.

(4)

單位時間供應商對于零售商i的利潤

πsi=(w-p)μi-12h0Lμi-μiq*iq*iQvM+2ali0()-μiq*iA

q*iQv

為運送零售商i產(chǎn)品所需的車輛數(shù).所以，單位時間供應商的期望總利潤為

(5)

從而，單位時間供應鏈的期望總利潤為

(6)

4聯(lián)合決策下的數(shù)學模型

聯(lián)合決策情形下的供應商為各個零售商的送貨周期均為T，各點的送貨量為Qi，設零售商i在T內的需求量yi是一個非負隨機變量，其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為gi(yi)和Gi(yi)，則μiT表示隨機需求的期望.

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

ωijk=1或0,i,j=0,1,2，…，n； k=1,2,…，m，

式(8)為車輛最大載重量約束，即每輛車的實際裝載量不能超過車輛的最大載重量；式(9)保證了每個零售商的任務僅由一輛車完成；式(10)和(11)表示車k在進行服務時，對每個零售商服務且只服務一次，即車k確定服務范圍后，安排路線時確保經(jīng)過且僅經(jīng)過它服務范圍內的每個零售商一次.

5聯(lián)合決策下的算法設計

由于本問題是NP難問題，難以用傳統(tǒng)的精確算法求解，因此本文采用了粒子群算法[12]和模擬退火算法[13]相結合的兩階段算法，用于求解隨機需求下的生產(chǎn)—庫存—運輸聯(lián)合優(yōu)化模型.

第二階段：用粒子群算法經(jīng)過迭代求得聯(lián)合決策下的供應鏈的最大利潤和各個點的送貨量Qi.

其中(i) 模擬退火算法的具體步驟如下

Step1:設置控制參數(shù)，包括初始溫度T0、溫度衰減系數(shù)α、終止溫度tf、當前溫度迭代次數(shù)u、當前成功迭代次數(shù)l.

Step2:隨機產(chǎn)生可行解f0，令fi=f0.

Step3:構造鄰域解.在一條路徑中隨機選取兩個零售商，r為(0,1)之間的隨機數(shù)，若r<0.65，則交換兩個零售商，得到一條新的路徑;否則，將兩個零售商之間的節(jié)點逆序， 得到一條新的路徑.按照上述方法將得到鄰域解記為fj，且令u=u+1.

Step4:比較.如果fj≥fi，則轉Step5 ; 否則fj=fi，記錄當前解為最優(yōu)解，l=l+1 ，轉Step6 .

Step6:溫度下降規(guī)則.若u≥U或l≥L，Ti+1=αTi，u=0，l=0，轉Step7;否則返回Step3 .

Step7:算法終止規(guī)則.若當前溫度Ti+1≤tf，算法終止;否則返回Step3 .

(ii) 粒子群算法的具體實現(xiàn)步驟如下：

Step1：初始化粒子群、慣性因子ω、加速常數(shù)c1,c2、最大迭代次數(shù)和算法終止的最小誤差.

Step2：用評價函數(shù)評價所有粒子的初始適應值.(其中，評價函數(shù)為聯(lián)合決策下供應鏈總利潤的倒數(shù))

Step6:對每個粒子的飛翔速度進行限幅處理，使之不能超過設定的最大飛翔速度.

Step8:比較當前每個粒子的適應值是否比歷史局部最優(yōu)值好，如果好，則將當前粒子適應值作為粒子的局部最優(yōu)值，其對應的送貨量作為每個粒子的局部最優(yōu)值對應的送貨量.

Step9:在當前群中找出全局最優(yōu)值，并將當前全局最優(yōu)值對應的送貨量作為粒子群的全局最優(yōu)值對應的送貨量.

Step10:重復步驟Step5～Step9，直到滿足設定的最小誤差或者達到最大迭代次數(shù).

Step11:輸出粒子群全局最優(yōu)值和其對應的各點送貨量.

6收入共享契約下的協(xié)調策略

已知聯(lián)合決策的單位時間供應鏈的總利潤為π′sc，獨立決策下單位時間供應鏈的總利潤為πsc，則單位時間供應鏈增加的利潤為Δπsc=π′sc-πsc.若Δπsc>0，說明聯(lián)合決策可以提高供應鏈利潤，則需設計合理的協(xié)調策略來分配增加的利潤.

7算例

有1個供應商(編號為0)，提供單產(chǎn)品，有7個零售商(編號為1到7)，K=200，A=1500，T=L=56/365，M=100，a=5，Q=1000由實際情況可知零售商的銷售量服從指數(shù)分布，即

解按照上面提供的算法利用Matlab編程進行實驗，為了觀察缺貨期間允許零售商延期交貨的比例β對實驗結果的影響，可對β取不同的值觀察實驗結果.因為0≤β≤1，取其端點值0和1，再從(0,1)內任取兩個值，不妨取β=0.5和β=0.8，其算例結果見表2和表3.

對比表2和表3可以發(fā)現(xiàn)，β=0,β=0.5,β=0.8以及β=1時聯(lián)合決策后供應鏈的利潤都大于獨立決策時的利潤，即單位時間的供應鏈利潤增加了，也就說明聯(lián)合決策可以提高供應鏈利潤，從而采取收入共享契約下的協(xié)調策略時，能夠確保供應商與零售商愿意合作，使得供應鏈達到最優(yōu).

表1　實驗參數(shù)表

表2　獨立決策實驗結果

表3　聯(lián)合決策實驗結果(θ=0.4)

由以上數(shù)據(jù)，我們還可以發(fā)現(xiàn)，期望總利潤隨著β的增大而增加，這很容易理解，因為β越多就會有更多的客戶愿意等待.除此之外，當θ值越大，分給供應商的利潤越多；反之，分給零售商的利潤越多.

8結論

本文研究了單供應商多零售商在面對隨機需求下的生產(chǎn)-庫存-運輸問題，通過分析各零售商的訂貨費、庫存費和缺貨費，供應商的庫存費、運輸費等，建立供應商與零售商期望總成本最小化模型，通過收入共享契約使得供應商和零售商的利潤同時增加,同時針對問題模型給出了優(yōu)化解決的算法, 這對企業(yè)在降低物流成本和制定相關策略時具有重要的指導意義.將來可進一步研究的方向有：隨機需求下的多生產(chǎn)商和多零售商的生產(chǎn)-庫存-運輸問題、隨機需求下多產(chǎn)品的單生產(chǎn)商和多零售商的生產(chǎn)-庫存-運輸問題等.

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Integrated Production-inventory-transportation Optimization Model under

Stochastic Demand with Single-vendor and Multi-retailer

YANGZhi-lin1，LIQing-qing1,LINGuan-nan1,2

(1. School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;

2. Department of Basic Courses, Nanchang Institute of Science and Technology, Nanchang 330108, China)

Abstract:We consider the production-inventory-transportation optimization under stochastic demand with single-vendor and multi-retailer. In the decentralized decision scenario, each retailer independently decides its optimal order quantity and order time, and the supply makes the delivery based on retailers’ decision. In the centralized decision scenario, the supplier decides the distribution quantity and distribution time. Then the integrated production-inventory-transportation optimization model is built. This paper designs a two-phase algorithm combined with simulated annealing algorithm and particle swarm optimization, in order to obtain optimal distribution quantity, optimal routings and maximum expected total profit. Then a revenue-sharing contract is used and the increased profit is shared by the supplier and retailers, therefore, all of them are willing to cooperate with each other. At the end of the paper, a numerical result is given to show that the integrated optimization model is better than the decentralized decision model.

Key words:stochastic demand; integrated production-inventory-transportation optimization; particles warm optimization; simulated annealing; revenue-sharing contract

[中圖分類號]O227

[文獻標識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)05-0012-08

[收稿日期]2014-02-04